Статистический анализ регрессионной модели, Интерпретация результатов эксперимента - Основы научных исследований
После проведения регрессионного анализа получается модель объекта исследований в виде некоторой функции. В простейшем случае линейной регрессии она имеет вид
.
В общем случае не все коэффициенты регрессии АI в этой модели значимы, т. к. при выборе факторов обычно нет полной информации о степени влияния каждого на отклик и поэтому приходится вводить в эксперимент и те факторы, которые при данной точности исследования могут оказаться не существенными. Эти факторы теперь можно отсеять Проверкой значимости коэффициентов регрессии.
Регрессионный анализ всегда дает не нулевые величины коэффициентов регрессии даже у заведомо не значимых факторов. Это происходит из-за влияния случайных помех или наличия корреляции между факторами. Но обычно коэффициенты регрессии при таких факторах малы. Поэтому нужно проверить, достаточно ли они малы для того, чтобы можно было считать их отличие от нуля результатом вышеуказанных причин. Для отсеивания не значимых АI С некоторой вероятностью р Используется T-критерий Стьюдента. Если
(16.9)
То данный коэффициент регрессии значим. Здесь, а - дисперсия i-го коэффициента регрессии
(16.10)
Где XIj - j-е значение i-го фактора. Этот критерий является односторонним.
Статистическая незначимость интерпретируется как отсутствие влияния данного фактора на отклик в исследованном интервале его изменения.
Если эксперимент активный и его план соответствует т. н. условию ортогональности, то незначимые коэффициенты регрессии просто удаляются из модели без пересчета остающихся. Если это условие не выполняется, что обычно и бывает в пассивных экспериментах, то отсеивание не значимых факторов следует начинать с того, у которого величина T - критерия минимальна. Этот фактор удаляется из матрицы экспериментальных данных и регрессионный анализ проводится повторно. В полученной регрессионной модели снова находят фактор с минимальным t-критерием и повторяют вышеописанную процедуру до тех пор, пока в модели не останутся только значимые факторы.
Причины не значимости того или иного коэффициента регрессии могут быть принципиально различными. Данный фактор может действительно не влиять на отклик. Но незначимость может быть следствием и того, что его влияние не проявилось на фоне сильных помех. Поэтому процедуру отсеивания не автоматизируют, оставляя возможность анализа аргументов в пользу сохранения некоторых незначимых факторов в модели.
Проверка адекватности модели производится для того, чтобы выяснить, правильно ли выбран вид функции регрессии. При этом используется принцип сопоставления с "шумом". Проверке подвергается обычно модель со всеми значимыми АI. Она возможна, если:
- 1. С помощью дублирования опытов получена оценка дисперсии эксперимента. 2 Выполнено условие N > D+1, где D - число коэффициентов регрессии в модели. Если N ? D+1, то проверять адекватность нет смысла, поскольку поверхность откликов, соответствующая регрессии, будет проходить точно через все экспериментальные точки.
Идея проверки адекватности состоит в том, что сопоставляются дисперсия неадекватности и оценка дисперсии эксперимента. При равномерном дублировании опытов
, (16.11)
Где - расчетное по уравнению регрессии значение отклика в і-том опыте.
При неравномерном дублировании
, (16.12)
Где - среднее экспериментальное значение отклика в і-том опыте.
Если модель не адекватна, то будет оценивать и некоторую дополнительную компоненту рассеивания, обусловленную погрешностью аппроксимации
Т. о. если не случайным образом больше, то модель неадекватна. Следовательно, нужно проверить гипотезу
Для проверки используется критерий Фишера
, (16.13)
Где Н1- число степеней свободы дисперсии не адекватности
Н1 = MN - (D+1);
Н2- число степеней свободы дисперсии эксперимента
Н2 = N(M-1).
Этот критерий является односторонним.
Проверка работоспособности модели Необходима вследствие того, что даже адекватная модель со всеми значимыми коэффициентами регрессии может оказаться практически бесполезной из-за своей низкой точности. Производится по Коэффициенту детерминации
(16.14)
Где - значение отклика в i-том опыте по регрессионной модели;
- среднее значение отклика в эксперименте.
По определению может изменяться от 0 до 1. Если =0, то тогда изменение отклика полностью обусловлено случайными причинами, а влияния факторов эксперимента нет. Если = 1, то нет влияния случайных причин и линия регрессии проходит точно через все экспериментальные точки. Чем ближе к 1, тем модель лучше. Критическое значение определяется из того условия, что ошибка предсказания отклика по уравнению регрессии должна быть в 2 раза меньше, чем по. Отсюда следует условие работоспособности: .
Далее следует Расчет коэффициента корреляции модели (см. п. 13.1).В случае МРА рассчитывается множественный коэффициент корреляции R (см. п. 13.2). Если R ? 0,9, то это значит, что модель полна и учитывает все существенно влияющие на отклик факторы. Если R< 0,87- Модель не полна и следует эксперимент повторить, введя в него ранее не учтенные факторы.
Определение точности регрессионной модели Производится так же, как и точности эксперимента, но вместо дисперсии эксперимента используется дисперсия неадекватости.
Абсолютная погрешность определения отклика по регрессионной модели:
Где - значение критерия Стьюдента при уровне значимости Б и числе степеней свободы при равномерном дублировании.
Следует учитывать, что этот критерий двухсторонний и поэтому Б = 0,5q, где Q = 1-Р.
Относительная погрешность определения отклика по регрессионной модели равна
,
Где = среднее значение отклика по регрессионной модели.
Интерпретация результатов эксперимента
Интерпретация (истолкование) результатов эксперимента необходима для понимания механизма исследуемого явления, создания его теории или включения в существующую теорию, что позволит получать новую информацию, выходящую за рамки проведенного исследования. Осуществляется посредством эрудиции исследователя эвристическими методами и является процессом не формализуемым. Однако для облегчения интерпретации рекомендуется представлять полученные в результате эксперимента данные в наглядной форме - в виде графиков.
Для однофакторных экспериментов это не представляет трудностей. Однако и при наличии более, чем одного фактора, также возможна графическая интерпретация. Например, зависимость отклика У от двух факторов Х1 и Х2 Можно представить в виде (рис.16.1):
Рисунок 16.1 Графическая интерпретация эксперимента
Т. о. на плоскости видно одновременно влияние обоих факторов. Можно также представить такое влияние и в пространстве, построив т. н. поверхность отклика (рис. 16.2):
Рисунок 16.2 Поверхность отклика
Похожие статьи
-
Основные предпосылки регрессионного анализа - Основы научных исследований
Методика РА создана с использованием некоторых предпосылок. Если они не выполняются, то корректное выполнение всех процедур РА приведет к неверным...
-
Статистическая обработка результатов эксперимента - Основы научных исследований
Включает в себя определение дисперсии эксперимента, проверку постоянства дисперсии воспроизводимости и определение абсолютных и относительных...
-
Задание 4 Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости У=а 0 +а 1 *х 1 +а 2 *х 2 +а 12 *х 1 *х 2 ,и проверить регрессионную зависимость на...
-
Виды физических экспериментов - Основы научных исследований
Все физические эксперименты подразделяются на активные и пассивные, натурные и модельные (рис.4.1). Таким образом всего имеется четыре вида...
-
Постановка задачи регрессионного анализа - Основы научных исследований
Основное назначение Регрессионного анализа (РА) - получение по экспериментальным данным зависимостей, аппроксимирующих эти данные в виде алгебраических...
-
Проверка статистических гипотез - Основы научных исследований
Для проверки статистических гипотез используются статистики, называемые статистическими критериями или иначе - критериями значимости. В частности, для...
-
Нелинейный регрессионный анализ, Множественный регрессионный анализ - Основы научных исследований
Линейные по параметрам регрессионные модели можно использовать для аппроксимации нелинейных зависимостей путем их линеаризации с помощью базисных...
-
Последовательность организации эксперимента - Основы научных исследований
Для всех видов физических экспериментов последовательность их организации стандартизована и состоит из следующих этапов: 1. Аналитический (литературный)...
-
Корреляция и регрессия Вспомним, что зависимости называются вероятностными или стохастическими, если каждому набору факторов Х I соответствует множество...
-
Экономический корреляционный регрессионный Парная линейная регрессия Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и...
-
Множественный коэффициент корреляции - Основы научных исследований
Задача определения интенсивности или, как ее еще называют, тесноты связи между более чем двумя переменными относится к множественному корреляционному...
-
Объект исследования и его модель - Основы научных исследований
Объект исследования - это первичное, не сводимое к более простым, понятие. Поэтому дать его общее определение невозможно. Однако можно указать примеры...
-
Статистический характер экспериментальных исследований Любое экспериментальное исследование, в конечном итоге, сводится к изучению причинно-следственных...
-
Составляется матрица численных значений базисных функций, соответствующая расширенной матрице спектра плана Вычисляется информационная матрица...
-
Регрессионный анализ данных - Статистическое исследование инвестиционной деятельности в регионе
Если расчет корреляции характеризует силу связи между переменными, то регрессионный анализ служит для определения вида этой связи и дает возможность для...
-
Проверка нормальности распределения - Основы научных исследований
Асимметрия и эксцесс позволяют произвести приближенную проверку нормальности распределения. Очевидно, что симметричное и не имеющее эксцесса унимодальное...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Полный факторный эксперимент - Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа
В факторных экспериментах, в отличие от классических, происходит одновременное варьирование всеми независимыми переменными. Эксперимент, в результате...
-
Помимо технических характеристик здания, анализируемых выше, объекты офисной недвижимости характеризуются факторами удобства для арендаторов. К таким...
-
Требования к современному эксперименту - Основы научных исследований
В данном курсе под физическим экспериментом будем понимать любое взаимодействие с внешними объектами, направленное на получение новой информации. Поэтому...
-
Применение статистических методов анализа для адекватной интерпретации результатов контроля остаточных знаний соискателей высшего образования на примере...
-
ФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ ПРИ НОРМИРОВАННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ - Многомерный статистический анализ
С математической точки зрения факторный анализ аналогичен множественному регрессионному анализу в том смысле, что каждая переменная выражена как линейная...
-
ВРАЩЕНИЕ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФАКТОРОВ - Многомерный статистический анализ
Вращение факторов. Матрицу факторных нагрузок называют также матрицей факторного отображения. Она содержит коэффициенты, используемые для выражения...
-
Явления общественной жизни складываются под воздействием целого ряда факторов, то есть являются многофакторными. Между факторами существуют сложные...
-
Распределение Фишера, Статистические гипотезы - Основы научных исследований
Служит для сравнения дисперсий разных статистических совокупностей разных случайных величин Х 1 и Х 2 . Ему подчиняется статистика (10.5) Где S2(x 1 ) >...
-
После получения матриц спектра плана, проведем 70 опытов в каждой точке. По полученным параметрам построим регрессионную модель второго порядка,...
-
Гомоскедастичностью называется выполняемость предпосылки о постоянстве дисперсии отклонений. Гетероскедастичностью называется невыполняемость этой самой...
-
Задача регрессии. Метод наименьших квадратов Ищу функцию регрессии в виде (1*). Оценки коэффициентов нахожу с помощью Метода Наименьших Квадратов (МКВ),...
-
Численный сравнительный анализ - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Итак, в рамках данной работы рассматриваются такие распределения случайных величин, как распределения Гаусса и Лапласа, треугольное распределение...
-
Сила влияния переменной Х на Y измеряется с помощью SSX. Поскольку SSX связано с вариацией средних значений групп Х, то относительное значение SSX растет...
-
Принятие решений на основе уравнений регрессии - Основы эконометрики
Интерпретация Моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается...
-
В состав системы эконометрических уравнений входят множество зависимых или эндогенных переменных и множество предопределенных переменных (лаговые и...
-
Анализ временных рядов - Статистическое исследование инвестиционной деятельности в регионе
Временной ряд - Это последовательность чисел; его элементы - это значения некоторого протекающего во времени процесса. Проведем анализ временных рядов....
-
Выборочные распределения, Распределение Стьюдента - Основы научных исследований
Выборочное распределение - это распределение какой-либо статистики, полученное в результате отбора различных случайных выборок из одной и той же...
-
В предыдущем разделе обсуждается важность учета пространственных взаимодействий при изучении влияния факторов арендной ставки на рынке недвижимости, как...
-
Тадии парного регрессионного анализа можно представить на следующем рисунке ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ Это графическое изображение точек с координатами, которые...
-
Элементы корреляционного анализа Зависимость между случайными величинами (СВ) X и Y в теории вероятностей и математической статистике описывается, в...
-
Сущность и основные условия применения корреляционного анализа В соответствии с сущностью корреляционной связи ее изучение имеет две цели: 1) измерение...
-
Ранговый метод - Ранговый метод оценивания параметров регрессионной модели
Метод наименьших квадратов широко применяется для оценки параметров линейной регрессии, поскольку достаточно прост в вычислении и при предположении о...
-
ПОНЯТИЕ ОБ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ Парные регрессионные модели отражают специфику взаимодействия некоторого функционального...
Статистический анализ регрессионной модели, Интерпретация результатов эксперимента - Основы научных исследований