Геометрические особенности трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

Давайте осмыслим геометрические особенности трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4), построенного с помощью трехмерной проекции системы осей координат для четырехмерного измерения.

На рис. 2.6 представлен чертеж 3ПГК-4, начерченный только по вершинам 3ПГК-4, без осей координат и вспомогательных линий; для удобства масштаб чертежа уменьшен в два раза.

Обратите внимание: Через Вершины Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба (3ПГК-4) Вписывается Куб AГBГCГDГEГFГGГHГ . Это очень важный факт для осмысления 3ПГК-4. Рисунок 2.7 дает очень наглядное представление о расположении вершин, ребер, граней 3ПГК-4. Смотрите: восемь внутренних ребер 3ПГК-4 (AГO, BГO, CГO, DГO, EГO, FГO, GГO и HГO) расположены на больших диагоналях вписанного в 3ПГК-4 куба, а четыре ребра 3ПГК-4 (EГP, FГP, GГP и HГP) образуют четырехугольную пирамиду PEГFГGГHГ с основанием квадрата EГFГGГHГ , который является одной из шести граней вписанного в 3ПГК-4 куба. Причем, (что очень важно!) Ребра Этой Пирамиды Параллельны Большим Диагоналям Вписанного В 3ПГК-4 Куба, т. е. PEГ || GГAГ, PFГ || HГBГ, PGГ || EГCГ и PHГ || FГDГ , при этом PEГ = GГO, PFГ = HГO, PGГ = EГO и PHГ = FГO (разумеется, в точке О совмещены две вершины О1 и О2). А из этого следует, что Пирамида PEГFГGГHГ Геометрически Равна Пирамиде OEГFГGГHГ .

Вершина Р является общей для шести граней-ромбов, Равных между собой, причем четыре ромба (PEГKFГ , PFГNGГ , PGГLHГ и PHГQEГ) являются внешними гранями 3ПГК-4, а два ромба (PEГOGГ и PFГOHГ) являются внутренними гранями.

Рис. 2.6.

Рис. 2.7.

В рисунке 1.1 показано, что 3ПГК-4 пересекают пять параллельных между собой плоскостей, равноотстоящих друг от друга. Так вот, по рисункам 2.6 и 2.7 расположение этих пяти плоскостей определится следующим образом: вторая плоскость (РII) проходит через вершины EГ , FГ , GГ и HГ ; четвертая плоскость (РI V) проходит через вершины AГ , BГ, CГ и DГ ; третья плоскость (РШ) проходит через вершины Q, K, O1, O2, N и L ; а первая (PI) и пятая (РV) плоскости проходят через вершины P и M соответственно.

Итак, на примере только одной пирамиды PEГFГGГHГ определены некоторые очень важные свойства трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4). Но если учесть, что остальные пять пирамид, построенные на других пяти гранях вписанного куба, геометрически равны пирамиде PEГFГGГHГ , то, Осмыслив Безупречную Симметрию И Гармонию 3ПГК-4, Можно Только Изумляться Совершенству Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба.

Совершенство трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) подтверждается и тем, что Через Вершины 3ПГК-4 Можно Построить не только Вписанный Куб AГBГCГDГEГFГGГHГ , но и Описанный Куб A'B'C'D'E'F'G'H' - через вершины P, Q, K, N, L и M (см. рис. 2.8). А через вершины нашего вписанного куба, как известно математикам, легко вписывается еще одно "тело Платона" - Тетраэдр. Кроме того, через шесть вершин 3ПГК-4 (P, Q, K, N, L и M) вписывается и еще одно "тело Платона" - Октаэдр (см. рис. 2.9). Ребрами этого октаэдра являются 12 больших диагоналей ромбов - всех 12-ти внешних граней 3ПГК-4. А так как поверхность трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба состоит из 12-ти ромбов, то эта геометрическая фигура называется еще Ромбододекаэдром (см. рис. 2.8).

Предлагаю вашему вниманию рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13. Это одна и та же геометрическая фигура - трехмерная проекция четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4). В этих чертежах нет искажений, я старалась выполнить их точно. Вершины, обведенные кружками, - это совмещенные вершины. Не правда ли, как легко можно начертить 3ПГК-4 (рис. 2.12, рис. 2.13) ?!

Рис. 2.8.

Рис. 2.9.

, 2.11, 2.12 и 2.13

Рисунки 2.10, 2.11, 2.12 и 2.13.

Трехмерная Проекция Четырехмерного Гиперкуба Имеет 13 Осей Симметрии: семь осей симметрии проходят через 14 противоположных вершин, расположенных на поверхности 3ПГК-4 (PM, QN, LK, EГCГ, FГDГ, GГAГ и HГBГ), и шесть осей симметрии проходят через центры двенадцати противолежащих ромбов (граней), образующих поверхность 3ПГК-4.

Трехмерная Проекция Четырехмерного Гиперкуба Имеет 9 Плоскостей Симметрии: PGГCГMAГEГ , PFГBГMDГHГ , NCГDГQEГFГ, NBГAГQHГGГ, KAГDГLGГFГ , KEГHГLCГBГ , PNMQ, PKML и KNLQ.

Трехмерная Проекция Четырехмерного Гиперкуба Имеет Три Сферы С Центром О1О2: большая сфера описывает вершины P, N, K, Q, L и M, средняя сфера описывает вершины AГ, BГ, CГ, DГ, EГ, FГ, GГ и HГ , а меньшая сфера вписывается через центры всех двенадцати граней (ромбов), образующих поверхность 3ПГК-4.

Похожие статьи




Геометрические особенности трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) - "Начала" многомерной геометрии

Предыдущая | Следующая