Степенная функция - Конформное отображение

Определение 6. Функция вида: , где - натуральное число, называется степенной функцией.

Свойства степенных функций:

    1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости. 2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости. 3) Функция голоморфна в плоскости. 4) Отображение однолистно в любой области, которая не содержит никаких двух точек и, связанных соотношением,

5)Образом области однолистности при отображении является вся плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси.

Пример 2

Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией, где -- произвольное целое число. Эта функция, очевидно, является целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображения удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел: из которой следует, что любой сектор ?? с центральным углом плоскости данной функцией отображается на полную плоскость. Различные внутренние точки этого сектора отображаются на различные точки плоскости. При этом границы сектора переходят в один и тот же луч на плоскости. Для установления взаимно однозначного соответствия между областью однолистности функции и плоскостью будем считать, что на плоскости произведен разрез по лучу и границам данного сектора плоскости сопоставлены различные берега разреза. Например, сектор плоскости функцией отображается на полную плоскость, причем обе границы этого сектора, лучи I и II на (рис. 6), переходят в положительную часть действительной оси и плоскости. Сектор также отображается на полную плоскость и т. д. Поэтому геометрический образ функции представляет собой плоскость, повторенную раз. Тем самым отображение полной плоскости на полную плоскость, осуществляемое данной функцией, не является взаимно однозначным

Однако если в качестве геометрического образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.

Рис. 6

Будем считать, что мы имеем экземпляров (листов) плоскости, разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах

Где Сектору плоскости функция ставит в соответствие лист плоскости луч переходит в верхний берег разреза - го листа, а луч -- в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости соответствовало непрерывное движение точки на данном многообразии. Для этого заметим, что нижний берег разреза листа и верхний берег разреза листа имеют один и тот же аргумент. Когда точка в своем непрерывном движении по плоскости переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на соседний лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза листа с верхним берегом разреза листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза и нижний берег разреза листов. Пусть точка совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки, последовательно пройдя через все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на и листах. Тем самым полной плоскости функция ставит в соответствие листов плоскости, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция является функцией.

Похожие статьи




Степенная функция - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая