Степенная функция - Конформное отображение
Определение 6. Функция вида: , где - натуральное число, называется степенной функцией.
Свойства степенных функций:
- 1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости. 2) Функция имеет отличную от нуля производную во всех точках плоскости. 3) Функция голоморфна в плоскости. 4) Отображение однолистно в любой области, которая не содержит никаких двух точек и, связанных соотношением,
5)Образом области однолистности при отображении является вся плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси.
Пример 2
Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией, где -- произвольное целое число. Эта функция, очевидно, является целой функцией. Для изучения геометрических свойств ее отображения удобно воспользоваться показательной формой записи комплексных чисел: из которой следует, что любой сектор ?? с центральным углом плоскости данной функцией отображается на полную плоскость. Различные внутренние точки этого сектора отображаются на различные точки плоскости. При этом границы сектора переходят в один и тот же луч на плоскости. Для установления взаимно однозначного соответствия между областью однолистности функции и плоскостью будем считать, что на плоскости произведен разрез по лучу и границам данного сектора плоскости сопоставлены различные берега разреза. Например, сектор плоскости функцией отображается на полную плоскость, причем обе границы этого сектора, лучи I и II на (рис. 6), переходят в положительную часть действительной оси и плоскости. Сектор также отображается на полную плоскость и т. д. Поэтому геометрический образ функции представляет собой плоскость, повторенную раз. Тем самым отображение полной плоскости на полную плоскость, осуществляемое данной функцией, не является взаимно однозначным
Однако если в качестве геометрического образа функции рассматривать более сложное многообразие, чем обычная комплексная плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.
Рис. 6
Будем считать, что мы имеем экземпляров (листов) плоскости, разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых изменяется в пределах
Где Сектору плоскости функция ставит в соответствие лист плоскости луч переходит в верхний берег разреза - го листа, а луч -- в нижний берег разреза этого же листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости соответствовало непрерывное движение точки на данном многообразии. Для этого заметим, что нижний берег разреза листа и верхний берег разреза листа имеют один и тот же аргумент. Когда точка в своем непрерывном движении по плоскости переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка переходит с одного листа плоскости на соседний лист. Очевидно, чтобы сохранить непрерывность отображения, мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза листа с верхним берегом разреза листа. При этом остаются свободными верхний берег разреза и нижний берег разреза листов. Пусть точка совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки, последовательно пройдя через все секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка пройдет листов, и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить остававшиеся свободными берега разрезов на и листах. Тем самым полной плоскости функция ставит в соответствие листов плоскости, склеенных указанным выше образом. Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой римановой поверхности. Функция является функцией.
Похожие статьи
-
Тригонометрические функции комплексной переменной - Конформное отображение
Определение 8. Из формулы Эйлера для всех действительных имеем Откуда , Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в...
-
Показательная функция - Конформное отображение
Определение 7. Функция вида: называется показательной функцией. Свойства показательных функций: 1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости. Так как...
-
Линейная функция - Конформное отображение
Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется линейной. Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией...
-
Конформность дифференцируемого отображения - Конформное отображение
Пусть через точку проходят две гладкие кривые и касательные l1 и l2 к которым образуют с осью углы, соответственно, 1 и 2. Образы этих кривых и при...
-
Инвариант дробно-линейного отображения - Конформное отображение
При помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки комплексной плоскости в три заданные комплексные...
-
Понятие конформного отображения - Конформное отображение
Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w....
-
Сохранение симметрии при дробно-линейном отображении. - Конформное отображение
Замечание 2. Дробно-линейное отображение преобразует окружность в прямую, если проходит через точку, которая переходит в бесконечно удаленную точку. Если...
-
Дробно-линейная функция - Конформное отображение
Определение 4. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется дробно-линейной функцией. При этом будем предполагать, что, чтобы...
-
Элементарные функции - Конформное отображение
Теория конформных отображений подчинена решению двух основных задач: 1) найти образ области при заданном отображении; 2) найти конформное отображение...
-
Принцип симметрии - Конформное отображение
Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в...
-
Непрерывность функции - Свойства функций
Рассмотрим функцию, определенную на промежутке Пусть. Функция называется непрерывной в точке, если Функция называется Непрерывной слева (справа) в точке,...
-
Задачи и функции. Предназначение Функция - это некоторая система задач, решение которых направлено на достижение определенной цели и (или) на выполнение...
-
Интегральная и дифференциальная функции распределения - Основы научных исследований
Наиболее общей формой задания распределения случайных величин является Интегральная функция распределения . Она определяет вероятность того, что...
-
Еще одним подходом к проблеме формализации алгоритма являются, так называемые, рекурсивные функции. Исторически этот подход возник первым, поэтому в...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций
В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний...
-
Первое звено апериодическое. Второе звено интегрирующее. Третье и четвертое звено - инерционные Передаточная функция разомкнутой системы равна...
-
Если функция f(x) периодична с периодом Т, то по значениям этой функции на любом отрезке длины Т можно восстановить ее значения на всей числовой прямой....
-
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...
-
Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...
-
ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ Функция называется Возрастающей на некотором Промежутке , если на этом промежутке большему значению независимой переменной...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы
При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...
-
Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое...
-
Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций
Пусть задана функция, со значениями в, и на множестве определена функция со значениями в. Тогда для любого можно вычислить, на можно определить функцию...
-
Многокритериальный оптимизация нейронный аппроксимация Общая схема рассматриваемого метода является итерационной и состоит из следующих основных этапов....
-
Вариации коэффициентов целевой функции ЗЛП приводят к изменению направления вектора градиента. Так как при этом не затрагивается допустимое множество, то...
-
Современные инженерные задачи оптимизации многокритериальные. Выделяют класс задач многоцелевой или многокритериальной оптимизации (класс МКО-задач). В...
-
ОБОСНОВАНИЕ ВИДА И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ - Основы прогнозирования
На практике при выборе аналитической функции рекомендуется подбирать функцию с таким расчетом, чтобы ее конструктивные элементы, коэффициенты и константы...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Табличное представление цен действий и состояний задачи имеет естественные ограничения по масштабируемости задачи на большую размерность. В дискретных...
-
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые называют элементами матрицы и обозначается...
-
Сводимость - Рекурсивные функции
Помимо построения контрпримеров, в математических доказательствах часто используют метод сведения, который на практике мы часто формулируем в виде...
-
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования. Уравнение, связывающее две...
-
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН Величины называют Скалярными (скалярами), Если они после выбора единиц измерения полностью...
-
Пусть R= R (sinx, cosx) является рациональной функцией. Т: Интеграл ?R (sinx, cosx) dx при помощи подстановки t=tg (x/2) [1] преобразуется в интеграл...
Степенная функция - Конформное отображение