Поверхность палетки - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Метод палетки предназначен, главным образом, для построения модели поверхности, а не для расчета объемов. Для детального отображения поверхности нужна сетка палетки с большим количеством точек, в то время как для расчета высоты поверхности методом палетки, эквивалентном методу простого усреднения, достаточно, в принципе, одной удаленной точки палетки с большим радиусом захвата, чтобы охватить все точки с известными высотными отметками.

Но, чтобы представить себе, какой вид имеет сглаженная поверхность, построенная палеткой с большим количеством точек в решетке, обратимся к прежнему примеру, рис. 3 и рис. 4.

Сравним сечение H(x) (15) поверхности, построенной по точкам палетки, лежащим в плоскости XZ, с сечением f(x) той же плоскостью треугольника, натянутого на точки с высотными отметками z1, z2 и z3.

В плоскости XZ прямая f(x) будет проходить в точке x = 0 через точку с высотной отметкой z, а в точке x = A - через точку z3. Ее уравнение

F(x)= x * (z3 - z) / A + z.

Функция f(x) определена на отрезке 0 ? x ? A.

Для точек палетки, располагаемых на оси X, находим расхождение между кривой H(x) (15) и прямой (29).

На рис.5 представлен график H(x), построенный по Д(x) (14). H(x) отличается от Д(x) на постоянную величину - среднюю высотную отметку призмы.

При z3 > z кривая палетки H(x) совпадает с f(x) в точке x=A, в точке x=0 она проходит выше f(x). Производная dH/dx при приближении к точке x=A слева при условии a/A > v 3 больше df/dx, т. е. H(x) располагается ниже прямой f(x) в окрестности точки x=A. При x>0 справа H(x) пересечет f(x), т. к. H(0)> f(0). Если z3 < z, то H(x) при прочих равных условиях будет располагаться относительно f(x) противоположным образом.

H(x) имеет два экстремума: максимум в точке x = A и минимум в точке

X = - a2 / A, см.

Рассмотрим случаи, z3 > z:

1. x = 0.

Б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = A / a,

Д(0) = H(x) - z = ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a ) - z = ( z3 * a + 2 * z * A ) / ( a + 2 * A) - z = ( z3 * a + 2* z * A - z * a - 2 * z * A ) / ( a + 2 * A) = ( z3 - z ) / ( 1 + 2 * A / a )

Д(0) > 0

2. x = A.

Б = ( A - x ) / ( a2 + x2 )0.5 = 0.

F(A) = z3

Д(A) = ( z3 + 2 * z * б ) / ( 1 + 2 * б ) - z3 = 0

3. б = 1 или x = ( A2 - a2 ) / 2 / A. Центр описывающей окружности.

A - x = (x2 + a2 )0.5 ,

A2 - 2 * A * x + x2 = x2 + a2 ,

X = ( A2 - a2 ) / 2 / A

H(x)= ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a )

F(x) = x * (z3 - z) / A + z = ( A2 - a2 ) / 2 / * (z3 - z)/ A/A + z = (z3 - z ) * (A2 - a2 )/A/A/2 + z

Д(x) = H(x) - f(x) = ( z3 + 2 * z * A / a ) / ( 1 + 2 * A / a ) - (z3 - z ) * (A2 - a2 )/2/A/A - z = (z3 - z) * ( a * ( A2 + a2 ) - 2 * A * ( A2 - a2 ) ) / 2 / A / A / ( a + 2 * A )

Знак Д(x) сложным образом зависит от A и a. При A = a

Д(x) = (z3 + 2* z) / 3 - z = ( z3 - z ) / 3.

Если a/A > v 3, то Д(x) > 0 в окрестности точки x=0 и Д(x) < 0 при приближении к точке x=A. Сравним рис.4 и рис.5. Поскольку H(x) отличается от Д(x) (14), (16) на постоянную величину, то и график H(x) на рис. 5 подобен графику Д(x) на рис. 4. Экстремумы этих кривых находятся в одинаковых точках x.

Похожие статьи




Поверхность палетки - Сравнение методов вычисления объемов насыпных складов и отвалов

Предыдущая | Следующая