Единичный куб 3ПГК-4 - "Начала" многомерной геометрии

Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах AГ и BГ вписанного в 3ПГК-4 куба AГBГCГDГEГFГGГHГ, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.

Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4

Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трехмерный куб с длиной ребра "А". Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна. Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т. е. до величины "А") так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.

Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырехгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.

Определим объем единичного куба BГNCГMKFГO2AГ трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба VЕ. к. (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18.

Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырехгранная призма, то ее объем определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань BГNCГM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (SЕ. г.), которой является ромб BГNCГM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т. е.

. (2.8)

Из таблицы 2.3 возьмем значение D через D: и выразим SЕ. г. только через D:

(2.9)

Высотой H в этой четырехгранной призме является отрезок ВГТ, т. е. H = BГT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AГBГFГ (где AГBГ = BГFГ = d и AГFГ = D) легко определить, что отрезок BГT = H равен 1/2-AГFГ и является собственно половиной диагонали BГEГ = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) AГBГFГEГ вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,

. (2.10)

Тогда объем четырехгранной призмы BГNCГMKFГO2AГ, т. е. объем единичного куба 3ПГК-4 (VЕ. к.) определится:

. (2.11)

Замечательно, что величина "D3" - это объем вписанного в 3ПГК-4 куба AГBГCГDГEГFГGГHГ, ребро которого обозначено через D.

Итак, вычислено, что Объем Единичного Куба 3ПГК-4 (VЕ. к.) Равен Половине Объема Вписанного В 3ПГК-4 Куба.

Объем всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:

. (2.12)

Определим объем тела трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (V3ПГК-4). Вернемся к рис. 2.7 и 2.15.

При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырехугольная пирамида PEГFГGГHГ геометрически равна пирамиде O1EГFГGГHГ. При этом следует иметь в виду, что пирамида PEГFГGГHГ - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырехугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объем шести внешних пирамид также равен объему вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, Объем 3ПГК-4 Равен Удвоенному Объему Вписанного В Него Куба, т. е.:

. (2.13)

Это самый легкий и очевидный способ определения объема 3ПГК-4. Есть и другие способы.

Объем Восьми Единичных Кубов (4D3) Больше Объема Самой Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба (2D3) Ровно В Два Раза. Почему? Давайте разберемся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.

Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.

Рис. 2.19.

Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине BГ (BГNCГMKFГO2AГ) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трех геометрически равных между собой четырехугольных пирамид с общей вершиной O2: O2BГKAГM, O2BГNFГK и O2BГNCГM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых ребер этих пирамид: O2BГ = O2AГ = O2FГ = = O2CГ = A и O2K = O2M = O2N = D. Все эти пирамиды имеют ту же высоту H, что и сам единичный куб, т. е. четырехугольная призма.

Вычислим объем одной пирамиды VПир. с помощью формул (2.9) и (2.10):

, (2.14)

Что подтверждает, что Объем Пирамиды В Три Раза Меньше Объема Единичного Куба.

Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих ее поверхность
(S3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то Суммарный Объем Всех Этих 12-ти Пирамид Определит Объем 3ПГК-4:

. (2.15)

Вот вам второй способ определения объема 3ПГК-4.

Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:

. (2.16)

Но вернемся к теме обсуждения.

Выделенный при вершине BГ единичный куб BГNFГKMCГO2AГ каждой третью своей делит (т. е. совмещает) свой объем с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах AГ, FГ и CГ :

    1) c единичным кубом AГMDГQKBГO2EГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГKAГM ; 2) с единичным кубом FГNGГPKBГO1EГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГNFГK ; 3) с единичным кубом CГMBГNLDГO2GГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГNCГM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе AГBГCГDГEГFГGГHГ вершины AГ, FГ и CГ являются ближайшими к вершине BГ.

Таким образом, доказано, что Каждый Единичный Куб 3ПГК-4 Каждой Третью Своего Объема Совмещает Свое Пространство (объем) С Тремя Другими Близлежащими Единичными Кубами.

Вот поэтому Суммарный Объем Всех Восьми Единичных Кубов 3ПГК-4 () Больше Объема Самой 3ПГК-4 () В Два Раза.

Еще два свойства единичных кубов 3ПГК-4:

    1) Каждый Единичный Куб 3ПГК-4 Имеет По Одной Грани, Общей С Шестью Из Семи Других Единичных Кубов. Так, единичный куб BГNCГMKFГO2AГ не имеет общей грани только с единичным кубом HГQEГPLDГO1GГ , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах BГ и HГ , N и Q, CГ и FГ , M и P, K и L, FГ и DГ , AГ и GГ - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O1 и O2 в этих единичных кубах является одной совмещенной вершиной, т. е.: 2) Все Восемь Единичных Кубов 3ПГК-4 Имеют Общую Вершину, В Которой Совмещены Две Вершины - O1 И O2 .

Результаты Расчетов Основных Геометрических Параметров 3ПГК-4, Выраженные Через Элементы Ромба (единичной Грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

№ п/п

Наименование основных геометрических параметров и элементов ЗПГК-4

Обозначение

Основные геометрические параметры ЗПГК-4, выраженные через элементы ромба (грани):

Ребро,

Малую диагональ,

Большую

диагональ,

1

Единичное ребро ЗПГК-4

2

Площадь единичной грани ЗПГК-4

3

Обьем единичного куба ЗПГК-4

4

Обьем ЗПГК-4

5

Площадь поверхности ЗПГК-4

Уважаемые профессиональные математики!

Следующими главами работы ""Начала" геометрии многомерных измерений" должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т. д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трехмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т. д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.

Могу сообщить, что трехмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.

Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.

Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.

Похожие статьи




Единичный куб 3ПГК-4 - "Начала" многомерной геометрии

Предыдущая | Следующая