Статистический критерий. Критерий Стьюдента. Ошибки 1 и 2 рода. Построение оптимальной критической области - Математическое моделирование в научных исследованиях

Для оценки статистической значимости модели по параметрам рассчитывают t-критерии Стьюдента.

Оценка значимости модели с помощью критерия Стьюдента проводится путем сравнения их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки коэффициентов линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и табличное значения t-статистики и принимается или отвергается гипотеза о значимости модели по параметрам.

Зависимость между критерием Фишера и значением t-статистики Стьюдента определяется так

Как и в случае с оценкой значимости уравнения модели в целом, модель считается ненадежной если tтабл > tфакт Критерий Стьюдента использует класс методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с распределением Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t критерия связаны с проверкой равенства Следующей задачей статистического анализа, решаемой после определения основных (выборочных) характеристик и анализа одной выборки, является совместный анализ нескольких выборок. Важнейшим вопросом, возникающем при анализе двух выборок, является вопрос о наличии различий между выборками. Обычно для этого проводят проверку статистических гипотез о принадлежности обеих выборок одной генеральной совокупности или о равенстве средних.

Если вид распределения или функция распределения выборки нам заданы, то в этом случае задача оценки различий двух групп независимых наблюдений может решаться с использованием параметрических критериев статистики: либо критерия Стьюдента (t), если сравнение выборок ведется по средним значениям (X и У), либо с использованием критерия Фишера (F), если сравнение выборок ведется по их дисперсиям.

Использование параметрических критериев статистики без предварительной проверки вида распределения может привести к определенным ошибкам в ходе проверки рабочей гипотезы.

Для преодоления указанных трудностей в практике педагогических исследований следует использовать непараметрические критерии статистики, такие, как критерий знаков, двухвыборочный критерий Вилкоксона, критерий Ван дер Вардена, критерий Спирмена, выбор которых, хотя и не требует большого числа членов выборки и знаний, вида распределения, но все же зависит от целого ряда условий.

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о принадлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основываются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

Лекция 13. Регрессионный анализ. Связь метода наименьших квадратов МНК и метода максимального правдоподобия ММП. Методы проверки характеристик уравнений регрессии - эффективности, адекватности, значимости коэффициентов

Регрессиомнный (линейный) анализ -- статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные -- критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Необходимо отметить, что собственно методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближенного представления (аппроксимации) заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т. д.

Априорная информация об объекте, необходимой для их вычисления может быть задана следующим образом.

Известна плотность распределения некоторой аддитивной помехи e(t), наличие которой обуславливают несоответствие модели объекту. По этой плотности распределения помехи можно рассчитать плотность распределения измерений Y, которая зависит от параметров объекта A и обозначается P(Y/A).

В этом случае используются оценки методом максимального правдоподобия рассматриваются в случаях, когда априорная информация задана способом, указанным в пункте 1. Идея метода заключается в определении функции правдоподобия, обычно условной плотности распределения P(Y/A) Которая связывает параметр A С выборочными наблюдениями (измерениями) Y.

После определения функции правдоподобия максимизируется плотность распределения относительно оценок параметров.

Рассмотрим этот метод на примере статической системы:

Yi=AiХ+еi

Где еi - гауссовские последовательности, у которых:

M[еi]=0; M[еi, еiT]=Riдij

Матрица Ri - Положительно определена.

Плотность вероятности еi Имеет вид:

P(Еi)=

|Ri| - Определитель матрицы Ri.

Поскольку 0?K?1, то совместная плотность вероятности для еo,...,еi Имеет вид:

P(еo,..., еk) =

Сделаем замену с еi На Yi В уравнении

P(yo,..., yk (x) =

Hk=

Оптимальным по методу максимума правдоподобия будет такая оценка В, которая максимизирует P(еo,..., еk) или минимизирует Hk.

Марковские оценки и оценки по методу наименьших квадратов можно рассматривать как частные случаи метода максимума правдоподобия с меньшим объемом априорной информации.

Похожие статьи




Статистический критерий. Критерий Стьюдента. Ошибки 1 и 2 рода. Построение оптимальной критической области - Математическое моделирование в научных исследованиях

Предыдущая | Следующая