Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования - Имитационное моделирование в экономике
Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием "The Monte Carlo method". Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955--1956гг.
Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную--очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.
Само название "Монте-Карло" происходит от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своим игорным домом.
Идея метода чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится "розыгрыш" случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее "работать на нас".
Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены, где процесс -- явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).
В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета. Приведем пример, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного попадания равной 1 -- (1/2)3 = 7/8. Ту же задачу можно решить и "розыгрышем", статистическим моделированием. Вместо "трех выстрелов" будем бросать "три монеты", считая, скажем, герб--за попадание, решку -- за "промах". Опытсчитается"удачным", если хотя бы на одной из монетвыпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество "удач" и разделим на число N произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен.
Метод Монте-Карло - это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Рассмотрим простой пример иллюстрирующий метод.
Пример 1. Предположим, что нам нужно вычислить площадь плоской фигуры S. Это может быть произвольная фигура с криволинейной границей, заданная графически или аналитически, связная или состоящая из нескольких кусков. Пусть это будет фигура изображенная на рис. 1, и предположим, что она вся расположена внутри единичного квадрата.
Выберем внутри квадрата N случайных точек. Обозначим через F число точек, попавших при этом внутрь S. Геометрически очевидно, что площадь S приближенно равна отношению F/N. Чем больше N, тем больше точность этой оценки.
Две особенности метода Монте-Карло.
Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.
Вторая особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.
Ясно, что добиться высокой точности таким путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло особенно эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:
- 1. Построить график или таблицу интегральной функции распределения на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у). 2. С помощью генератора случайных чисел выбрать случайное десятичное число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов). 3. Провести горизонтальную прямую от точки на оси ординат соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей. 4. Опустить из этой точки пересечения перпендикуляр на ось абсцисс. 5. Записать полученное значение х. Далее оно принимается как выборочное значение.
Б. Повторить шаги 2-5 для всех требуемых случайных переменных, следуя тому порядку, в котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению:
Кол - во звонков Вероятность Кумулятивная вероятность О 0,10 0,10
- 1 0,40 0,50 2 0,30 0,80 3 0,15 0,95 4 0,05 1,00
Предположим, что мы хотим провести мысленный эксперимент для пяти периодов времени.
Построим график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени.
Период времени Случайное число Количество звонков
- 1 0,09 О 2 0,54 2 3 0,42 1 4 0,86 3 5 0,23 1
Взяв еще несколько таких выборок, можно убедиться в том, что если используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой величины будет появляться с такой же частотой, как ирреальном мире", и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой системы.
Вернемся к примеру. Для расчета нам нужно было выбирать случайные точки в единичном квадрате. Как это сделать физически?
Представим такой эксперимент. Рис.1. (в увеличенном масштабе) с фигурой S и квадратом повешен на стену в качестве мишени. Стрелок, находившийся на некотором расстоянии от стены, стреляет N раз, целясь в центр квадрата.
Конечно, все пули не будут ложиться точно в центр: они пробьют на мишени N случайных точек. Можно ли по этим точкам оценить площадь S.
Ясно, что при высокой квалификации стрелка результат опыта будет очень плохим, так как почти все пули будут ложиться вблизи центра и попадут в S.
Нетрудно понять, что наш метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не просто "случайными", а еще и "равномерно разбросанными" по всему квадрату.
В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется в трех основных ролях:
- 1) при моделировании сложных, комплексных операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов; 2) при проверке применимости более простых, аналитических методов и выяснении условий их применимости; 3) в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа "эмпирических формул" в технике.
Похожие статьи
-
Заключение - Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Возникновение идеи...
-
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Особенно...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Пусть требуется разыграть испытания в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью 1-р [4]. Заменим...
-
Метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для...
-
Моделирование как метод научного познания. - Моделирование перспективного развития экономики
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое...
-
Заключение - Имитационное моделирование в экономике
Основным недостатком аналитических моделей является то, что они неизбежно требуют каких-то допущений, в частности, о "марковости" процесса. Приемлемость...
-
Введение - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе
Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений. Возникновение идеи...
-
Определение понятия "имитационное моделирование" - Имитационное моделирование в экономике
В современной литературе не существует единой точки зрения по вопросу о том, что понимать под имитационным моделированием. Так существуют различные...
-
Метод конечных элементов - МАтематическое моделирование в экономике
- Метод конечных элементов: триангуляция - Метод конечных элементов ( МКЭ ) -- численный метод решения задач прикладной механики. - Широко используется...
-
Заключение, Список литературы - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе
Метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества: А) Он не требует никаких...
-
Этапы экономико-математического моделирования. - Моделирование перспективного развития экономики
Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои...
-
Пример. Оценка геологических запасов - Имитационное моделирование в экономике
Для оценки величины извлекаемых запасов необходимо, прежде всего, определить величину суммарных или геологических запасов. Анализ структурных ловушек....
-
Метод конечных разностей -- широко известный и простейший метод интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных коэффициентов уравнения на...
-
Введение - Имитационное моделирование в экономике
В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки....
-
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "по-винна" математика, развивающаяся...
-
Этапы экономико-математического моделирования - Методы экономико-математического моделирования
Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои...
-
Общая схема метода Монте-Карло Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого...
-
Процесс экономико-математического моделирования - Экономико-математические методы
Этот процесс состоит из нескольких взаимосвязанных этапов. Разбиение на этапы и выделение на каждом этапе присущих ему процессов условно: на одном из...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Описание реальных отношений между экономическими объектами и производственными процессами наиболее рационально и в полной мере осуществляется с помощью...
-
Введение - Методы экономико-математического моделирования
Экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Бурное развитие математического анализа,...
-
Как в теоретическом, так и в прикладном отношении представляют интерес работы по построению и использованию производственных функций для анализа...
-
Геометрическая интерпретация - Математические методы и модели в экономике
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования является основой графического метода и применяется в основном при решении задач двумерного...
-
Классификация экономико-математических моделей Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать...
-
Классификация экономико-математических методов - История развития методов и моделей в экономике
Велика роль математических моделей при описании экономических объектов и процессов, что, безусловно, подтверждается историей развития этого направления...
-
Обобщенный метод наименьших квадратов - Моделирование в эконометрике
При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК) заменять обобщенным методом наименьших квадратов...
-
К числу приближенных методов оптимизации задач календарного планирования относятся: частичный и направленный перебор, метод Монте-Карло,...
-
Монте карло погрешность распределение интеграл В качестве оценки интеграла принимают , Где n - число испытаний; F(x) - плотность распределения...
-
Календарный производственный программирование однооперационный Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения...
-
Классификация экономико-математических моделей. - Моделирование перспективного развития экономики
Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей...
-
Из перечисленного обзора типов ММ, составляющих предмет ИСО, можно выделить следующие особенности ММ ИСО [3]. - Системный подход, заставляющий...
-
Линейное программирование в экономике - Экономико-математические методы
Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т. д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических...
-
На сегодняшний день существует достаточно большое количество методов моделирования бизнес процессов. Эти методы относятся к разным видам моделирования и...
-
Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое предприятие такими...
-
После получения матриц спектра плана, проведем 70 опытов в каждой точке. По полученным параметрам построим регрессионную модель второго порядка,...
-
Изложение в этой статье посвящено в основном научной области "Математические и инструментальные методы экономики", включающей...
-
Методы математического моделирования экономики развиваются уже почти 200 лет. За это время созданы десятки тысяч моделей разной степени общности и...
-
Для того чтобы можно было составить план проведения численных экспериментов, необходимо определиться с выходными параметрами объекта, которые можно...
-
Методы построения решений по математическим моделям - Математическое моделирование в электромеханике
Системы дифференциальных уравнений, полученные для конкретных ти-пов электрических машин, содержат в скрытом виде исчерпывающую инфор-мацию о всех...
Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования - Имитационное моделирование в экономике