Частные производные высших порядков - Методы решения системы линейных уравнений

Пусть z=f(x, y). Тогда и - частные производные по переменным х и у. В некоторых случаях существуют снова от этих функций частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми производными):

, ,

, и т. д.

Можно определить частные производные любого порядка, если все рассматриваемые функции непрерывны как функции своих независимых переменных, при этом результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Например, если и непрерывны, то имеет место равенство

.

Пример. Пусть z = xY, ( x>0 ).

Имеем

; ;

; .

Признак полного дифференциала

Если u = f(x, y) - дифференцируема, то полный дифференциал имеет вид:

Du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (14.10)

Где , .

Возникает обратная задача: при каких условиях выражение

P(x, y)dx + Q(x, y)dy, (14.11)

Где функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны со своими производными первого порядка, является полным дифференциалом функции u.

Теорема 14.1. (Необходимое условие)Для того, чтобы (14.11) являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x, y), необходимо, чтобы в этой области

(х, у О G)

(*) - условие полного дифференциала.

Доказательство:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x, y). Имеем

. (14.12)

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

, .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

, .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

Следствие. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.

Пример:

    А) ydx - xdy Б) ydx+xdy

Проверить, являются ли полными дифференциалами а) и б).

    А) , - не является. Б) P=y, Q=x,

D(xy)=ydx+xdy.

Основные понятия теории вероятности. Классическое определение вероятности

Статистическое определение вероятности. Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.

Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз.

Определение 1. Число m называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А, а отношение Р*(А) = m/n называется относительной частотой события А.

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n - числа испытаний в сериях - относительная частота Р*(А) = m/n приближается к некоторому числа Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.

Определение 2 (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью в статистическом смысле, если число испытаний достаточно велико (имеется огромный опытный материал по проверке последнего утверждения).

С этой точки зрения величина m = n Р(А) представляет собой среднее значение числа появления события А при n испытаниях.

Статистическое определение вероятности, использующее статистическую обработку данных, находит широкое применение.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного собы-тия? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту воз-можность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов -- результатов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение 1. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Определение 2. События U1, U2, ..., U, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Определение 3. Событие А называется благоприятствующим событию Б, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Определение 4 (классическое определение вероятности). Вероятностью Р(А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Р(А) = m/n.

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, достоверному событию должны благоприятствовать все n элементарных событий, т. е. m = n, и, следовательно,

    2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Похожие статьи




Частные производные высших порядков - Методы решения системы линейных уравнений

Предыдущая | Следующая