Степень выпуклости, Триангуляция и объемная палетка - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов
Отличие результата вычисления объема путем представления его в виде суммы призм, от результата вычисления объема путем простого усреднения всех высотных отметок можно интерпретировать как степень выпуклости поверхности фигуры.
Степень выпуклости предлагается оценивать с помощью безразмерного критерия
Щ = (Vt - V) / S /(Zmax - Zmin),
Где Vt - объем, полученный в виде суммы призм, например, в методе триангуляции,
V - объем, вычисленный путем усреднения всех высотных отметок,
S - площадь всего основания,
Zmax, Zmin - максимальная и минимальная высотная отметка.
Если Zmax = Zmin, то Щ = 0. Поверхность - плоская.
Для "преимущественно выпуклой" фигуры Щ > 0, для "преимущественно вогнутой" фигуры Щ < 0.
В нашем примере, рис.1, степень выпуклости для Д=s/6, S=2*s, будет
Щ = Д/2/s/(z1-z3) = s/6/2/s/(54-50)=1/48 = 2 %.
Предельная степень выпуклости (s/2) в рассмотренном примере равна 6 %, а вогнутости - равна - 6 %.
Триангуляция и объемная палетка
Метод палетки используется для аппроксимации поверхности, когда по замерам высот ряда заданных точек рассчитываются высотные отметки регулярной сетки точек. Высотная отметка каждой точки палетки зависит от ее расстояния до заданных точек. Обычно устанавливается некий радиус захвата или прямоугольник захвата, и те из заданных точек, которые находятся от точки палетки в пределах этого радиуса или прямоугольника, используются для вычисления высотной отметки точки палетки. Высотная отметка точки палетки рассчитывается как взвешенная сумма высот заданных точек в радиусе или в прямоугольнике захвата. Чем ближе заданная точка к точке палетки, тем с большим весом ее высота учитывается в расчете. Если заданная точка совпадает с точкой палетки, то ее высота присваивается высоте точке палетки. Таким образом строится сглаженная поверхность с помощью палетки.
В методе триангуляции поверхность представляется состоящей из смежных треугольников, построенных по точкам с известными высотными отметками.
Рассмотрим простейшую ситуацию, когда высотные отметки z измеряются в трех точках T1, T2 и T3, рис. 3.
Возьмем единственную точку палетки и предположим, что радиус захвата бесконечен, а вес заданной точки обратно пропорционален расстоянию между точкой палетки и заданной точкой. Рассмотрим, как будет меняться рассчитанная высотная отметка точки палетки относительно средней высоты трех заданных точек при перемещении точки палетки относительно этих заданных точек по некоторой прямой.
Ограничимся случаем, рис.3, когда точка палетки перемещается по оси X, и будем вычислять разность между высотой точки палетки и средней высотой трехгранной призмы, построенной по точкам T1, T2 и T3 с высотными отметкам z1, z2 и z3.
Для точки палетки Т, расположенной на расстояниях r1, r2 и r3 от точек Т1 , Т2 , Т3 высотная отметка
H = ( z1 / r1 + z2 / r2 + z3 / r3 ) * u,
R1>0, r2>0, r3>0.
Если ri =0, то H = zi, i=1,2,3,
Где u - нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице суммы весовых коэффициентов
U * ( 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r3) =1.
U = r1 * r2 * r3 / RR,
H = ( z1 * r2 * r3 + z2 * r1 * r3 + z3 * r1 * r2) / RR
Где
RR = ( r1 * r2 + r1 * r3 + r2 * r3 ).
Объем при его вычислении методом триангуляции представляется состоящим из призм, подобных рис.3. Для плоского горизонтального основания призмы объем находится как произведение площади основания на среднюю высоту. Расхождение в результатах вычисления объема призмы по одной точке палетки, рис.3, и по средней высоте призмы, следовательно, будет пропорционально разности высот:
Д = H - ( z1 + z2 + z3 ) / 3,
Разность высот Д зависит от положения точки палетки T относительно точек T1, T2 и T3, а также от соотношения между собой высотных отметок z1, z2 и z3. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. r1 = r2 = r3 = r. Точка Т расположена в центре описывающей треугольник окружности.
RR = 3 * r2
Д = 0.
Результат этого случая: высота H точки палетки совпадает со средней высотой призмы. аппроксимация объемный триангуляция выпуклость
2. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании призмы, рис.4. Предположим для упрощения выкладок, что z1 = z2 = z. Интуитивно можно полагать, что, если z1 # z2, то можно принять z = (z1 + z2 ) / 2.
По построению r1 = r2 = r, A - высота равнобедренного треугольника. Начало координат поместим в основание треугольника.
Обозначим
Б = r3 / r, б ? 0, r3 ? 0, r > 0, поскольку T1 # T2.
H = (z * б * r2 + z * б * r2 + z3 * r2 ) / ( r2 + 2 * б * r2 ) = ( 2 * z * б * r2 + z3 * r2 ) / r2 * ( 1 + 2 * б ) = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б )
Д = H - (2 * z + z3) /3
Если б = 0, т. е. точка палетки находится в точке T3 и в качестве высотной отметки H принимается точка z3, z3>z, то
Дмакс(x) = z3 - (2 * z + z3) /3 = 2 * ( z3 - z) / 3.
Если б = 1, т. е. точка палетки находится в центре окружности, описывающей треугольник, и для расчета высотной отметки точки палетки используются три точки, то
Д = ( z3 + 2 * z ) / 3 - (2 * z + z3) /3 = 0.
Если точка палетки находится на большом удалении от треугольника, то б >1 и получаем тот же результат (18). При этом поведение Д(x) при движении к удаленной точке влево и вправо разные, рис. 4. Рисунок изображен для случая z3 > z. Если z3 < z, то кривая Д(x) будет тождественна первоначальной с обратным знаком.
Результат (18) при б > 0 очевиден и в общем случае, когда имеется компактная группа точек, и задача состоит в том, чтобы определить среднюю высоту фигуры методом простого усреднения, то в методе палетки достаточно иметь лишь одну удаленную от группы точку, чтобы вычисленная методом палетки высота в ней мало отличалась от средней высоты исходной группы точек.
Найдем минимальное значение ? (х) в левой части, где x < 0, а также производную d? / dx в точке максимума, при x = A.
Слева от точки x = A
Б = r3 / r = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5
Минимум ? (x) слева от точки x = A найдем, решая уравнение [4]
D? / dx = (d? / dб ) * (dб / dx) = 0.
D? / dб = dH / dб = ( ( 1 + 2 * б ) * 2 * z - ( z3 + 2 * z * б ) * 2) / ( 1 + 2 * б )2 = (2 * z + 4* z * б - 2 * z3 - 4 * z * б) / ( 1 + 2 * б )2 = 2 * (z - z3 ) / ( 1 + 2 * б )2
Dб / dx = ( - (a2 + x2 )0.5 - ( A - x ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = - ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = - (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) (20)
Рассмотрим производную d? / dx в точке x = A.
Производная d? / dx при x = A имеет разрыв. При приближении точки x к A слева производная dб / dx < 0, как это видно по (20).
При приближении точки x к A справа
Б = r3 / r = ( x - A ) / ( a2 + x2 )0.5 ,
Dб / dx = ((a2 + x2 )0.5 - ( x - A ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ),
Т. е. производная dб / dx > 0 при x > A.
Производная d? / dб в точке б = 0, где x = A, непрерывна и при z3 > z отрицательна, поэтому при z3 > z производная d? / dx слева от точки А положительна, а справа - отрицательна и по модулю в точке x = A обе производные равны между собой.
Возвращаемся к минимуму ? (x) при x < 0.
Поскольку знаменатели (19) и (20) больше нуля при x < 0, то минимум ? (х) в левой части будет при
2 * (z - z3 ) * (a2 + A * x ) = 0, т. е. при
X = - a2 / A,
Б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = (A + a2 / A ) / (a2 + a4 / A2 )0.5 = (a2 + A2 ) / ( A * a * (A2 + a2 )0.5 / A) = (a2 + A2 ) 0.5 / a =( 1 + (A/a)2 )0,5
Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5
В этой точке
? = H - (2 * z + z3) /3,
H = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б ).
Покажем, что в точке (23) ? < 0 :
? = (3* z3 +6 * z * б - 2 * z - 4 * z * б - z3 - 2 * z3 * б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )) = 2 *( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б ))
Знаменатель больше нуля. Числитель при z3 > z в точке (23), где б > 1, меньше нуля и
? < 0.
В случае равностороннего треугольника a = A / 30.5 и в точке 1
Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = ( 1 + 3 ) 0,5 = 2,
? = - 0.2 * 2/3 * (z3 - z).
В руководстве маркшейдера по вычислению объемов насыпных складов и отвалов указываются допустимые пределы разности двух независимых определений объема, привязанные к результату, пункт 3.6.4 [1].
В нашем случае, рис. 4, когда в палетке лишь одна точка, максимальное расхождение между двумя вычислениями высот будет равно разности расхождений ? в точке 3 и точке 1, т. е.
Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 - 2*( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )),
Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 .
Это максимальное расхождение будет достигнуто, когда сдвиг между точками будет
Д = A + a2 /A
И при условии, что в первом варианте точка палетки попадет в точку 1, а во втором - в точку 3.
Для равностороннего треугольника, a = A / 30.5, наихудший сдвиг палеток будет
Д = A + A / 3 = 4 * A / 3,
И наибольшая разность будет при
Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = 2,
Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 + ( z3 + 4 * z ) / 5 - (2 * z + z3) /3 = 0.8 * ( z3 - z ).
Наибольшее расхождение в результатах расчета высот, полученных по одной точке палетки в точке x = A и в методе триангуляции несколько меньше,
Похожие статьи
-
Рассмотрим случай, когда граница раздела проходит по хребту, т. е. высотные отметки точек на границе имеют максимальные значения среди всех остальных...
-
Сравним два результата вычисления объема: один результат получим путем разделения объема на две смежные части и вычисления суммарного объема по...
-
Вычисления для следующих входных данных F=1000H m=200 кг m'=1 кг/сек k=2 t0=0 сек V0=0 м/сек B=50 n=50 V1 (t) - результаты, полученные с помощью...
-
Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , Где - область, ограниченная функциями . 2. Теоретическая часть Рассмотрим K-мерный интеграл вида: (1)...
-
Метод множителей Лагранжа - Экономико-математические методы
Среди задач (4.1)-(4.3) особое место занимают задачи типа (6.10) , (6.11) Для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации...
-
Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящее средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального...
-
МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ - Основы прогнозирования
Для исключения автокорреляции могут применяться следующие методы: 1. метод конечных разностей; 2. метод исключения тенденций с помощью уравнений...
-
Производной. - Методы решения системы линейных уравнений
Наиболее просто основные теоремы дифференциального исчисления формулируются для гладких функций. [ Править ] Производные и гладкие функции Пусть функция...
-
Счетные и несчетные множества - Методы решения системы линейных уравнений
Пусть, например, А и В Ї некоторые множества. Тогда их возможные взаимоотношения можно рассмотреть в виде таблицы: Диаграмма Венна Диаграмма Венна...
-
Элементы математических методов и моделей
Введение Основной целью данного курса является ознакомление студентов с основными математическими моделями и методами, используемых в процессах принятия...
-
Методы анализа взаимосвязи - Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений
Первым и обязательным этапом изучения взаимосвязи социально-экономических явлений является качественный анализ природы явления методами экономической...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл . (1) Геометрически число I представляет собой...
-
Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода Пусть необходимо вычислить линейный функционал , Где, причем для...
-
Методы вычисления определителей
Вычислить сумму матриц kA+mB, если, Вычисление линейный уравнение Вычислить определитель третьего порядка: Решить систему линейных уравнений методом...
-
Методы неорганического синтеза - Синтез ацетата натрия ("Горячий лед")
НЕОРГАНИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ, получение неорганических соединений. Как правило, состоит из нескольких последовательных или параллельных процессов -...
-
Заключение - Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Возникновение идеи...
-
Конденсационные методы получения коллоидных систем - Методы очистки и получения коллоидных растворов
Из классификации дисперсных систем по размеру частиц следует, что коллоидные растворы (золи) занимают промежуточное положе-ние между молекулярными и...
-
Неравенство Бонферрони часто используется при множественном тестировании на значимость, главная идея состоит в установке верхней границы FWER. Пусть -,...
-
СУЩНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Динамический или временной ряд представляет собой совокупность численных данных, характеризующих...
-
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием "The Monte Carlo method". Создателями этого метода...
-
Неслучайная составляющая временного ряда и методы его сглаживания - Динамические ряды
Существенную роль в решении задач выявления и оценивания трендовой, сезонной и циклической составляющих в разложении (1.1.1) играет начальный этап...
-
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно...
-
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования
Оценка адекватности моделей методом факторно-плоскостного пространственного проецирования Современная автомобильная промышленность ставит перед...
-
Пусть Dl, r() соответственно левые (правые) границы интервалов I, отвечающих на криволинейной трапеции ОИО значениям 0< < 1. Тогда интересующая нас...
-
Этапы экономико-математического моделирования - Методы экономико-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои...
-
Заключение - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
В данной работе был рассмотрен ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели, был предложен способ приближенного вычисления ранговой оценки...
-
В аргентометрии применяют различные способы установления точки эквивалентности как с помощью индикаторов, так и без них. Метод равного помутнения. Идея...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
Как известно решение задач симплексным методом применяется очень часто. Это связано с тем, что симплексный метод подходит для решения широкого круга...
-
Некоторые особенности решения задач нелинейного программирования - Экономико-математические методы
Для решения ЗНП существенно знать: 1) выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи; 2) является ли целевая функция выпуклой или вогнутой...
-
Частные производные высших порядков - Методы решения системы линейных уравнений
Пусть z=f(x, y). Тогда и - частные производные по переменным х и у. В некоторых случаях существуют снова от этих функций частные производные, называемые...
-
Методы измерения параметров тренда - Ряды динамики в статистике
Тенденция ряда динамики (тренд). Важнейшим направлением в исследовании закономерностей динамики социально-экономических процессов является изучение общей...
-
МЕТОД ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ - Основы моделирования геометрических объектов
Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения...
-
Пусть u = f(x, y) - функция, определенная в области w. Рассмотрим точку М(х, у) О w и некоторое направление l, определяемое направляющими косинусами Cosa...
-
Порфиразины с аннелированными шестичленными N - гетероциклами - пиридиновыми и пиразиновыми кольцами, среди которых первыми были синтезированы...
-
В теории чисел большую роль играет числовая функция, называемая функцией Эйлера. Определение 3.1. Функцией Эйлера называется функция, определенная на...
-
Провести комплексное исследование численных методов для задачи решения нелинейных уравнений. 1. Решить нелинейные уравнения А) ; Б) ; В) . 2....
-
Приближенное вычисление определенных интегралов, Формула прямоугольников - Определенные интегралы
Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти...
-
Задача регрессии. Метод наименьших квадратов Ищу функцию регрессии в виде (1*). Оценки коэффициентов нахожу с помощью Метода Наименьших Квадратов (МКВ),...
Степень выпуклости, Триангуляция и объемная палетка - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов