Построение регрессионной зависимости для полного (ПФЭ) и дробного (ДФЭ) факторного эксперимента и их анализ - Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа

Задание 4

Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости У=а0+а1*х1+а2*х2+а12*х1*х2 ,и проверить регрессионную зависимость на адекватность для двухфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 8.

Таблица 8 - Данные для задания 4

N

X1

X2

У1

У2

У3

Y

S2{y}

Y

E,%

1

-1

-1

-1,88

-1,84

-1,97

-1,897

0,00444

-1,929

1,66

2

1

-1

4,16

4,04

4,19

4,13

0,00635

1,105

0,6

3

-1

1

-5,99

-5,99

-5,84

-5,94

0,0075

-5,909

0,52

4

1

1

8,08

8,09

8,02

8,06

0,00145

8,085

0,31

Решение:

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

GР = S2{y}max/ S2{y}, при этом GТ=0,77

S2{y}= (yI-y)2/m-1

S21{y}= (-,897+1,88)2+(-1,897+1,84)2+(-1,897+1,97)2/2=0,00444

S22{y}= (4,13-4,16)2+(4,13-4,04)2+(4,13-4,19)2/2=0,00635

S23{y}= (-5,94+5,99)2+(-5,94+5,99)2+(-5,94+5,84)2/2=0,0075

S24{y}= (8,06-8,08)2+(8,06-8,02)2+(8,06-8,02)2/2=0,00145

GР =0,0075/0,00444+0,00635+0,0075+0,00145=0,381

Так как GТ=0,77 и GР < GТ, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

А0= yI /N

А0= -1,897+4,13-5,94+8,06/4=1,088

AJ= =xI* yI /N

A1=-1*(-1,897) + 1*4,13 + (-1)*(5,94) + 8,06*1/4=5,007

А2=-1*(-1,897) - 1*4,13 +1*(-5,94) +1*8,06/4=-0,028

А12=(-1)*(-1)*(-1,897) + 1*(-1)*4,13 - 1*1*(-5,94)/4=1,99

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

TР= аК / S{аК}, притом tТ=2,3

S{аК}- дисперсия адекватности, S{аК}= S2В/N*m

S2В- дисперсия воспроизводимости, S2В= S2{y}/N

S2В=0,001974/4=0,0049

S{аК}= 0,0049/12=0,02

TР0=1,088/0,02=54,4

TР1=5,007/0,02=250,35

TР2= -0,028/0,02 =1,4

TР12=1,99/0,02=99,5

Так как tР2 < tТ ,то коэффициент а2 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид

У=а0+а1*х1+а12*х1*х2

Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

У1= 1,088+5,007*(-1)+1,99*1=-1,929

У2= 1,088+5,007*1+1,99*(-1)= 4,105

У3= 1,088+5,007*(-1)+1,99*(-1)= -5,909

У4= 1,088+5,007*1+1,99*1= 8,085

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi, yi}

E1= -1,897-(-1,929)/-1,929*100%=1,66 %

E2= 4,13-4,105/4,13*100%=0,6 %

E3=-5,94-(-5,909)/-5,94*100%=0,52 %

E4=8,06-8,085/8,085*100%=0,31 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

FР= S2Ад/ S2В , где S2Ад - дисперсия адекватности FТ=5,32

S2Ад =m/N-L (yI-y)2, где m=3,N=4,L=2

S2Ад =1,5*((-1,897+1,929)2+(4,13-4,105)2+(-5,94+5,909)2+(8,06-8,085)2)=0,0048

FР= 0,0048/0,0049=0,99

Так как FР< FТ., то модель адекватна.

Задание 5

Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости У=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а23*х3,, И проверить регрессионную зависимость на адекватность для трехфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 9.

Таблица 9 - Данные для задания 5

N

Х1

Х2

Х3

У1

У2

У3

Y

S2{y}

Y

E,%

1

-1

-1

-1

6,92

6,93

6,91

6,92

0,0001

7,06

1,98

2

1

-1

-1

-13,36

-13,39

-13,39

-13,38

0,0003

-13,257

0,89

3

-1

1

-1

-7,06

-7,01

-6,95

-7,01

0,00305

-7,15

1,96

4

1

1

-1

-7,35

-7,42

-7,32

-7,36

0,00265

-7,495

1,8

5

-1

-1

1

-2,95

-3,08

-2,97

-3

0,0049

-3,12

3,85

6

1

-1

1

4,84

4,50

4,59

4,64

0,03105

4,5

3

7

-1

1

1

-9,02

-9,04

-8,90

-8,99

0,005

-8,87

1,3

8

1

1

1

18,66

18,64

18,58

18,63

0,00175

18,74

0,59

Решение:

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

GР = S2{y}max/ S2{y}, при этом GТ=0,77

S2{y}= (yI-y)2/m-1

S21{y}= (6,92-6,92)2+(6,92-6,93)2+(6,92-6,91)2/2=0,0001

S22{y}= (-13,38+13,36)2+(-13,38+13,39)2+(-13,38+13,39)2/2=0,0005

S23{y}= (-7,01+7,06)2+(-7,01+7,01)2+(-7,01+6,95)2/2=0,00305

S24{y}= (-7,36+7,35)2+(-7,36+7,42)2+(-7,36+7,32)2/2=0,00265

S25{y}= (-3+2,95)2+(-3+3,08)2+(-3+2,97)2/2=0,0049

S26{y}= (4,64-4,84)2+(4,64-4,50)2+(4,64-4,59)2/2=0,03105

S27{y}= (-8,99+9,02)2+(-8,99+9,04)2+(-8,99+8,90)2/2=0,005

S28{y}= (18,63-18,66)2+(18,63-18,64)2+(18,63-18,58)2/2=0,00175

GР =0,03105/0,0001+0,0005+0,00305+0,00265+0,0049+0,005+0,00175=0,63

Так как GТ=0,77 и GР < GТ, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

А0= yI /N

А0= 6,92-13,38-7,01-7,36-3+4,64-8,99+18,63/8=-1,194

AJ= =xI* yI /N

A1= ((-1)*6,92+(-13,38)*1+(7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*1+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=1,826

А2= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=0,0013

А3= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*1+4,64*1+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=4,014

А12= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*1+4,64*(-1)+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=4,99

А13= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=6,989

А23= (6,92*1+(-13,38)*1+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=2,114

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

Tр= ак / S{ак}, при этом tт=2,3

S{аК}- дисперсия адекватности,

S{аК}= S2В/N*m

S2В- дисперсия воспроизводимости,

S2В= S2{y}/N

S2В=0,04955/8=0,0062

S{аК}= 0,0062/24=0,0161

TР0= -1,194/0,0161 =74,16

TР1= 1,826/0,0161 =113,14

TР2= 0,0013/0,0161 =0,081

TР3= 4,014/0,0161 =249,32

TР12= 4,99/0,0161 = 309,94

TР13= 6,989/0,0161 = 434,099

TР23= 2,114/0,0161 = 131,3

Так как tР2 < tТ ,то коэффициент а2 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а0+а1*х1+а3*х3+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а23*х3

4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

У1= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 7,06

У2= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -13,257

У3= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= -13,257

У4= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -7,495

У5= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -3,12

У6= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= 4,5

У7= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -8,87

У8= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 18,74

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi, yi}

E1= 6,92-7,06/7,06*100%=1,98 %

E2= -13,38-(-13,26)/-13,38*100%= 0,6 %

E3= -5,94-(-5,909)/-5,94*100%= 0,89 %

E4= -7,01-(-7,15)/-7,15*100%= 1,8 %

E5= -3-(-3,12)/-3,12*100%=3 ,85 %

E6= 4,64-4,5/4,64*100%= 3 %

E7= -8,99-(-8,87)/-8,99*100%= 1,3 %

E8= 18,63-18,74/18,74*100%= 0,59 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

FР= S2Ад/ S2В , где S2Ад - дисперсия адекватности FТ=5,32

S2Ад =m/N-L (yI-y)2, где m=3,N=8,L=3

S2Ад =0,6*((6,92-7,06)2+(-13,38+13,26)2+(-7,01+7,15)2+(-7,36+7,495)2+

+(-3+3,12)2+(4,64-4,5)2+(-8,99+8,87)2+(18,63-18,74)2)=0,079

FР= 0,079/0,0062=12,74

Так как FР > FТ., то модель не адекватна.

Задание 6

Упростить регрессионную зависимость, найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости

У=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а4*х4+а12*х1*х2+а13*х1*х3+а14*х1*х4+а23*х1*х3+

+а24*х2*х4+а34*х3*х4, И проверить регрессионную зависимость на

Адекватность для четырехфакторного дробнофакторного эксперимента с генерирующим соотношением х4=х1*х3. Данные приведены в таблице 10.

Таблица 10 - Данные для задания 6

N

Х1

Х2

Х3

У1

У2

У3

Y

S2{y}

Y

Е,%

Х4

1

-1

-1

-1

4,55

4,46

4,47

4,49

0,00245

4,49

0

1

2

1

-1

-1

-9,51

-9,41

-9,58

-9,5

0,0073

-9,52

0,21

-1

3

-1

1

-1

-13,47

-13,53

-13,58

-13,53

0,00305

-13,53

0

1

4

1

1

-1

-7,56

-7,58

-7,51

-7,55

0,0013

7,52

0,39

-1

5

-1

-1

1

-1,41

-1,51

-1,5

1,47

0,00305

-1,49

2

-1

6

1

-1

1

4,59

4,44

4,48

4,5

0,00605

4,49

0,22

1

7

-1

1

1

-3,52

-3,54

-3,5

-3,52

0,0004

-3,5

0,57

-1

8

1

1

1

22,43

22,5

22,59

22,51

0,00645

22,51

0,04

1

Решение:

Х4=х1*х3 /*х4

Х24 = х4*х1*х3

1= х4*х1*х3

Отсюда х3= х1*х4

Х1=х3*х4

Тогда регрессионная зависимость запишется

У=а0+а1*х1+а2*х2+а3*х3+а4*х4+а12*х1*х2+а23*х1*х3+а24*х2*х4

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

GР = S2{y}max/ S2{y}, при этом GТ=0,77

S2{y}= (yI-y)2/m-1

S21{y}= (4,55-4,49)2+(4,46-4,49)2+(4,47-4,49)2/2=0,00245

S22{y}= (-9,51+9,5)2+(-9,41+9,5)2+(-9,58+9,5)2/2=0,0073

S23{y}= (-13,47+13,53)2+(-13,53+13,53)2+(-13,58-13,53)2/2=0,00305

S24{y}= (-7,56+7,55)2+(-7,58+7,55)2+(-7,51+7,53)2/2=0,0013

S25{y}= (-1,41+1,47)2+(-1,51+1,47)2+(-1,5+1,47)2/2=0,00305

S26{y}= (4,59-4,5)2+(4,44-4,5)2+(4,48-4,5)2/2=0,00605

S27{y}= (-3,52+3,52)2+(-3,54+3,52)2+(-3,5+3,52)2/2=0,0004

S28{y}= (22,43-22,51)2+(22,5-22,51)2+(22,59-22,51)2/2=0,00645

GР =0,0073/ 0,00245+0,0073+0,00305+0,0013+0,00305+0,00605+0,0004+0,00645=0,24

Так как GТ=0,77 и GР < GТ, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

А0= yI /N

А0= 4,49-9,5-13,53-7,55-1,47+4,5-3,52+22,51/8=-0,509

AJ= =xI* yI /N

A1= ((-1)*4,49+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*1+

+(-8,99)*(-1)+22,51*1)/8=3

А2= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=-0,014

А3= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*1+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=6,01

А4= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*1+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5

А12= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*1+4,55*(-1)+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5,004

А23= (4,49*1+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=4,004

А24= (4,49*(-1)+(-9,5)*1+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*(-1)+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=0,011

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

TР= аК / S{аК}, при этом tТ=2,3

S{аК}- дисперсия адекватности, S{аК}= S2В/N*m

S2В- дисперсия воспроизводимости, S2В= S2{y}/N

S2В=0,0301/8=0,0038

S{аК}= 0,0038/32=0,011

TР0= -0,0509/0,011 =4,63

TР1= 3/0,011 =272,73

TР2= -0,014/0,011 =1,27

TР3= 6,01/0,011=546,36

TР4= 5/0,011=454,55

TР12= 5,004/0,011=454,9

TР23= 4,004/0,011=364

TР24= 0,011/0,011=1

Так как tР2 < tТ и tР24 < tТ, то коэффициент а2 И а24 исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а0+а1*х1+а3*х3+ +а4*х4+а12*х1*х2+а23*х3

4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

У1= - 0,509-6,01+5+5,004+4,004= 4,49

У2= - 0,509+3-6,01-5-5,004+4,004= -9,52

У3= -0,509-3-6,01+5-5,004-4,004=-13,53

У4= -0,509+3-6,01-5+5,004-4,004=-7,52

У5= -0,509-3+6,01-5+5,004-4,004=-1,49

У6= -0,509+3+6,01+5-5,004-4,004= 4,49

У7= -0,509-3+6,01-5-5,004+4,004= -3,5

У8= -0,509+3+6,01+5+5,004+4,004= 22,51

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= уi-уi / max{yi, yi}

E1= 4,49-4,49/4,49 *100%=0 %

E2= -9,5+9,52/-9,52 *100%= 0,21 %

E3= -13,53+13,53/-13,53 *100%= 0 %

E4= -7,55+7,52/7,55 *100%= 0,39 %

E5= -1,47+1,49/-1,49 *100%=2 %

E6= 4,5-4,49/4,5 *100%= 0,22 %

E7= -3,52-3,5/-3,52 *100%= 0,57 %

E8= 22,5-22,51/22,51*100%= 0,04 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

FР= S2Ад/ S2В , где S2Ад - дисперсия адекватности FТ=5,32

S2Ад =m/N-L (yI-y)2, где m=3,N=8,L=4

S2Ад =0,75*((4,49-4,49)2+(-9,5+9,52)2+(-13,53+13,53)2+(-7,55+7,52)2+

+(-1,47+1,49)2+(4,5-4,49)2+(-3,52+3,5)2+(22,5-22,51)2)=0,0017

FР= 0,0017/0,0038=0,45

Так как FР< FТ., то модель адекватна.

Похожие статьи




Построение регрессионной зависимости для полного (ПФЭ) и дробного (ДФЭ) факторного эксперимента и их анализ - Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа

Предыдущая | Следующая