Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x, y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса відповідної елементарної частини дорівнює dm = dV, де dV = dxdydz - елемент об'єму в декартовій системі координат. Елементарні статичні моменти відносно координатних площин визначаються рівностями dM = zdm ; dMyz = xdm ; dM = ydm. Після граничного переходу маса і статичні моменти тіла, якому відповідає область G, визначаються відповідними формулами:

(3.5)

Координати центра маси (xc, yc, zc) тіла задовольняють співвідношення

(3.6)

Згідно з визначенням цього поняття.

Елементарні моменти інерції відносно координатних осей дорівнюють:

Dlx = (у2 + z2 )dm; dlv = (х2 + z2 )dm ; dlz =(x2 + у2 )dm,

Де у+z, x+z, x+y - квадрати віддалей точки N(x, y, z) від відповідної вісі Ох, Оу, Oz. Згідно з визначенням, моментом інерції системи точок відносно осі називають суму добутків мас цих точок на квадрати їх віддалі до осі. Отже, моменти інерції всього тіла дорівнюють:

(3.7)

Момент інерції тіла відносно початку координат:

(3.8)

Приклад. Знайти центр маси однорідного тіла, обмеженого параболоїдом 2z = х2 + у2 і кулею х2 + у2 + z = 3 .

Розв'язання. Маємо тіло обертання навколо осі Oz (рис. 3.4). Тіло однорідне, тому візьмемо (x, y,z) = 1. Оскільки вісь Oz є віссю симетрії тіла, то хс = ус. = 0. Отже, шуканою є величина zc

Рис. 3.4

Але спочатку знайдемо проекцію лінію перетину даних поверхонь з системи:

Формулою (3.5) маємо:

У повторному інтегралі перейшли до полярної системи координат:

За формулою (3.6) обчислимо аналогічно статичний момент:

За формулою (3.6) обчислюємо:

Похожие статьи




Деякі застосування потрійних інтегралів - Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Предыдущая | Следующая