Трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

В работе "Постигая четырехмерное измерение, мы приходим к геометрии N-мерных пространств" [3] я определила метод построения (черчения) трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) с помощью трехмерной проекции осей координат для четырехмерного измерения.

Метод определения трехмерной проекции осей координат для четырехмерного измерения

Идея принять большие диагонали куба за трехмерную проекцию осей координат для четырехмерного измерения возникла у меня в голове почти моментально. Для проверки этой идеи исследуем куб (рисунки 2.1 и 2.2), посмотрим, что он выдаст.

На рис. 2.1 изображен куб ABCDEFGH, примем длину ребра куба равной величине А. Через геометрический центр О куба и геометрические центры (1, 2, 3, 4, 5, 6) каждой из шести граней куба проведем оси +X -X, +Y-Y И +Z-Z, то есть получим Декартову систему координат, которой пользуются более 350 лет. Проведем четыре большие диагонали куба.

Исследуем все вершины куба на предмет их знакового значения (+ или -) относительно Декартовой системы координат. Результаты этого исследования сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1.

A

B

C

D

E

F

G

H

X

-

+

+

-

-

+

+

-

Y

-

-

-

-

+

+

+

+

Z

+

+

-

-

+

+

-

-

Проведем анализ знаковых значений вершин куба.

Сразу видно, что только две вершины D и F, являющиеся крайними точками большой диагонали куба FD, имеют все три одинаковых знака: вершина F (+X, +Y, +Z) и вершина D (-X, -Y, -Z).

А из этого следует, что Куб Сам Указал На Четвертую Ось В Новой Для Нас Трехмерной Проекции Системы Осей Координат Для Четырехмерного Измерения, Причем Указал И Ее Знаковое Направление.

Предлагаю обозначить эту ось буквой "T" - от греческого слова "tetra", означающего "четыре".

Итак, в новой для нас трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения определена Главная Ось, Проходящая Через Вершины Куба F и D, Причем Направление Оси От Центра О В Сторону Вершины F Является Положительным Направлением (+T), А Направление Оси От Центра О В Сторону Вершины D Является Отрицательным Направлением (-T).

Для того, чтобы определить, как, в каком направлении расположатся три остальные оси в трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения XГ, YГ и ZГ (Индекс "г" - от слова "гиперкуб"), проведем знаковый анализ остальных шести вершин A, B, C, E, G и H куба, пользуясь таблицей 2.1 и рисунком 2.2.

, рис. 2.2

Рис. 2.1, Рис. 2.2.

1. Положительное значение икса (+X) из оставшихся шести вершин A, B, C, E, G и H куба содержат вершины B, C и G, значит, это и является областью положительного икса, и ось +Xг проходит через среднюю между B, C и G вершину куба C.

Отрицательное значение икса (-X) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, E и H, значит, это и является областью отрицательного икса, и ось -XГ проходит через среднюю между A, E и H вершину куба E.

2. Положительное значение игрека (+Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, H и G, значит, это и является областью положительного игрека, и ось +Yг проходит через среднюю между E, H и G вершину H.

Отрицательное значение игрека (-Y) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины A, B и C, значит, это и является областью отрицательного игрека, и ось - YГ проходит через среднюю между A, B и C вершину B.

3. Положительное значение зет (+Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины E, A и B, значит, это и является областью положительного зет, и ось +Zг проходит через среднюю между E, A и B вершину A.

Отрицательное значение зет (-Z) из оставшихся шести вершин куба содержат вершины C, G и H, значит, это и является областью отрицательного зет, и ось - ZГ проходит через среднюю между C, G и H вершину G.

Итак, Определены Все Четыре Оси Трехмерной Проекции Системы Осей Координат Для Четырехмерного Измерения: Ось +T-T Проходит Через Вершины Куба F И D Соответственно, Ось +XГ-XГ Проходит Через Вершины C И E, Ось +YГ-YГ Проходит Через Вершины H И B, Ось +ZГ-ZГ Проходит Через Вершины A И G.

Это великолепный подарок куба!

Теперь, чтобы определить углы между осями трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения, обратимся к рисунку 2.2, где изображена плоскость ABGH, которая является плоскостью симметрии куба, в этой плоскости лежат две оси +ZГ-ZГ и +YГ-YГ трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения.

1. Из треугольника AОB определим угол AОB по теореме косинусов:

. (2.1)

При принятой величине согласно теореме Пифагора:

И ; .

Подставив в уравнение (2.1) значения AB, AО и ОB, получим:

, а. (2.2)

2. Определим угол AОH, то есть угол, заключенный между осями +ZгО+Yг или - YгО-Zг:

. (2.3)

Таким образом, определены и углы между осями трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения.

Замечательно то, что Центр О Является Общей Точкой Для Обеих Систем Координат, что очень удобно при переходе из одной системы координат в другую.

Четырехмерное пространство имеет свои особенности и законы. В четырехмерном пространстве меняются размерности всех единиц измерения, которыми мы пользуемся в нашем трехмерном мире. Но, пользуясь логикой и рассуждениями по аналогии, можно проследить, выявить и вычислить эти изменения в размерностях.

Наш трехмерный куб, такой всем близкий и знакомый, дарит нам еще одну свою тайну - Единицу Длины Ребра В Четырехмерном Пространстве! Посмотрите на рис. 2.1: точками 1, 2, 3, 4, 5 и 6 обозначены геометрические центры каждой грани куба. Через эти точки проходят оси Декартовой системы координат, и при принятой величине длины ребра куба, равной "А", расстояние от центра О до всех точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 равно.

Большие диагонали куба AG, BH, CE и DF, являющиеся образующими оси трехмерной проекции системы координат для четырехмерного измерения, равны и, соответственно, половина длины этих диагоналей, то есть расстояние от центра О до всех точек (вершин куба) A, B, C, D, E, F, G и H, равно.

Мне кажется, что теперь не трудно догадаться, что отрезок OZ, например, расположенный на оси OX в Декартовой системе координат и равный величине, перемещаясь из трехмерного пространства в четырехмерное, превратится в отрезок OC, расположенный на оси O+XГ (или в отрезок OE (?), расположенный на оси O-X-Г), и теперь длина его определится величиной.

Это говорит о том, что Наш Трехмерный Куб С Длиной Ребра "A", перемещаясь В Четырехмерное Пространство, Превратится В Четырехмерный Гиперкуб С Длиной Ребра "AГ", При Этом:

. (2.4)

Похожие статьи




Трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

Предыдущая | Следующая