Дробно-линейная функция - Конформное отображение
Определение 4. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется дробно-линейной функцией. При этом будем предполагать, что, чтобы исключить случай обращения в линейную функцию, а также вырождения в постоянную.
Условие - является достаточным условием однолистности функции в.
При этом под углом между кривыми в точке. понимается угол между образами этих кривых при отображении в точке
Используя эти определения получаем cвойства дробно-линейного отображения:
1) Дробно-линейная функция представима в виде:
,
И, следовательно, является последовательным применением следующих преобразований к точкам комплексной плоскости : 1) линейного отображения, 2) функции вида, 3) поворота на угол и подобия с коэффициентом подобия, 4) параллельного переноса на вектор: . Учитывая свойства этих отображений, получаем, что дробно - линейное отображение является однолистным, голоморфным, поэтому представляет собой конформное отображение всей плоскости, за исключением точек. В точках конформность следует проверять отдельно.
1.1 ) Точка при отображении переходит в точку. Проверим является ли дробно-линейным отображение конформным в точке, для этого выполним замену: , которая переведет точку в точку, тогда
.
Находим производную функцию в точке :
,
Т. к. согласно определению дробно-линейной функции, то. Отображение имеет производную отличную от нуля в точке, следовательно, оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку. Это означает, что отображение сохраняет углы в точке, а значит, является конформным отображением в точке.
1.2 ) Точка при отображении переходит в точку. Проверим является ли дробно-линейное отображение конформным в точке. Для этого выполним преобразование, которое переведет точку в точку :
Находим производную функции в точке :
, ,
Учитывая определение дробно линейной функции, получим, что, следовательно,
Отображение имеет производную отличную от нуля в точке, и является конформным в ней, поэтому оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку.
Итак, отображение представляет собой конформное отображение во всей расширенной плоскости.
2) Круговое свойство дробно-линейного отображения: произвольное дробно-линейное отображение переводит окружность комплексной плоскости в некоторую окружность расширенной комплексной плоскости (под окружностью в понимается либо обычная окружность в центром в некоторой конечной точке и конечного радиуса, либо прямая).
Доказательство.
При в дробно-линейное отображение становится линейным и утверждение теоремы очевидно, т. к. такое отображение переводит окружности на комплексной плоскости в окружности, а прямые в прямые. Если в, то отображение можно записать в виде
Где
Из этого представления видно, что дробно-линейное отображение является композицией трех отображений:
Линейные отображения и, как уже сказано, обладают свойством. Остается доказать, что круговым свойством обладает и отображение.
Заметим, что уравнение любой окружности в (т. е. любой окружности в и любой прямой в ) можно записать в виде
Где возможен случай (это соответствует прямым в). Переходя к комплексному переменному и учитывая, что, из получаем комплексное уравнение окружности в
В котором. Чтобы получить уравнение образа окружности в при отображение, достаточно в подставить :
Или
Мы пришли к уравнению того же вида, что и уравнение
.
Следовательно, образ окружности в при отображении есть окружность в.
Доказательство теоремы завершает соображение: если два отображения обладают круговым свойством, то и их композиция обладает круговым свойством. Мы представили произвольное дробно-линейное отображение в виде композиции трех отображений. Каждое из этих трех отображений обладает круговым свойством. Значит, и их композиция обладает круговым свойством.
Похожие статьи
-
Показательная функция - Конформное отображение
Определение 7. Функция вида: называется показательной функцией. Свойства показательных функций: 1) Функция - - дифференцируема во всей плоскости. Так как...
-
Конформность дифференцируемого отображения - Конформное отображение
Пусть через точку проходят две гладкие кривые и касательные l1 и l2 к которым образуют с осью углы, соответственно, 1 и 2. Образы этих кривых и при...
-
Линейная функция - Конформное отображение
Определение 2. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется линейной. Определение 3. Отображение, осуществимое линейной функцией...
-
Тригонометрические функции комплексной переменной - Конформное отображение
Определение 8. Из формулы Эйлера для всех действительных имеем Откуда , Эти формулы можно использовать для голоморфного продолжения косинуса и синуса в...
-
Сохранение симметрии при дробно-линейном отображении. - Конформное отображение
Замечание 2. Дробно-линейное отображение преобразует окружность в прямую, если проходит через точку, которая переходит в бесконечно удаленную точку. Если...
-
Понятие конформного отображения - Конформное отображение
Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w....
-
Инвариант дробно-линейного отображения - Конформное отображение
При помощи дробно-линейного отображения можно единственным образом преобразовать три заданные точки комплексной плоскости в три заданные комплексные...
-
Степенная функция - Конформное отображение
Определение 6. Функция вида: , где - натуральное число, называется степенной функцией. Свойства степенных функций: 1) Функция - - дифференцируема во всей...
-
Элементарные функции - Конформное отображение
Теория конформных отображений подчинена решению двух основных задач: 1) найти образ области при заданном отображении; 2) найти конформное отображение...
-
Принцип симметрии - Конформное отображение
Теорема 9 (принцип непрерывности). Пусть две односвязные области и в расширенной комплексной плоскости не пересекаются, но имеют общий участок границы в...
-
Углом в один градус называется угол равный 1/180 части развернутого угла. Развернутый угол равен 180 градусам. Прямой угол равен половине развернутого...
-
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования. Уравнение, связывающее две...
-
Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...
-
Ответ: Функция y=arctgx, ее график, свойства Ответ: Функция y=arcctgx, ее график, свойства Ответ: Решение уравнений sinx=a, частные случаи Ответ:...
-
Ответ: Функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g числу у число z. Говорят что h есть сложная функция составленная из функций g и f, и...
-
ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Если отношение имеет предел при этот предел называют...
-
Q(x) - соответствует площади боковой поверхности данного тела от точки А до точки х. Q(x)>х€[a, x]. Q (x+?x)>х€[a, x+?x], тогда ?Q=Q...
-
Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций
В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний...
-
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Четность и...
-
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Любая Поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением Иными словами, все точки, которые...
-
Пусть функция определена в промежутке Х (рис.1). Исходя из некоторого значения независимой переменной, придадим ему приращение, не выводящее его из...
-
ОБОСНОВАНИЕ ВИДА И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ - Основы прогнозирования
На практике при выборе аналитической функции рекомендуется подбирать функцию с таким расчетом, чтобы ее конструктивные элементы, коэффициенты и константы...
-
Еще одним подходом к проблеме формализации алгоритма являются, так называемые, рекурсивные функции. Исторически этот подход возник первым, поэтому в...
-
Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно-монотонная функция f(x). Покажем, что данную функцию в точках ее непрерывности можно представить в виде...
-
Методы построения функций принадлежности нечетких множеств - Нечеткая логика
В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт или просто задает для любого x?E значение ?A(x), или определяет функцию...
-
Теорема о параметризации - Рекурсивные функции
Одно и то же выражение может порождать несколько разных функций, от разного числа аргументов. Так, обычное арифметическое выражение xK можно считать...
-
Ответ: Функция f называется четной если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x) График четной функции симметричен относительно оси ординат....
-
Ответ: уравнение ax2+bx+c=0. Где а не равно нулю, называется квадратным. Чтобы его решить нужно вычислить дискриминант. D=b2 -4ac и сравнить его с нулем....
-
Выделим случай, когда входной сигнал X ( T ) является элементарной функцией 1( T ). Реакцию системы на воздействие 1( T ) можно компактно: [1] Где...
-
Уравнение динамики теплообменника: Передаточные функции объекта получим по его уравнению динамики. Для этого запишем уравнение по заданному каналу. Затем...
-
Выполнил: Шварц В. И. 9-Б класс Руководитель: Шагалина Д. Г. Межгорье 2005 Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под Знаком модуля Любое...
-
Несобственные интегралы, Интегрирование неограниченных функций - Определенные интегралы
При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными...
-
Непрерывность композиции, Точки разрыва - Свойства функций
Пусть задана функция, со значениями в, и на множестве определена функция со значениями в. Тогда для любого можно вычислить, на можно определить функцию...
-
Непрерывность функции - Свойства функций
Рассмотрим функцию, определенную на промежутке Пусть. Функция называется непрерывной в точке, если Функция называется Непрерывной слева (справа) в точке,...
-
Бесконечные пределы - Свойства функций
Функция называется Бесконечно малой при (или, или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех...
-
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ - Скалярные и векторные величины, матрицы и функции
Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций и отношение стремится к некоторому числу при, то тогда к такому же числу будет...
-
ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ Функция называется Возрастающей на некотором Промежутке , если на этом промежутке большему значению независимой переменной...
-
Первое звено апериодическое. Второе звено интегрирующее. Третье и четвертое звено - инерционные Передаточная функция разомкнутой системы равна...
-
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество, то тогда...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
Дробно-линейная функция - Конформное отображение