Графическое решение задачи нелинейного программирования - Методика решения двойственных задач линейного программирования

Так как целевая функция не является линейной, то эта задача является задачей нелинейного программирования. Найдем ее решение, используя геометрическую интерпретацию.

Так как то линиями уровня функции Z являются окружности разных радиусов с центром в точке C(6; 2), а областью допустимых решений задачи - область, ограниченная прямыми:

L1:2 - x1 + 5 - x2 = 30 x1?x, x2?y, > y = ? (2/5) ? x + 6

L2:2 - x1 + x2 = 14 x1?x, x2?y, > y = ? 2 ?x + 14

X1, x2 ? 0

Z(x1, x2) = (x1 ? 6 )2 + (x2 ? 2)2 > min

(Используя систему ограничений и условие не отрицательности, построили Область Допустимых Решений (ОДР), для чего в системе (*) знаки неравенств заменили на знаки равенств).

В результате получим уравнения прямых, которые построим по точкам в системе координат Х1ОХ2. Так как у нас две переменные, то геометрически неравенства будут изображаться полуплоскостями, а их границы - прямыми линиями. При этом x1 ? 0, x2, ? 0, т. е. все решения будут располагаться в I-й четверти.

Z(x1, x2) = (x1 ? 6 )2 + (x2 ? 2)2 > min

X1 ? x, x2 ? yZ(x1, x2) ? Z(x;y) = (x ? 6 )2 + (y ? 2)2 > min

Итак, условия ограничения определили четырехугольник, координаты точке которого являются неотрицательными решениями системы (*).

Поэтому функция Z принимает минимальное значение во внутренней области одной из окружностей - точкой касания данной окружности с границей данного четырехугольника.

Если проводить эти окружности из точки C, то легко видеть, что минимальное значение функция Z принимает в точке C (когда окружность вырождается в точку): пересечения центра окружности с прямой L2: C(6; 2):

Рис. 1

Рис. 2

Графическое решение:

ZMIN = Z (6; 2) = (x ? 6 )2 + (y ? 2)2 = (6 ? 6 )2 + (2 ? 2)2 = 0 + 0 = 0

Похожие статьи




Графическое решение задачи нелинейного программирования - Методика решения двойственных задач линейного программирования

Предыдущая | Следующая