Единичный куб 3ПГК-4 - "Начала" многомерной геометрии
Как видно из чертежей рисунков 2.14, 2.15 и 2.16, единичные кубы трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) можно построить не только при вершинах AГ и BГ вписанного в 3ПГК-4 куба AГBГCГDГEГFГGГHГ, но и при остальных шести вершинах этого вписанного куба. Таким способом легко определить все восемь (8) единичных кубов, образующих 3ПГК-4.
Геометрические особенности единичного куба 3ПГК-4
Чтобы понять, как выглядит единичный куб 3ПГК-4, представьте себе трехмерный куб с длиной ребра "А". Этот куб имеет 4 больших диагонали, равных между собой, длина которых равна. Так вот, теперь одну из этих больших диагоналей уменьшите до величины ребра куба (т. е. до величины "А") так, чтобы три других диагонали, увеличившись при этом по длине, были равны между собой. Вот вы и получили единичный куб 3ПГК-4.
Что-то мне не приходит на ум, как правильно назвать эту фигуру. Ромбогексаэдр? Или просто четырехгранной призмой? Поправьте, пожалуйста, если я ошиблась.
Определим объем единичного куба BГNCГMKFГO2AГ трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба VЕ. к. (см. рис. 2.18).
Рис. 2.18.
Так как по определению единичный куб 3ПГК-4 - это четырехгранная призма, то ее объем определится как произведение площади основания этой призмы на высоту этой призмы. Примем за основание этой призмы грань BГNCГM. Площадь единичной грани 3ПГК-4 (SЕ. г.), которой является ромб BГNCГM, равна половине произведения диагоналей этого ромба, т. е.
. (2.8)
Из таблицы 2.3 возьмем значение D через D: и выразим SЕ. г. только через D:
(2.9)
Высотой H в этой четырехгранной призме является отрезок ВГТ, т. е. H = BГT. Из равнобедренного прямоугольного треугольника AГBГFГ (где AГBГ = BГFГ = d и AГFГ = D) легко определить, что отрезок BГT = H равен 1/2-AГFГ и является собственно половиной диагонали BГEГ = D (см. рис. 2.15) в грани (квадрате) AГBГFГEГ вписанного в 3ПГК-4 куба. Следовательно,
. (2.10)
Тогда объем четырехгранной призмы BГNCГMKFГO2AГ, т. е. объем единичного куба 3ПГК-4 (VЕ. к.) определится:
. (2.11)
Замечательно, что величина "D3" - это объем вписанного в 3ПГК-4 куба AГBГCГDГEГFГGГHГ, ребро которого обозначено через D.
Итак, вычислено, что Объем Единичного Куба 3ПГК-4 (VЕ. к.) Равен Половине Объема Вписанного В 3ПГК-4 Куба.
Объем всех восьми единичных кубов 3ПГК-4 соответственно определится:
. (2.12)
Определим объем тела трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (V3ПГК-4). Вернемся к рис. 2.7 и 2.15.
При обсуждении чертежа на рис. 2.7 было доказано, что четырехугольная пирамида PEГFГGГHГ геометрически равна пирамиде O1EГFГGГHГ. При этом следует иметь в виду, что пирамида PEГFГGГHГ - внешняя по отношению к вписанному в 3ГПК-4 кубу и таких внешних пирамид - шесть, но ведь и сам вписанный в 3ПГК-4 куб состоит из шести внутренних четырехугольных пирамид. А так как все двенадцать пирамид геометрически равны между собой, то общий объем шести внешних пирамид также равен объему вписанного в 3ПГК-4 куба, следовательно, Объем 3ПГК-4 Равен Удвоенному Объему Вписанного В Него Куба, т. е.:
. (2.13)
Это самый легкий и очевидный способ определения объема 3ПГК-4. Есть и другие способы.
Объем Восьми Единичных Кубов (4D3) Больше Объема Самой Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба (2D3) Ровно В Два Раза. Почему? Давайте разберемся, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4 и между собой.
Чтобы понять, как размещены единичные кубы в теле 3ПГК-4, рассмотрим чертежи на рис. 2.19.
Рис. 2.19.
Из тела 3ПГК-4 (рис. 2.19, а) выделен единичный куб при вершине BГ (BГNCГMKFГO2AГ) (рис. 2.19, б), который, в свою очередь, состоит из трех геометрически равных между собой четырехугольных пирамид с общей вершиной O2: O2BГKAГM, O2BГNFГK и O2BГNCГM (рис. 2.19, в, г, д). Основаниями этих пирамид служат находящиеся на поверхности 3ПГК-4 грани (ромбы) выделенного единичного куба. Соблюдаются также следующие равенства боковых ребер этих пирамид: O2BГ = O2AГ = O2FГ = = O2CГ = A и O2K = O2M = O2N = D. Все эти пирамиды имеют ту же высоту H, что и сам единичный куб, т. е. четырехугольная призма.
Вычислим объем одной пирамиды VПир. с помощью формул (2.9) и (2.10):
, (2.14)
Что подтверждает, что Объем Пирамиды В Три Раза Меньше Объема Единичного Куба.
Так как внешних граней в 3ПГК-4, образующих ее поверхность
(S3ПГК-4), 12 и каждая из этих 12-ти граней является основанием пирамиды с вершиной в точке O, то Суммарный Объем Всех Этих 12-ти Пирамид Определит Объем 3ПГК-4:
. (2.15)
Вот вам второй способ определения объема 3ПГК-4.
Площадь поверхности 3ПГК-4 определится таким образом:
. (2.16)
Но вернемся к теме обсуждения.
Выделенный при вершине BГ единичный куб BГNFГKMCГO2AГ каждой третью своей делит (т. е. совмещает) свой объем с тремя единичными кубами, расположенными при вершинах AГ, FГ и CГ :
- 1) c единичным кубом AГMDГQKBГO2EГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГKAГM ; 2) с единичным кубом FГNGГPKBГO1EГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГNFГK ; 3) с единичным кубом CГMBГNLDГO2GГ - совмещенный объем в виде пирамиды O2BГNCГM. Следует заметить, что в вписанном в 3ПГК-4 кубе AГBГCГDГEГFГGГHГ вершины AГ, FГ и CГ являются ближайшими к вершине BГ.
Таким образом, доказано, что Каждый Единичный Куб 3ПГК-4 Каждой Третью Своего Объема Совмещает Свое Пространство (объем) С Тремя Другими Близлежащими Единичными Кубами.
Вот поэтому Суммарный Объем Всех Восьми Единичных Кубов 3ПГК-4 () Больше Объема Самой 3ПГК-4 () В Два Раза.
Еще два свойства единичных кубов 3ПГК-4:
- 1) Каждый Единичный Куб 3ПГК-4 Имеет По Одной Грани, Общей С Шестью Из Семи Других Единичных Кубов. Так, единичный куб BГNCГMKFГO2AГ не имеет общей грани только с единичным кубом HГQEГPLDГO1GГ , при этом заметим, что вершины в этих единичных кубах BГ и HГ , N и Q, CГ и FГ , M и P, K и L, FГ и DГ , AГ и GГ - диаметрально противоположные; и только восьмая пара вершин O1 и O2 в этих единичных кубах является одной совмещенной вершиной, т. е.: 2) Все Восемь Единичных Кубов 3ПГК-4 Имеют Общую Вершину, В Которой Совмещены Две Вершины - O1 И O2 .
Результаты Расчетов Основных Геометрических Параметров 3ПГК-4, Выраженные Через Элементы Ромба (единичной Грани 3ПГК-4), представлены в таблице 2.4.
Таблица 2.4.
№ п/п |
Наименование основных геометрических параметров и элементов ЗПГК-4 |
Обозначение |
Основные геометрические параметры ЗПГК-4, выраженные через элементы ромба (грани): |
Ребро, |
Малую диагональ, |
Большую диагональ, | |
1 |
Единичное ребро ЗПГК-4 | ||
2 |
Площадь единичной грани ЗПГК-4 | ||
3 |
Обьем единичного куба ЗПГК-4 | ||
4 |
Обьем ЗПГК-4 | ||
5 |
Площадь поверхности ЗПГК-4 |
Уважаемые профессиональные математики!
Следующими главами работы ""Начала" геометрии многомерных измерений" должны быть о пятимерном гиперкубе, шестимерном, семимерном гиперкубах и т. д., в которых надо определить все особенности их строения и вычислить все геометрические параметры трехмерных проекций 3ПГК-5, 3ПГК-6, 3ПГК-7 и т. д., - как это было сделано в этой главе относительно 3ПГК-4.
Могу сообщить, что трехмерная проекция уже шестимерного гиперкуба (3ПГК-6) откроет вам новые особенности строения 3ПГК-n.
Очень хочется, чтобы эта тема исследования кому-то стала интересной и близкой.
Мне очень хотелось бы узнать мнение об этой работе профессиональных математиков. Вы можете написать мне на мой электронный адрес.
Похожие статьи
-
Математики давно просчитали, что четырехмерный гиперкуб (ГК-4) состоит из 16-ти вершин, 32-х ребер, 24-х граней и 8-и кубов. Предложенная мною трехмерная...
-
Давайте осмыслим геометрические особенности трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трехмерной проекции системы...
-
Итак, создав из трубочек и лески модель трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) (см. фотографию 1), приступим к построению 3ПГК-4 на...
-
Метод построения горизонтальной проекции 3ПГК-n - "Начала" многомерной геометрии
3.15 на примере построения трехмерной проекции пятимерного гиперкуба (3ПГК-5). Рис. 3.15 (см. продолжение). Этапы Построения Горизонтальной Проекции...
-
Введение - "Начала" многомерной геометрии
Бог действует по геометрическим линиям. Платон Вообще сама идея четвертого измерения не раз привлекала к себе внимание крайних мистиков. Любопытно, что...
-
Полигон измерений, Абрис - "Начала" многомерной геометрии
Выражение, понятие "ребро-измерение" подразумевает, что это Векторная Величина. Следовательно, из этих векторных величин ("ребер-измерений") можно...
-
Трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии
В работе "Постигая четырехмерное измерение, мы приходим к геометрии N -мерных пространств" [3] я определила метод построения (черчения) трехмерной...
-
Идеальный чертеж трехмерной проекции семимерного гиперкуба (3ПГК-7) - "Начала" многомерной геометрии
Горизонтальная проекция. Рис. 3.32. Чертеж Трехмерной Проекции Семимерного Гиперкуба (3ПГК-7). Горизонтальная Проекция. Рабочие чертежи фронтальных...
-
На рис. 3.3 представлено построение горизонтальной (HI), фронтальной (VI) и профильной (WI) проекций четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) по соответствующим...
-
Чертеж трехмерной проекции восьмимерного гиперкуба (3ПГК-8). - "Начала" многомерной геометрии
Фронтальная проекция. Рис. 3.38. Чертеж Трехмерной Проекции Восьмимерного Гиперкуба (3ПГК-8).Фронтальная Проекция. Трехмерная проекция Десятимерного...
-
Ребра - измерения - "Начала" многомерной геометрии
Поясняю, что я называю ребрами-измерениями. Итак, (см. рис. 1.1) в каждой 3ПГК-n я определила две "исходные" правильные n-угольные пирамиды: верхнюю...
-
ПРИНЦИПЫ ИЗМЕРЕНИЙ И ШКАЛИРОВАНИЯ - Многомерный статистический анализ
Измерение шкалирование кластерный регрессионный Измерение - это Присвоение чисел или других символов характеристикам объектов по заранее определенным...
-
ТИПЫ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ - Основы моделирования геометрических объектов
Решение многих задач способами начертательной геометрии, в конечном счете, сводится к определению позиционных и метрических характеристик геометрических...
-
Сила влияния переменной Х на Y измеряется с помощью SSX. Поскольку SSX связано с вариацией средних значений групп Х, то относительное значение SSX растет...
-
ПОНЯТИЕ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
Дисперсионный анализ - Это статистический метод изучения различий между выборочными средними двух или больше совокупностей. Как правило, Нулевая гипотеза...
-
ДОПУЩЕНИЯ МОДЕЛИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА, ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - Многомерный статистический анализ
Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости исходит из ряда допущений: 1. Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент)...
-
СУЩНОСТЬ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
С помощью кластерного анализа, как и рассмотренного нами факторного анализа, можно проверить весь набор взаимозависимых связей. В кластерном анализе не...
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТОДА ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА И ЧИСЛА ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Определение метода факторного анализа. Различные методы факторного анализа различаются в зависимости от подходов, которые используются для выделения...
-
Можно выделить девять этапов факторного анализа. Для наглядности представим эти этапы на схеме, а затем дадим им краткую характеристику. Этапы выполнения...
-
СТАТИСТИКИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
Критерий сферичности Бартлетта. Статистика, проверяющая гипотезу о том, что переменные в генеральной совокупности не коррелируют между собой. Другими...
-
ТОЧНОСТЬ ПРЕДСКАЗАНИЙ - Многомерный статистический анализ
Чтобы оценить точность предсказанных (теоретических) значений Y, полезно вычислить стандартную ошибку оценки уравнения регрессии SEE . Эта статистика...
-
МЕТОДЫ СРАВНИТЕЛЬНОГО ШКАЛИРОВАНИЯ - Многомерный статистический анализ
Шкалирование методом попарного сравнения - Это метод сравнительного шкалирования, при котором респонденту дается два объекта для выбора по определенному...
-
ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА, ЛИТЕРАТУРА - Многомерный статистический анализ
Все этапы выполнения кластерного анализа можно представить в виде следующей последовательности (рис.4) Рис.4 ЛИТЕРАТУРА 1. Нэреш К., Малхотра....
-
СТАТИСТИКИ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
С кластерным анализом связаны следующие статистики и понятия: - План агломерации (объединения). Он дает информацию об объектах, событиях, случаях,...
-
МНОГОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ - Многомерный статистический анализ
Часто при исследованиях приходится иметь дело с одновременным влиянием нескольких факторов. Например - влияет ли на выбор потребителем конкретной...
-
ВРАЩЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Вращение факторов. Матрицу факторных нагрузок называют также матрицей факторного отображения. Она содержит коэффициенты, используемые для выражения...
-
МНОГОГРАННИКИ - Основы моделирования геометрических объектов
Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только...
-
ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ - Многомерный статистический анализ
Довольно часто у маркетологов возникает необходимость установить различия в средних значениях зависимой переменной для нескольких категорий одной...
-
УСЛОВИЯ, КОТОРЫЕ ДОПУСКАЮТ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА - Многомерный статистический анализ
Это статистический метод установления формы и изучения связей между метрической зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными ....
-
ФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ПРИ НОРМИРОВАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ - Многомерный статистический анализ
С математической точки зрения факторный анализ аналогичен множественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как линейная...
-
ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ - Многомерный статистический анализ
Мы установили, что линейный коэффициент корреляции - это показатель силы связи, описывающий линейную зависимость между двумя переменными. Тогда частный...
-
КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ, ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ - Многомерный статистический анализ
По сути дела эта дисперсионный анализ, который включает, по крайней мере, одну категориальную независимую переменную и одну интервальную или метрическую...
-
ТЕСНОТА И ЗНАЧИМОСТЬ СВЯЗИ - Многомерный статистический анализ
Соответствующий статистический вывод включает определение тесноты и значимости связи между Х и Y. Тесноту связи измеряют коэффициентом детерминации R 2 ....
-
В большинстве случаев 0 и 1 неизвестны. Их определяют (оценивают), исходя из имеющихся выборочных наблюдений с помощью следующего уравнения: Где -...
-
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ - Многомерный статистический анализ
Это метод установления математической зависимости между одной метрической зависимой (критериальной) переменной и одной метрической независимой переменной...
-
СОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТОДОВ ШКАЛИРОВАНИЯ - Многомерный статистический анализ
Все методы шкалирования можно условно разделить на Сравнительные и Несравнительные . Сравнительные шкалы - Это метод шкалирования, заключающийся в прямом...
-
Научная деятельность - Греческие ученые
Математика Средневековый портрет Архимеда По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе....
-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМЫХ И НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ - Многомерный статистический анализ
Пусть Y - зависимая переменная, X - независимая переменная или категориальная переменная, имеющая С категорий (уровней групп). Для каждой группы Х...
-
Геометрия древних египтян (Планиметрия) - История развития математики
Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700...
-
Стереометрические задачи - Применение производной в решении геометрических задач
Рис.7 Задача 1.Определить наибольший объем цилиндра, вписанного в конус с радиусом основания и высотой [4]. Решение. Обозначим радиус основания...
Единичный куб 3ПГК-4 - "Начала" многомерной геометрии