Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций

В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что, то получают Односторонний предел справа или Правосторонний предел функции в точке. Если же считать, что и, то получают односторонний предел слева или Левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции, изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: и.

Правосторонний предел обозначают символом, левосторонний _ символом. Таким образом:

.

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения.

Для того, чтобы у функции в точке существовал двусторонний предел, необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и функции в точке, и эти пределы были равны между собой: .

Пример.

Пример.

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке, можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону или. В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции при равен, если для существует такое, что для, удовлетворяющего условию, выполняется неравенство. Аналогично, при, если для существует такое, что для, , выполняется неравенство.

Если функция, где и есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т. е. членов с наибольшими степенями переменной функций и ).

Пример 3. , поскольку для выполнено неравенство, если только

Пример 4.

.

Пример 5.

.

Похожие статьи




Односторонние пределы, Пределы на бесконечности - Свойства функций

Предыдущая | Следующая