Дробно-линейная функция - Конформное отображение

Определение 4. Функция вида: , где - фиксированные комплексные числа, называется дробно-линейной функцией. При этом будем предполагать, что, чтобы исключить случай обращения в линейную функцию, а также вырождения в постоянную.

Условие - является достаточным условием однолистности функции в.

При этом под углом между кривыми в точке. понимается угол между образами этих кривых при отображении в точке

Используя эти определения получаем cвойства дробно-линейного отображения:

1) Дробно-линейная функция представима в виде:

,

И, следовательно, является последовательным применением следующих преобразований к точкам комплексной плоскости : 1) линейного отображения, 2) функции вида, 3) поворота на угол и подобия с коэффициентом подобия, 4) параллельного переноса на вектор: . Учитывая свойства этих отображений, получаем, что дробно - линейное отображение является однолистным, голоморфным, поэтому представляет собой конформное отображение всей плоскости, за исключением точек. В точках конформность следует проверять отдельно.

1.1 ) Точка при отображении переходит в точку. Проверим является ли дробно-линейным отображение конформным в точке, для этого выполним замену: , которая переведет точку в точку, тогда

.

Находим производную функцию в точке :

,

Т. к. согласно определению дробно-линейной функции, то. Отображение имеет производную отличную от нуля в точке, следовательно, оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку. Это означает, что отображение сохраняет углы в точке, а значит, является конформным отображением в точке.

1.2 ) Точка при отображении переходит в точку. Проверим является ли дробно-линейное отображение конформным в точке. Для этого выполним преобразование, которое переведет точку в точку :

Находим производную функции в точке :

, ,

Учитывая определение дробно линейной функции, получим, что, следовательно,

Отображение имеет производную отличную от нуля в точке, и является конформным в ней, поэтому оно сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку.

Итак, отображение представляет собой конформное отображение во всей расширенной плоскости.

2) Круговое свойство дробно-линейного отображения: произвольное дробно-линейное отображение переводит окружность комплексной плоскости в некоторую окружность расширенной комплексной плоскости (под окружностью в понимается либо обычная окружность в центром в некоторой конечной точке и конечного радиуса, либо прямая).

Доказательство.

При в дробно-линейное отображение становится линейным и утверждение теоремы очевидно, т. к. такое отображение переводит окружности на комплексной плоскости в окружности, а прямые в прямые. Если в, то отображение можно записать в виде

Где

Из этого представления видно, что дробно-линейное отображение является композицией трех отображений:

Линейные отображения и, как уже сказано, обладают свойством. Остается доказать, что круговым свойством обладает и отображение.

Заметим, что уравнение любой окружности в (т. е. любой окружности в и любой прямой в ) можно записать в виде

Где возможен случай (это соответствует прямым в). Переходя к комплексному переменному и учитывая, что, из получаем комплексное уравнение окружности в

В котором. Чтобы получить уравнение образа окружности в при отображение, достаточно в подставить :

Или

Мы пришли к уравнению того же вида, что и уравнение

.

Следовательно, образ окружности в при отображении есть окружность в.

Доказательство теоремы завершает соображение: если два отображения обладают круговым свойством, то и их композиция обладает круговым свойством. Мы представили произвольное дробно-линейное отображение в виде композиции трех отображений. Каждое из этих трех отображений обладает круговым свойством. Значит, и их композиция обладает круговым свойством.

Похожие статьи




Дробно-линейная функция - Конформное отображение

Предыдущая | Следующая