Метод построения трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) на чертеже - "Начала" многомерной геометрии

Итак, создав из трубочек и лески модель трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) (см. фотографию 1), приступим к построению 3ПГК-4 на чертеже, то есть перенесем 3ПГК-4 во второе измерение - на плоскость листа бумаги (см. рис. 2.3).

Фото 1.

На чертеже строим куб ABCDEFGH, приняв длину ребра куба равной величине "A", и через вершины куба проводим оси +Т-Т, +XГ-XГ, +YГ-YГ и +ZГ-ZГ новой трехмерной проекции системы координат для четырехмерного измерения.

Так как на созданной мной модели 3ПГК-4 видно, что восемь внутренних ребер модели сходятся в центре 3ПГК-4, причем своим взаимным положением относительно друг друга эти восемь внутренних ребер полностью соответствуют всем осям трехмерной проекции системы координат для четырехмерного измерения, то, следовательно, на продолжении новых осей координат и расположатся восемь вершин (AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ) трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба.

Рис. 2.3.

Расстояние от центра O до этих вершин равно длине ребра 3ПГК-4 "AГ", при этом, то есть удвоенному расстоянию от центра O до лежащей на этой оси вершины проекции исходного куба. При этом полученные восемь вершин 3ПГК-4 обозначены буквой, соответствующей вершине исходного куба, но с индексом "г" - от слова гиперкуб, т. е. AГ, BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ .

Например, строим вершину АГ: по оси О+ZГ от точки А надо отложить отрезок, равный ОА, ставим точку АГ , и так как, то ; строим вершину FГ : по оси О+Т от точки F откладываем отрезок, равный OF, ставим точку FГ ; и т. д.

Итак, определены восемь вершин 3ПГК-4, причем координаты этих вершин легко определяются: так как эти вершины лежат непосредственно на осях, то они по этим осям имеют координату "АГ" со знаком, соответствующим этой оси, а три остальные координаты - равны нулю.

Например, вершина АГ лежит на оси O+ZГ , следовательно, вершина АГ имеет координаты: Т = 0, XГ = 0, YГ = 0, ZГ = +AГ ; вершина DГ лежит на оси О-Т, следовательно, вершина DГ имеет координаты: Т = - аГ , XГ = 0, YГ = 0, ZГ = 0 ; и т. д.

Теперь через все эти восемь вершин проводим вспомогательные линии, параллельные оставшимся трем осям координат, - для каждой точки отдельно. Причем, учитывая, что положительные части осей на чертеже проведены сплошными линиями, а отрицательные части осей проведены пунктирными линиями, и то, что в этих вершинах именно эти три оси имеют значение ноль, надо вспомогательные линии, параллельные осям, проводить в соответствии их знаковым значениям: то есть эти точки являются границами между положительными и отрицательными частями этих вспомогательных линий.

Проведя все эти вспомогательные линии через точки AГ , BГ , CГ , DГ , EГ , FГ , GГ и HГ , на чертеже появятся шесть точек, в которых пересеклись По Четыре вспомогательных линии. Вот они-то, Эти Шесть Точек, И Являются Теми Вершинами, Лежащими На Поверхности Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба, В Которых Сходятся По Четыре Ребра, образующие четыре Острых углов ромбов. Обозначим эти вершины: K, L, M, N, P и Q .

Итак, определены 14 вершин на поверхности трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба. Вспомним, что две вершины (О1 и О2) этой проекции (3ПГК-4) совместились с центром О. Координаты всех 16-ти вершин трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба сведены в таблицу 2.2.

Для того, чтобы проще было представить себе тело трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба, даю промежуточный чертеж (рис. 2.4), где соединены только вершины, лежащие на поверхности 3ПГК-4.

Таблица 2.2.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

K

L

M

N

P

Q

0

0

0

0

0

0

0

0

Рис. 2.4.

А На Рисунке 2.5 уже показаны и восемь внутренних ребер, и Чертеж Трехмерной Проекции Четырехмерного Гиперкуба Представлен В Полном Виде

Рис. 2.5.

Похожие статьи




Метод построения трехмерной проекции четырехмерного гиперкуба (3ПГК-4) на чертеже - "Начала" многомерной геометрии

Предыдущая | Следующая