Степень выпуклости, Триангуляция и объемная палетка - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Отличие результата вычисления объема путем представления его в виде суммы призм, от результата вычисления объема путем простого усреднения всех высотных отметок можно интерпретировать как степень выпуклости поверхности фигуры.

Степень выпуклости предлагается оценивать с помощью безразмерного критерия

Щ = (Vt - V) / S /(Zmax - Zmin),

Где Vt - объем, полученный в виде суммы призм, например, в методе триангуляции,

V - объем, вычисленный путем усреднения всех высотных отметок,

S - площадь всего основания,

Zmax, Zmin - максимальная и минимальная высотная отметка.

Если Zmax = Zmin, то Щ = 0. Поверхность - плоская.

Для "преимущественно выпуклой" фигуры Щ > 0, для "преимущественно вогнутой" фигуры Щ < 0.

В нашем примере, рис.1, степень выпуклости для Д=s/6, S=2*s, будет

Щ = Д/2/s/(z1-z3) = s/6/2/s/(54-50)=1/48 = 2 %.

Предельная степень выпуклости (s/2) в рассмотренном примере равна 6 %, а вогнутости - равна - 6 %.

Триангуляция и объемная палетка

Метод палетки используется для аппроксимации поверхности, когда по замерам высот ряда заданных точек рассчитываются высотные отметки регулярной сетки точек. Высотная отметка каждой точки палетки зависит от ее расстояния до заданных точек. Обычно устанавливается некий радиус захвата или прямоугольник захвата, и те из заданных точек, которые находятся от точки палетки в пределах этого радиуса или прямоугольника, используются для вычисления высотной отметки точки палетки. Высотная отметка точки палетки рассчитывается как взвешенная сумма высот заданных точек в радиусе или в прямоугольнике захвата. Чем ближе заданная точка к точке палетки, тем с большим весом ее высота учитывается в расчете. Если заданная точка совпадает с точкой палетки, то ее высота присваивается высоте точке палетки. Таким образом строится сглаженная поверхность с помощью палетки.

В методе триангуляции поверхность представляется состоящей из смежных треугольников, построенных по точкам с известными высотными отметками.

Рассмотрим простейшую ситуацию, когда высотные отметки z измеряются в трех точках T1, T2 и T3, рис. 3.

Возьмем единственную точку палетки и предположим, что радиус захвата бесконечен, а вес заданной точки обратно пропорционален расстоянию между точкой палетки и заданной точкой. Рассмотрим, как будет меняться рассчитанная высотная отметка точки палетки относительно средней высоты трех заданных точек при перемещении точки палетки относительно этих заданных точек по некоторой прямой.

Ограничимся случаем, рис.3, когда точка палетки перемещается по оси X, и будем вычислять разность между высотой точки палетки и средней высотой трехгранной призмы, построенной по точкам T1, T2 и T3 с высотными отметкам z1, z2 и z3.

Для точки палетки Т, расположенной на расстояниях r1, r2 и r3 от точек Т1 , Т2 , Т3 высотная отметка

H = ( z1 / r1 + z2 / r2 + z3 / r3 ) * u,

R1>0, r2>0, r3>0.

Если ri =0, то H = zi, i=1,2,3,

Где u - нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице суммы весовых коэффициентов

U * ( 1 / r1 + 1 / r2 + 1 / r3) =1.

U = r1 * r2 * r3 / RR,

H = ( z1 * r2 * r3 + z2 * r1 * r3 + z3 * r1 * r2) / RR

Где

RR = ( r1 * r2 + r1 * r3 + r2 * r3 ).

Объем при его вычислении методом триангуляции представляется состоящим из призм, подобных рис.3. Для плоского горизонтального основания призмы объем находится как произведение площади основания на среднюю высоту. Расхождение в результатах вычисления объема призмы по одной точке палетки, рис.3, и по средней высоте призмы, следовательно, будет пропорционально разности высот:

Д = H - ( z1 + z2 + z3 ) / 3,

Разность высот Д зависит от положения точки палетки T относительно точек T1, T2 и T3, а также от соотношения между собой высотных отметок z1, z2 и z3. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. r1 = r2 = r3 = r. Точка Т расположена в центре описывающей треугольник окружности.

RR = 3 * r2

Д = 0.

Результат этого случая: высота H точки палетки совпадает со средней высотой призмы. аппроксимация объемный триангуляция выпуклость

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник в основании призмы, рис.4. Предположим для упрощения выкладок, что z1 = z2 = z. Интуитивно можно полагать, что, если z1 # z2, то можно принять z = (z1 + z2 ) / 2.

По построению r1 = r2 = r, A - высота равнобедренного треугольника. Начало координат поместим в основание треугольника.

Обозначим

Б = r3 / r, б ? 0, r3 ? 0, r > 0, поскольку T1 # T2.

H = (z * б * r2 + z * б * r2 + z3 * r2 ) / ( r2 + 2 * б * r2 ) = ( 2 * z * б * r2 + z3 * r2 ) / r2 * ( 1 + 2 * б ) = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б )

Д = H - (2 * z + z3) /3

Если б = 0, т. е. точка палетки находится в точке T3 и в качестве высотной отметки H принимается точка z3, z3>z, то

Дмакс(x) = z3 - (2 * z + z3) /3 = 2 * ( z3 - z) / 3.

Если б = 1, т. е. точка палетки находится в центре окружности, описывающей треугольник, и для расчета высотной отметки точки палетки используются три точки, то

Д = ( z3 + 2 * z ) / 3 - (2 * z + z3) /3 = 0.

Если точка палетки находится на большом удалении от треугольника, то б >1 и получаем тот же результат (18). При этом поведение Д(x) при движении к удаленной точке влево и вправо разные, рис. 4. Рисунок изображен для случая z3 > z. Если z3 < z, то кривая Д(x) будет тождественна первоначальной с обратным знаком.

Результат (18) при б > 0 очевиден и в общем случае, когда имеется компактная группа точек, и задача состоит в том, чтобы определить среднюю высоту фигуры методом простого усреднения, то в методе палетки достаточно иметь лишь одну удаленную от группы точку, чтобы вычисленная методом палетки высота в ней мало отличалась от средней высоты исходной группы точек.

Найдем минимальное значение ? (х) в левой части, где x < 0, а также производную d? / dx в точке максимума, при x = A.

Слева от точки x = A

Б = r3 / r = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5

Минимум ? (x) слева от точки x = A найдем, решая уравнение [4]

D? / dx = (d? / dб ) * (dб / dx) = 0.

D? / dб = dH / dб = ( ( 1 + 2 * б ) * 2 * z - ( z3 + 2 * z * б ) * 2) / ( 1 + 2 * б )2 = (2 * z + 4* z * б - 2 * z3 - 4 * z * б) / ( 1 + 2 * б )2 = 2 * (z - z3 ) / ( 1 + 2 * б )2

Dб / dx = ( - (a2 + x2 )0.5 - ( A - x ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = - ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = - (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) (20)

Рассмотрим производную d? / dx в точке x = A.

Производная d? / dx при x = A имеет разрыв. При приближении точки x к A слева производная dб / dx < 0, как это видно по (20).

При приближении точки x к A справа

Б = r3 / r = ( x - A ) / ( a2 + x2 )0.5 ,

Dб / dx = ((a2 + x2 )0.5 - ( x - A ) * 0.5 * ( a2 + x2 )-0.5 * 2 * x ) / (a2 + x2 ) = ( a2 + x2 + A * x - x2 ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ) = (a2 + A * x ) / ((a2 + x2 ) * ( a2 + x2 )-0.5 ),

Т. е. производная dб / dx > 0 при x > A.

Производная d? / dб в точке б = 0, где x = A, непрерывна и при z3 > z отрицательна, поэтому при z3 > z производная d? / dx слева от точки А положительна, а справа - отрицательна и по модулю в точке x = A обе производные равны между собой.

Возвращаемся к минимуму ? (x) при x < 0.

Поскольку знаменатели (19) и (20) больше нуля при x < 0, то минимум ? (х) в левой части будет при

2 * (z - z3 ) * (a2 + A * x ) = 0, т. е. при

X = - a2 / A,

Б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = (A + a2 / A ) / (a2 + a4 / A2 )0.5 = (a2 + A2 ) / ( A * a * (A2 + a2 )0.5 / A) = (a2 + A2 ) 0.5 / a =( 1 + (A/a)2 )0,5

Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5

В этой точке

? = H - (2 * z + z3) /3,

H = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б ).

Покажем, что в точке (23) ? < 0 :

? = (3* z3 +6 * z * б - 2 * z - 4 * z * б - z3 - 2 * z3 * б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )) = 2 *( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б ))

Знаменатель больше нуля. Числитель при z3 > z в точке (23), где б > 1, меньше нуля и

? < 0.

В случае равностороннего треугольника a = A / 30.5 и в точке 1

Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = ( 1 + 3 ) 0,5 = 2,

? = - 0.2 * 2/3 * (z3 - z).

В руководстве маркшейдера по вычислению объемов насыпных складов и отвалов указываются допустимые пределы разности двух независимых определений объема, привязанные к результату, пункт 3.6.4 [1].

В нашем случае, рис. 4, когда в палетке лишь одна точка, максимальное расхождение между двумя вычислениями высот будет равно разности расхождений ? в точке 3 и точке 1, т. е.

Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 - 2*( z3 - z ) * ( 1 - б ) / (3 * ( 1 + 2 * б )),

Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 .

Это максимальное расхождение будет достигнуто, когда сдвиг между точками будет

Д = A + a2 /A

И при условии, что в первом варианте точка палетки попадет в точку 1, а во втором - в точку 3.

Для равностороннего треугольника, a = A / 30.5, наихудший сдвиг палеток будет

Д = A + A / 3 = 4 * A / 3,

И наибольшая разность будет при

Б = ( 1 + (A/a)2 )0,5 = 2,

Дмакс - ?мин =2 * ( z3 - z) / 3 + ( z3 + 4 * z ) / 5 - (2 * z + z3) /3 = 0.8 * ( z3 - z ).

Наибольшее расхождение в результатах расчета высот, полученных по одной точке палетки в точке x = A и в методе триангуляции несколько меньше,

Похожие статьи




Степень выпуклости, Триангуляция и объемная палетка - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Предыдущая | Следующая