Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів
Робота сили
Якщо - сила, яка вздовж кривої L змінюється по величині та напрямку, то при переміщенні матеріальної точки одиничної маси під дією цієї сили виконується робота:
Робота тоді і тільки тоді не залежить від шляху L, з'єднуючого дві точки, коли підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції U(x, y,z) (так званого потенціалу силового поля). В цьому випадку робота обчислюється як різниця потенціалів в у даних точках.
2. Приклади задач
Змінити порядок інтегрування:
Розв'язання:
Побудуємо область D, враховуючи межі інтегрування:
Рис. 2
Ця область обмежена лініями:
Спроектуємо область D на вісь Ох. Це буде відрізок [0,2] (рис.2). Область D розбивається на дві частини.
Маємо
Отже маємо:
Площа фігури за допомогою подвійного інтегралу:
Знайти площу області, обмежену астроїдою (рис.3):
В результаті введення криволінійних координат:
Отримуємо:
Об'єм тіла за допомогою подвійного інтегралу:
Знайти об'єм тіла, що обмежене поверхнями:
Розв'язання:
Побудуємо тіло:
Рис. 4
Об'єм тіла обчислюється за формулою:
Областю інтегрування буде трикутник на площині хОу, що є проекцією.
Отже:
Обчислимо внутрішній інтеграл:
Тепер обчислимо об'єм:
Площа поверхні за допомогою подвійного інтегралу:
Обчислити площу тієї частини поверхні що знаходиться у першому октанті та обмежена площиною
Розв'язання:
Побудуємо тіло:
Рис. 5
Спроектуємо поверхню на площину XOz. Проекцією поверхні є чверть кола:
З рівняння задачі
Щоб скористатися формулою, знайдемо частинні похідні:
Тому:
З рівняння кола видно, що радіус дорівнює
Введемо полярні координати:
Обчислимо внутрішній інтеграл:
Остаточно:
Фізичний зміст подвійного інтегралу:
Знайти координати центра маси однорідної області, обмеженої верхньою частиною еліпса, що спирається на велику вісь.
Розв'язання:
Оскільки верхньою частиною еліпса є фігура, симетрична відносно вісі Оу, то центр маси знаходиться на Оу (рис. 6), тобто Х=0.
Рис. 6
Знайдемо:
Отже:
Фізичний зміст криволінійного інтегралу І-го роду:
Знайти масу дуги кривої:
Якщо лінійна густина змінюється за законом:
Розв'язання:
Фізичний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду:
Обчислити роботу сили:
При переміщенні одиниці маси по L: пряма О(0,0) А(5,3).
Розв'язання:
Запишемо рівняння прямої:
Рис. 7
Введемо параметр T:
Звідси:
Використаємо формулу:
Маємо:
Отже:
- 3. Виконання курсової роботи 1. Змінити порядок інтегрування
Розв?язання:
Побудуємо область інтегрування.
Рис. 8
Розв?язання:
Побудуємо область інтегрування.
Рис. 9
2. За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу фігур, обмежених лініями
; ;
Розв?язання:
Побудуємо фігуру, площу якої потрібно обчислити (рис.10).
Рис. 10
Знаходимо межі інтегрування:
;
Тоді,
3. За допомогою подвійного інтеграла обчислити об?єм тіла, обмеженого поверхнею:
Розв?язання:
Об'єм знаходимо за формулою:
Побудуємо задане тіло:
Рис 11.
Знаходимо функцію z(x, y):
Користуючись рис 11. знаходимо межі інтерування:
Отже:
При інтегруванні по y змінна x вважається постійною. Зручно для скорочення запису величину замінити на тобто:
1? ;
Звідси виходить:
t=2;
Отже:
4. Обчислити площу поверхні:
Розв?язання:
Побудуємо задану поверхню (рис.12):
Рис. 12
Обчислюватимемо за формулою:
Отже:
; ;
Знайдемо похідні:
Отримаємо:
Знаходимо межі інтерування:
Отже:
5. Визначити центр ваги площі:
Однорідної фігури, що лежить в першій чверті та обмеженої еліпсом
Інтеграл площа об'єм криволінійний
та координатними осями.
Розв?язання:
Побудуємо фігуру:
Рис. 13
Для визначення центра ваги використовуємо формули:
Знайдемо межі інтегрування:
Знайдемо масу:
Знайдемо статичні моменти:
6. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду:
Розв?язання:
Знайдемо межі інтегрування:
Оскільки дано коло, то:
;
Перейдемо до полярних координат:
При переході формула набуде вигляду:
Знайдемо похідну:
Отже:
7. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду по заданій кривій L:
Розв?язання:
Побудуємо відрізок:
Рис. 14
Знайдемо Dl:
Отже:
8. Обчислити інтеграл I вздовж кривої L:
Розв?язання:
Побудуємо рисунок:
Рис. 15
Межі інтегрування:
Знайдемо функцію y(x):
;
Знайдемо похідну функції:
Знайдемо Ds:
Отже:
Для обчислення цього інтегралу зручно виконати підстановку:
Тоді:
Враховуючи, що:
Відповідь:
9. За допомогою криволінійного інтеграла другого роду обчислити:
Площу, обмежену кривою
Вказівка: перейти до параметричних рівнянь, вводячи параметр t
Підстановкою
Розв?язання:
Введемо параметр t:
Знайдемо X:
;
Знайдемо Y:
Для обчислення площі використовуємо формулу:
Побудуємо криву:
Рис. 16
Знайдемо Dx та Dy:
Отже:
10. Поле утворено силою. Обчислити роботу при переміщенні одиниці маси по контуру L, якщо:
Розв?язання:
Побудуємо контур L:
Рис. 17
Запишемо рівняння прямої у параметричному вигляді:
Звідси маємо:
Знайдемо значення роботи:
Похожие статьи
-
Подвійний інтеграл Зміна порядку інтегрування в подвійному інтегралі Хай маємо область D як показано на рис. 1: Рис. 1 І вона задається нерівностями:...
-
У випадку криволінійного інтегралу функція інтегрується по кривій. Аналогічно для тривимірного простору: Обчислення криволінійного інтегралу І-го роду...
-
Обчислення потрійного інтегралу Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,...
-
Обчислення подвійного інтегралу - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного...
-
Заміна змінних у потрійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y, z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u, v,w) за допомогою...
-
Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення...
-
Застосування визначених інтегралів, Обчислення площ - Визначений інтеграл
Обчислення площ Якщо на відрізку [а, b] функція F (х)0 , то згідно з форму-лою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1,...
-
Застосування подвійного інтегралу до задач механіки Статичні моменти. Центр маси пластини. Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D;...
-
Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса...
-
Площа плоскої області обчислюється за формулою (6) У полярній системі координат формула (6) має вигляд (7) Об'єм циліндричного тіла, обмеженою зверху...
-
Заміна змінних у подвійному інтегралі - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
Нехай функція f(x, у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул Х = x(u, v), у = у(и,...
-
Обчислення подвійних інтегралів в полярній системі координат - Вища математика
Відомо, що полярні координати довільної точки зв'язані з її декартовими координатами формулами (1) Де Поняття подвійного інтеграла в полярній системі...
-
Застосування потрійних інтегралів до задач геометрії та механіки - Вища математика
1. Потрійний інтеграл в сферичній системі координат. Сферичними координатами точки називаються числа. Де - кут між віссю і радіус-вектором точки ; -...
-
Нехай функція F (х) задана на відрізку [a, b] . Розіб'ємо цей відрізок на N частин точками ділення А = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному...
-
Висновок, Список використаної літератури - Застосування подвійного і потрійного інтегралів
У даній роботі ми спробували найбільш широко розкрити застосування кратного інтегралу. Завдяки кратним інтегралам ми можемо обчислювати площу плоскої...
-
З математичної точки зору розв'язки (1) і (2) мають однаковий зміст. О-1 Подвійним інтегралом від функції по області називається границя (3) За умови, що...
-
Обчислення потрійних інтегралів в декартових і циліфндричних кординатах - Вища математика
1. Поняття потрійного інтеграла Розглянемо в просторі деяку замкнену область. Нехай в області і на її границі визначена деяка неперервна функія, де -...
-
Інтегрування частинами, Заміна змінної у визначеному інтегралі - Визначений інтеграл
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності D[u(x) - v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) В межах від А до B , то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу...
-
І. Визначення : Мішаним добутком трьох векторів і називається добуток виду, де два перших вектори перемножуються векторно, а їхній добуток множиться...
-
Визначення : Скалярний добуток двох векторів і дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними . (6.1) Таким чином, скалярний добуток двох...
-
Застосування парної лінійної регресії до прогнозування економічних показників Прогноз - це ймовірностне, науково обгрунтоване судження щодо перспектив,...
-
Використання поняття похідної в економіці Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u...
-
Методи наближеного обчислення - Визначений інтеграл
Для деяких неперервних надінтегральних функцій F (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла...
-
Цей параграф носить допоміжний характер. Тут встановлюється декілька простих властивостей модуля нерперывности вищих порядків. Всі функції F1 , що...
-
Переробка платиновміщуючих шламів - Виробництво і застосування платини
При електролітичному рафінуванні міді і нікелю платинові метали концентруються в анодних шламах, де їх зміст залежно від складу початкових руд...
-
ЙОД Сировиною для промислового одержання йоду служать нафтові бурові води, морські водорості, а також маткові розчини чилійської (натрієвої) селітри, що...
-
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я
Застосування економіко-математичних методів для оптимізації бюджетних видатків на охорону здоров'я Постановка проблеми. Сучасний стан фінансування...
-
Зміст звіту, Контрольні запитання - Вивчення математичного пакету MathСad
Письмовий звіт повинен містити: 1) Тему, формулювання мети й задач досліджень. 2) Завдання лабораторної роботи, виконане в MathCad. 3) Відповіді на...
-
Натрій в природі, Отримання, застосування натрію - Натрій: історія, властивості
У природі лужні елементи трапляються лише у вигляді солей. Найважливішими мінералами Натрію є кам'яна сіль або галіт NaCl, чилійська селітра NaNO3,...
-
Фізичні властивості. - Виробництво і застосування платини
Платина дуже тугоплавкий метал, кристалізується в гранецентровані кубічні (р. ц. до.) грати. При дії на розчини солей відновниками метал може бути...
-
Характеристичний багаточлен матриці, Розв'язання рівнянь - Вивчення математичного пакету MathСad
Для побудови характеристичного багаточлена матриці A використаємо символьні обчислення. Побудуємо матрицю D = A - Е, віднявши з діагональних елементів...
-
Одним із перспективних напрямів при дослідженні кристалів ZnS:Mn є дослідження температурних характеристик його спектрів. Нова інформація в цьому напрямі...
-
Снова рассмотрим интеграл по K-мерной области, разбитой сеткой на ячейки (рис. 2). Его можно вычислить последовательным интегрированием: Каждый...
-
Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...
-
Розв'язання систем рівнянь, Порядок виконання роботи - Вивчення математичного пакету MathСad
Матриця математичний пакет арифметичний Для розв'язання системи рівнянь з кількома невідомими треба задати початкові наближення для кожної змінної. Далі...
-
Способ усреднения подынтегральной функции - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе
В качестве оценки определенного интеграла принимают , Где n - число испытаний; - возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в...
-
Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають...
-
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних
Знаходження границь та частинних похідних і диференціалів функцій двох змінних Будь-який упорядкований набір з П Дійсних чисел Х 1 ,...,x N позначається...
-
Задача Коші - Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами
Нехай - фундаментальна система, нормована при тобто , Де - одинична матриця. Загальний розв'язок однорідної системи має вигляд . Вважаючи невідомою...
-
Біологія . Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу. Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі...
Механічний зміст криволінійного інтегралу ІІ-го роду - Застосування кратних та криволінійних інтегралів