Построение (черчение) трехмерных проекций четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

На рис. 3.3 представлено построение горизонтальной (HI), фронтальной (VI) и профильной (WI) проекций четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим проекциям "исходной" правильной четырехугольной пирамиды.

А на рис. 3.4 показана Последовательность Построения (черчения) на рис. 3.3 Фронтальной (VI) Проекции 3ПГК-4 По Фронтальной (V) Проекции "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды.

Данный метод (принцип, способ) построения (черчения) горизонтальной, фронтальной и профильной проекций 3ПГК-4 состоит в том, что в соответствующих им горизонтальной, фронтальной и профильной проекциях "исходной" пирамиды к каждой вершине последовательно достраиваются еще три недостающих боковых ребра этой пирамиды.

Рис. 3.3.Построение Горизонтальной (H'), Вертикальной (V') И Профильной (W') Проекций Четырехмерного Гиперкуба (3ПГК-4) По Соответствующим Проекциям Правильной "исходной" Четырехугольной Пирамиды PГEГFГGГHГ

последовательность построения (черчения) фронтальной проекции v 3пгк-4 по фронтальной проекции v

Рис. 3.4. Последовательность Построения (черчения) Фронтальной Проекции VI 3ПГК-4 По Фронтальной Проекции V "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды P'E'ГF'ГG'ГH'Г .

А) - Фронтальная Проекция "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды PEГFГGГНГ .

Продолжение рис. 3.4. Последовательность Построения (черчения) Фронтальной Проекции VI 3ПГК-4 По Фронтальной Проекции V "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды P'E'ГF'ГG'ГH'Г .

А) - Фронтальная Проекция Правильной Четырехугольной Пирамиды PEГFГGГНГ - Кружком Обозначены Вершины Проекции V' 3ПГК-4, К Которым В Данном Чертеже (б, в,г,...,н) Были Построены Недостающие Ребра Проекции V Пирамиды; Эти Ребра Отмечены "галочками".

Предлагаю вашему вниманию важный для понимания 3ПГК-4 ракурс (рис. 3.5.). В этом ракурсе в "исходной" пирамиде 3ПГК-4 во фронтальной и профильной проекциях Визуально Совмещены две пары боковых ребер пирамиды, в результате чего в чертежах фронтальной, профильной и даже горизонтальной проекциях 3ПГК-4 произошло Визуальное Совмещение пяти пар вершин, и соответственно, шестнадцати пар ребер!

построение горизонтальной

Рис. 3.5. Построение Горизонтальной (H'), Фронтальной (V') И Профильной (W') Проекций Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба (3ПГК-4) По Соответствующим Проекциям Правильной Четырехугольной "исходной" Пирамиды P'E'ГF'ГG'ГH'Г В Выбранном Ракурсе. Т Для Наглядности: В Проекциях H' И H'1 - Небольшое Изменение Ракурса. Кружками Отмечены Совмещенные Вершины.

В этом же рис. 3.5 для наглядности, т. е. лучшего понимания расположения вершин и ребер проекций 3ПГК-4, дополнительно начерчены в горизонтальных проекциях "исходная" пирамида и 3ПГК-4 В Слегка Измененном Ракурсе.

Этот способ построения (черчения) проекций 3ПГК-n - легкое, очень небольшое изменение ракурса - очень удобно применять, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-4.

Все горизонтальные проекции 3ПГК-n в идеально правильном исполнении чертежа, построенные (начерченные) с помощью соответствующей горизонтальной проекции "исходной" правильной n-угольной пирамиды, обязательно имеют совмещения вершин (визуальные или реальные, фактические - геометрически обусловленные) и ребер (только визуально полностью или частично совмещенные).

В самих n-мерных гиперкубах (ГК-n) могут быть совмещены вершины, но не может быть совмещенных ребер, граней, кубов.

Я не рекомендовала бы вам, уважаемые геометры, сразу приступать к черчению идеально правильных горизонтальных проекций 3ПГК-n, потому что очень трудно осмыслить как, в какой последовательности происходит совмещение вершин, ребер и даже граней в чертеже.

Вот поэтому я сначала выбираю горизонтальную проекцию "исходной" правильной n-угольной пирамиды В Слегка Измененном Ракурсе и последовательно, как показано на рис. 3.6, строю (черчу) соответствующую проекцию 3ПГК-n.

Заметьте, что при последовательном черчении проекций 3ПГК-4 на рис. 3.6 я, так сказать, иду По Крайним Вершинам.

последовательность построения

Рис. 3.6. Последовательность Построения (черчения) Проекций Н'1 3ПГК-4 В Рис. 3.5 (слегка Измененного Ракурса Горизонтальной Проекции Н') По Соответствующей Проекции Н1 "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды P1EГ1FГ1GГ1HГ1.

Продолжение рис. 3.6. Затемненными Кружками Отмечены Вершины, К Которым В Данном Чертеже (б, В, с, ..., Н) Были Построены Недостающие Ребра; Эти Ребра Отмечены "галочками".

Думаю, представляет интерес следующий ракурс изображения (черчения) фронтальной (VI) и профильной (WI) проекций 3ПГК-4 на рис. 3.7.

построение горизонтальной

Рис. 3.7.Построение Горизонтальной (H'), Вертикальной (V') И Профильной (W') Проекций Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба (3ПГК-4) По Соответствующим Проекциям "исходной" Правильной Четырехугольной Пирамиды PEГFГGГHГ.

Для осмысления, например, фронтальной проекции 3ПГК-4 достаточно слегка изменить ракурс (см. рис. 3.8) и фронтальная проекция "исходной" пирамиды (А) на рис. 3.8 примет вид (А1).

а) и б) - из рис. 3.7 - фронтальные проекции

Рис. 3.8. А) И Б) - Из Рис. 3.7 - Фронтальные Проекции "исходной" Пирамиды (V) И 3ПГК-4 (V'); А1) И Б1) - То Же, В Слегка Измененном Ракурсе - Для Наглядности;"кружочками" Отмечены Совмещенные Вершины.

На рисунках 3.9, 3.10 и 3.11 предлагаю вашему вниманию чертежи трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) в наиболее важных ракурсах. Причем для наглядности и лучшего понимания расположения на чертежах вершин и ребер 3ПГК-4 в этих рисунках справа представлены чертежи 3ПГК-4 в слегка измененном ракурсе.

Кстати, на рис. 3.11 (б) 3ПГК-4 представлена В "самом Оригинальном Ракурсе" - на чертеже все вершины 3ПГК-4 Визуально совмещены.

б) - чертеж 3пгк-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б) - для наглядности

Рис. 3.9. Б) - Чертеж 3ПГК-4 В Оригинальном Ракурсе, Построенный С Помощью Проекции Пирамиды (а); Б1) - Для Наглядности: То Же, В Слегка Измененном Ракурсе.

б) - чертеж 3пгк-4 в оригинальном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды (а); б) - для наглядности

Рис. 3.10. Б) - Чертеж 3ПГК-4 В Оригинальном Ракурсе, Построенный С Помощью Проекции Пирамиды (а); Б1) - Для Наглядности: То Же, В Слегка Измененном Ракурсе.

б) - чертеж 3пгк-4 в важном ракурсе, построенный с помощью проекции пирамиды [a)]; б) - для наглядности

Рис. 3.11. Б) - Чертеж 3ПГК-4 В Важном Ракурсе, Построенный С Помощью Проекции Пирамиды [a)]; Б1) - Для Наглядности: То Же, В Слегка Измененном Ракурсе.

Глядя на чертежи, возможно, вам трудно будет поверить, что это действительно чертежи 3ПГК-4. Но я из трубочек и лески создала несколько экземпляров моделей 3ПГК-4 и 3ПГК-5 и развесила их по всей квартире, чтобы они везде были на виду, и поэтому я имею возможность рассматривать их в разных ракурсах.

Вы можете сами начертить "исходную" правильную n-угольную пирамиду 3ПГК-n в абсолютно любом ракурсе и, пользуясь тем или иным методом, начертить соответствующую проекцию 3ПГК-n. И Вовсе Не Обязательно В Одном Чертеже Классически Строить Одновременно Горизонтальную, Фронтальную И Профильную Проекции, - Профессиональному Геометру По Виду Начерченной "исходной" Правильной N-угольной Пирамиды 3ПГК-n Уже Понятно, В Каком Ракурсе Начерчена Проекция 3ПГК-n.

О внешнем виде всех 3ПГК-n :

Вот аналогия: Все 3ПГК-n Как На Их Чертежах, Так И В Самих Моделях, Своей Внешней Геометрической Формой Напоминают "юлу" (или Волчок). И чем выше измерение, тем все более и более 3ПГК-n напоминает форму "юлы".

В Идеально Построенных Чертежах 3ПГК-n, Где N ? 5, Существует Только Одна Горизонтальная Проекция 3ПГК-n, Фронтальных И Профильных Проекций - Сколь Угодно Много, А Проекций В Ракурсах Под Определенным Углом Зрения - Бесчисленное Множество.

Итак, чтобы построить горизонтальную проекцию 3ПГК-n, надо сначала построить горизонтальную проекцию ее "исходной" правильной n-угольной пирамиды, то есть построить правильный n-угольник. - Всего-то!

Еще раз обращаю ваше внимание на факт, что на тетрадном листе бумаги "в клетку" через вершины квадратных "клеток", кроме самого квадрата, Невозможно Построить Все Остальные Правильные Многоугольники (треугольник, пятиугольник, шестиугольник, ..., десятиугольник, ..., и т. д.).

Я каждое ребро многоугольника в моих чертежах рассматриваю как гипотенузу и проверяю ее теоремой Пифагора. Пытаясь построить эти правильные многоугольники "по вершинам "клеток"", я добиваюсь наименьшей погрешности в чертежах.

Казалось бы, черчение 3ПГК-n "по вершинам клеток" - недостаток. Но! Но этот "недостаток" можно превратить в "достоинство" данного способа построения проекций 3ПГК-n, особенно при построении горизонтальных проекций 3ПГК-n. Как я уже писала, я не советовала бы вам начинать построение горизонтальных проекций 3ПГК-n, пользуясь идеально правильной проекцией "исходной" правильной n-угольной пирамиды, - у вас будет на чертежах (особенно при n = четному числу) совмещение вершин, ребер, граней и даже кубов. Это нормально, правильно. Чаще всего это - визуальное совмещение.

Похожие статьи




Построение (черчение) трехмерных проекций четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

Предыдущая | Следующая