Математическое моделирование линейных систем, разработка методов оценивания параметров математической модели - Математическое моделирование в научных исследованиях
Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, основанный на итеративной процедуре.
В том случае, когда область ограничения задается одним линейным уравнением, задача не имеет решения для всех х > 0.
Квадратичное программирование. Представлению задач линейного программирования n-мерными плоскостями и гипервыпуклыми многоугольниками поставим в соответствие n-мерными векторами в n-мерной ортогональной системе координат:
- целевая функция n - мерный вектор
V = e1с1х1 + e2с2х2 + ...+ enспхп,
- ограничения n-мерные вектора
Е1а11х1 + е2а12х2 +...+ еп а1п xn = В1 ,
Е1а21х1 + е2а22х2 +...+ еп а2п xn = В2 ,
Е1ак1х1 + е2ак2х2 + ...+ епакпхп = Вк.
Здесь еi - единичные базисные вектора, для которых выполняются условия ортогональности ei ej = 0 , e2i = 1 , i, j = 1, 2, ...
Векторным представлениям построим в соответствие квадратичные формы как квадраты длин векторов для целевой функции
V2 = (e1с1х1 + e2с2х2 + ...+ enспхп )2 = с21х21 + с22х22 +...+ с2пх2п,
И ограничений в виде произведения единичного вектора и векторов ограничений
(е1 + е2 +...+ еп ) (е1а11х1 + е2а12х2 +...+ еп а1п xn ) =
= а11х 1 + а12х2 +...+ а1п x n = С1 ,
(е1 + е2 +...+ еп) (е1а21х1 + е2а22х2 +...+ еп а2п xn) =
= а21х1 + а22х2 +...+ а2п xn = С2 ,
(е1 + е2 + ...+ ел) (е1ак1х1 + е2ак2х2 + ...+ епакпхп) =
= ак1х1 + ак2х2 + ...+ акпхп = Ск.
Таким образом, линейное программирование на линейных формах отображается на программирование квадратичных форм как квадратов длин векторов целевой функции при ограничениях на линейных формах, и становится возможным сделать переход от методов не дифференциального исчисления линейного программирования к дифференциальным.
На квадратичных формах целевой функции и линейных форм ограничений стандартная задача оптимизации ставится следующим образом:
- найти минимум целевой функции как минимальной длины вектор (минимальный квадратичный функционал)
Ф =V2 = с21х21 + с22х22 +...+ с2пх2п > min,
При ограничениях
А11х1 + а12х 2 +...+ а1п x n = С 1 ,
А21х1 + а22х2 +...+ а2п xn = С2 ,
Ак1х1 + ак2х2 + ...+ акпхп = Ск.
Здесь целевая функция Ф обладает непрерывными частными производными первого и второго порядка по своим аргументам.
В рассматриваемых условиях задачу оптимизации, как минимизации целевой функции, можно решать известным методом множителей Лагранжа. Метод заключается в введении множителей л1 , л2 , ..., лк и построении вспомогательной функции
Т = с21х21 + с22х22 +...+ с2пх2п + л1(а11х 1 + а12х 2 +...+ а1п xn -
С1) + л2(а21х1 + а22х2 +...+ а2п xn - С2) + лк(ак1х1 + ак2х2 + ...+
Акпхп - Сk).
Минимизация целевой функции обеспечивается условием ?2Ф/?х2 > 0.
Стационарное значение целевой функции Ф находится путем решения системы ( n + k ) уравнений, получаемых из условий
- ?Т / ?хi = 0 , i = 1, 2, ..., n, и ?Т / ?лj = 0 , j = 1, 2, ..., k, 2с21 х1 + ?аj1 лj = 0 , 2с22 x2 + ?aj2 лj = 0 , 2с2п xn + ?ajk лk + 0 ,
А11х1 + а12х2 +...+ а1п xn = С1,
А21х1 + а22х2 +...+ а2п xn = С2
Ак1х1 + ак2х2 + ...+ акпхп = Ск.
Размерность пространства решения задачи равна ( n + k ).
Система уравнений является линейной и замкнутой по числу неизвестных x и, поэтому ее решение находится по формуле Крамера
Xi = di / d,
Где d - определитель основной матрицы системы уравнений, di - определитель матрицы, получающейся из определителя основной матрицы путем замены i-того столбца столбцом из свободных членов.
Таким образом, решением задачи становится пересечение гиперплоскостей, представленных системой уравнений.
Квадратичный функционал связан с линейным условием
V2 = F2 n.
В качестве иллюстрации представления предлагаемого метода оптимизации запишем решения линейной, плоской и 4-х мерной задач.
Линейная задача:
Найти минимальный квадратичный функционал
С21 х21 + с22 х2 2 > min,
При линейном ограничении
Х1 + х2 = С1 ,
Решение имеет вид
Х1 = с22 С1(с21 + с22) . х2 = с21 С1 / (с21 + с22) .
Плоская задача:
Найти минимальный квадратичный функционал
С21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 > min,
При линейном ограничении
Х1 + х2 + х3 = С1 ,
Решение имеет вид
Х1 = с22 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,
Х2 = с21 с23 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,
Х3 = с21 с22 С1 / ( с21 с22 + с21 с23 + с22 с23) ,
4-х мерная задача:
Найти минимальный квадратичный функционал
С21 х21 + с22 х2 2 + с23 х23 + с24 х24 > min,
При линейном ограничении
Х1 + х2 + х3 + х4 = С1 ,
Решение имеет вид
Х1 = с22 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,
Х2 = с21 с23 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,
Х3 = с21 с22 с24 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,
Х4 = с21 с22 с23 С1 / ( с21 с22 с23 + с21 с23 с24 + с21 с22 с24 + с22 с23 с24) ,
Решения позволяют выстраивать оптимальную организацию
Общего лесозаготовительного процесса при наличии нескольких технологий, имеющих различную себестоимость единицы лесопродукции. В этом случае с - стоимость 1м3 лесопродукции для отдельной технологии, х - объем лесопродукции, производимой отдельной технологией, а С - общий объем заготовки леса.
В том случае, когда имеется информация о часовой или сменной производительности каждой технологии, можно найти технологическое время для каждой технологии, обеспечивающее минимальные затраты выполнения всего комплекса работ:
Ti = xi / ni,
Здесь ni - производительность огдельной технологии в комплексе.
Задачи на максимум выстраиваются как двойственная минимуму
Н - Ф > mах,
Где Н - постоянная, и условием - ?2Ф/?х2 < 0.
Представленное построение показывает, что решение задачи оптимизации данным методом квадратичного программирования возможно при минимальном числе условий ограничения (к = 1), что в принципе не возможно при линейном программировании.
В тоже время множество задач линейного программирования можно решать представленным методом квадратичного программирования.
Нелинейное программирование. Задача представлена нелинейными формами.
Динамическое программирование. Метод основан на принципе оптимальности, сформулированным Беллманом: оптимальная политика обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса, последующие управления должны составлять оптимальную стратегию относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса.
Пример. Процесс состоит из ступеней: n, n-1, n-2,.., 1. Преобразование и доход определяются функциями T(x, D) и P(x, D) соответственно (x - переменная состояния, D - управляющая переменная)
Целевая функция fn(x) и управление Dn на n-й ступени удовлетворяют функциональному уравнению
Fn(x) = ext (Dn) {fn-1[T(x, Dn)] + Pn(x, Dn)},
Принцип максимума. (принцип быстродействия) Состояние процесса задается числами х1, х2, ...,хп, называемыми координатами фазового пространства процесса, движение объекта управляется параметрами u1, u2,..., ur; координаты фазового пространства и управляющие переменные зависят от времени, управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений
Dxi/dt = fi (x1,..., xn, u1, ..., ur) , i = 1, 2, .., n.
Или в векторной форме
Dx/dt = f [x(t), u(t)] ,
Интегральный функционал
J = ?f(x1, x2,.., xn, u1, u2,...,ur)dt,
На отрезке времени принимает определенное значение; переход из одного состояния процесса в другое должен происходить при минимальном значении интегрального функционала.
Похожие статьи
-
Оптимизация, этапы оптимизации Оптимизация представляет собой математическую задачу максимизации или минимизации некоторой функции нескольких переменных...
-
Математическое моделирование - Основы научных исследований
Выше уже указывалось, что Математическое моделирование - это получение решений уравнений, составляющих математическую модель объекта, при изменении...
-
При управлении подвижными объектами (такими, например, как мобильные роботы, подводные аппараты и т. п.) часто имеет место неопределенность цели, когда...
-
Целью дисциплины является освоение теории, методов и технологии компьютерного моделирования при исследовании, проектировании и применении компьютерных...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) (*) Для ЗНП в отличие от Задачи Линейного Программирования (ЗЛП) нет единого метода...
-
В экономической сфере деятельности в современных условиях большое значение имеет принятие решений. Для принятия экономических решений в нынешних условиях...
-
Элементы математических методов и моделей
Введение Основной целью данного курса является ознакомление студентов с основными математическими моделями и методами, используемых в процессах принятия...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или...
-
Исходная задача: При ограничениях: Двойственной является следующая задача: При ограничениях: Число неизвестных в двойственной задаче равно 2....
-
Общая постановка задачи исследования операций - Экономико-математические методы
Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы: Постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не...
-
Основная задача линейного программирования: Найти неотрицательное решение системы ограничений обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции. Чтобы...
-
Методы построения решений по математическим моделям - Математическое моделирование в электромеханике
Системы дифференциальных уравнений, полученные для конкретных ти-пов электрических машин, содержат в скрытом виде исчерпывающую инфор-мацию о всех...
-
Физика - это наука, в которой математическое моделирование является весьма важным методом исследования. Исторически так сложилось, что моделирование...
-
Наглядное - на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в...
-
Расчет параметров линейной парной регрессии Парная линейная регрессия имеет вид: X = A + B - X , Где X - результативный признак, характеризующий...
-
На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:...
-
Линейное программирование, Общая задача линейного программирования - Экономико-математические методы
Термин "линейное программирование" впервые появился в 1951 г. в работах американских ученых (Дж. Данциг, Т. Купманс), а первые исследования по линейному...
-
Геометрическая интерпретация - Математические методы и модели в экономике
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования является основой графического метода и применяется в основном при решении задач двумерного...
-
Календарный производственный программирование однооперационный Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения...
-
Наиболее ранним способом формализации экономико-математических и ТС является представление физических явлений с помощью систем дифференциальных...
-
Модели линейного программирования. Основные определения Еще одним классом задач экономико-математического моделирования являются задачи линейного...
-
Для моделирования случайных событий и процессов используется метод статистического моделирования. Сущность метода статистического моделирования. Таким...
-
В эконометрике приходится сталкиваться с двумя ситуациями. Уже имеющаяся математическая модель, построенная, исходя из тех или иных экономических...
-
Элементы матричного анализа - Методы решения системы линейных уравнений
Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный Отрезок , то есть такой Отрезок , один из концов которого выделен и называется...
-
Решение задачи графическим методом - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Необходимо найти максимальное значение целевой функции L(x)= 2x1+2x2 > max, при системе ограничений: 6x1+8x2?48, (1) 8x1+11x2?88, (2)...
-
Системы линейных уравнений - Методы решения системы линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида Где aIj и bI (i=1,...,m; b=1,...,n) - некоторые известные числа, а x1,...,xN -...
-
В разделе 1 курсовой работы требуется: Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала....
-
В качестве примера модели, в основе которой лежит уравнение матфизики, рассмотрим модель распространения тепла в однородном стрежне. Задача...
-
Введение - Основные методы и принципы моделирования в исследовании систем управления
В данной работе я попытаюсь раскрыть основные методы и принципы моделирования в разрезе исследования систем управления. Моделирование (в широком смысле)...
-
1. По уровню познания модели подразделяются на: - теоретические (законы, принципы, положения применительно к объекту исследования); - эмпирические,...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
Автоматизированные обучающие системы включают в себя комплекс учебно-методических материалов (демонстрационных, теоретических, практических,...
-
С развитием системных исследований, с расширением экспериментальных методов изучения реальных явлений все большее значение приобретают абстрактные...
-
Компьютерный моделирование информационный экспериментальный При физическом моделировании предполагается физическая однородность объекта и модели, их...
-
В большинстве случаев структурная неопределенность вызвана неполнотой знания аналитической структуры уравнений модели объекта управления. При не...
-
В практике управления системами различного назначения (экономическими, финансовыми, техническими и др.) неизбежно приходится сталкиваться с различными...
-
Необходимо составить математическое описание теплообменника, в котором жидкий продукт нагревается насыщенным водяным паром (расход, кг/с), до температуры...
-
1. Цыпкин, Я. З. Частотные критерии робастной модальной линейных дискретных систем / Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк // Автоматика.-1990. - № 5. - С.4-11. 2....
Математическое моделирование линейных систем, разработка методов оценивания параметров математической модели - Математическое моделирование в научных исследованиях