Оптимизация систем, Оптимизация, этапы оптимизации - Математическое моделирование в научных исследованиях
Оптимизация, этапы оптимизации
Оптимизация представляет собой математическую задачу максимизации или минимизации некоторой функции нескольких переменных при наличии ограничений.
Процессу оптимизации соответствуют этапы:
- 1. Определение цели, возможностей системы, независимых переменных,, ограничений и внешних воздействий. 2. Анализ и упрощение: исключение второстепенных переменных и несущественных процессов, представление процесса в виде ступеней. 3. Моделирование или математическая запись целевой функции и уравнений преобразования. Решение. 4. Проверка: соответствие теоретических уравнений реальной системе (адекватность). 5. Оптимизация: определение экстремума функций.
Прямой метод вычислений. Если известна функциональная связь между целевой функцией и управляющей переменной, то можно непосредственно вычислить значение целевой функции для некоторого фиксированного значения управляющей переменной.
Эффективен при наличии одной управляющей переменной или нескольких в небольшом диапазоне изменения.
Классический метод дифференциального исчисления. Целевая функция f(х1, х2,..., хп) обладает непрерывными частными производными по своим аргументам, тогда положив частные производные от f по х равными нулю и решая совместно n уравнений
(?f/?xi) = 0 , i =1, 2,..., n,
Найдем значения x, дающие стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных.
Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум целевой функции
F(х1, х2,..., хп) при ограничениях
Gj (x1, x2, ..., xn) = 0, j = 1, 2, ..., m, m < n
Вводятся m неопределенных коэффициентов (множителей) лj и выстраивается вспомогательная функция
F = f + л1g1 + л2g2 +
После чего решается система n + m уравнений
?F/?x = 0 , gj = 0
Найденная совокупность значений х определяет стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных
Вариационное исчисление. Требуется найти функцию у = у(х), доставляющую экстремум интегральному функционалу
Р = ? F[x, y(x), dy/dx]dx,
При граничных условиях y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; функция y(x) определяется из решения уравнения Эйлера
?F/?y - d(?F/?y,)/dx = 0 , y, = dy/dx.
Пример. Минимальному значению работы
W = ? N dt = ? Svdt,
(здесь N - мощность, S - сила, скорость движения v = dx/dt, x - прямолинейная координата) соответствует решение уравнения Эйлера
DS/dt = 0 , S = 0 , const ;
Это означает, что движение должно быть равномерным или с постоянным ускорением.
Линейное программирование (ЛП) является одним из востребованных методов решения оптимизационных задач, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности: распределение ресурсов между работами машин, оборудования, бригадами, предприятиями, оптимизация технологических операций, экономических задач и др. В задачах, решаемых этим методом, целевая функция и область ограничения задаются линейными функциями.
В стандартной форме задачи ЛП формулируются в виде:
- найти экстремум целевой функции ( min или max)
F = с1х1 + с2х2 + ...+ спхп > min (max) ,
- при заданной системе ограничений
А11х1 + а12х2 +...+ а1п xn = С1 ,
А21х1 + а22х2 +...+а2п xn = С2 ,
Ак1х1 + ак2х2 + ...+ акпхп = Ск.
Х ? 0 , с ? 0.
Это задача поиска экстремума линейного функционала на линейных ограничениях.
Геометрическое представление этих задач: область ограничения С представляет собой выпуклый многоугольник, образованный пересечением плоскостей ограничений, построенных в n-мерной прямоугольной системе координат, n-мерной плоскостью так же является целевая функция F.
Здесь целевая функция достигает минимум (максимум) как касание n-плоскостью границы области ограничений, и методы дифференциального исчисления для его определения становятся не пригодными.
Похожие статьи
-
Математическое моделирование - Основы научных исследований
Выше уже указывалось, что Математическое моделирование - это получение решений уравнений, составляющих математическую модель объекта, при изменении...
-
Целью дисциплины является освоение теории, методов и технологии компьютерного моделирования при исследовании, проектировании и применении компьютерных...
-
Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Огромный толчок развитию...
-
При управлении подвижными объектами (такими, например, как мобильные роботы, подводные аппараты и т. п.) часто имеет место неопределенность цели, когда...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Изучение дисциплины "Математическое моделирование и оптимизация объектов технологии лесозаготовок" запланировано на завершающем курсе, с тем, чтобы...
-
Введение - Основные методы и принципы моделирования в исследовании систем управления
В данной работе я попытаюсь раскрыть основные методы и принципы моделирования в разрезе исследования систем управления. Моделирование (в широком смысле)...
-
Система "Диспетчер" апробирована на реальных исходных данных двух регионов Нефтяной Компании "Юкос" (Липецкая и Воронежская области) и показала свою...
-
Аналитические и имитационные модели. Этапы компьютерного моделирования Управляемый процесс можно рассматривать как абстрактное понятие, с помощью...
-
Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы: 1. модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его...
-
Общая постановка задачи исследования операций - Экономико-математические методы
Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы: Постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не...
-
Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или...
-
Решение задачи графическим методом - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Необходимо найти максимальное значение целевой функции L(x)= 2x1+2x2 > max, при системе ограничений: 6x1+8x2?48, (1) 8x1+11x2?88, (2)...
-
В экономической сфере деятельности в современных условиях большое значение имеет принятие решений. Для принятия экономических решений в нынешних условиях...
-
Экономико-математические методы применяются в исследованиях, в ходе которых изучаются объекты-заменители. В последнее время термин "моделирование"...
-
Исследования в области моделирования - Математическое моделирование в лесной промышленности
С момента осознания человеком себя как homo sapiens - человек разумный - вся его деятельность предварялась выбором, ибо во всем многообразии мира...
-
С развитием системных исследований, с расширением экспериментальных методов изучения реальных явлений все большее значение приобретают абстрактные...
-
Задача маршрутизации реализуется набором алгоритмов, каждый из которых осуществляет решение задачи коммивояжера. Коммивояжер (распространитель товаров)...
-
Задачи оптимизации, поставленные по любому объекту лесозаготовок, в качестве конечной цели предполагают получение наиболее предпочтительного,...
-
1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта. 2. Адекватность - способность отражать нужные...
-
Наглядное - на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в...
-
Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) (*) Для ЗНП в отличие от Задачи Линейного Программирования (ЗЛП) нет единого метода...
-
Элементы математических методов и моделей
Введение Основной целью данного курса является ознакомление студентов с основными математическими моделями и методами, используемых в процессах принятия...
-
В качестве примера модели, в основе которой лежит уравнение матфизики, рассмотрим модель распространения тепла в однородном стрежне. Задача...
-
Метод Гомори последовательных отсечений - Математическое моделирование экономических процессов
При решении многих задач (планирование мелкосерийного производства, распределение кораблей по путям сообщения, выработка суждений типа "да-нет" и т. п.)...
-
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - Виды математических моделей
Это вaжнейший метод современного нaучного исследовaния, основной aппaрaт системного aнaлизa. Мaтемaтическое моделировaние - это изучение поведения...
-
А) Распределение активной мощности графическим методом с учетом поправки на потери (), но без учета ограничений станций по мощности. В подпункте 3.4 были...
-
Применение экономико-математических методов и ЭВМ позволяет получить оптимальный план сочетания отраслей агропромышленного предприятия, обеспечивающий...
-
Метод конечных элементов - МАтематическое моделирование в экономике
- Метод конечных элементов: триангуляция - Метод конечных элементов ( МКЭ ) -- численный метод решения задач прикладной механики. - Широко используется...
-
Динамическое программирование - Математическое моделирование экономических процессов
В задачах линейного и нелинейного программирования экономический процесс считался статическим, т. е. не зависящим от времени, поэтому оптимальное решение...
-
Используется адаптивная нейро-нечеткая система вывода ANFIS, функционально эквивалентная системе нечеткого вывода Сугено. Вывод осуществляется за два...
-
Особенности построения математических моделей - Математическое моделирование
Математический алгоритм имитационный Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на...
-
Классификация методов моделирования систем - Моделирование систем
Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести ее словесное описание в формальное. В случае относительно простых задач такой переход...
-
Эксперименты физические и математические - Основы научных исследований
Эксперимент (от лат. experimentum - проба, опыт) - метод познания, при помощи которого в контролируемых условиях изучаются явления имманентного мира. В...
-
Основы математического моделирования социально-экономических процессов и систем
А 120 0,2 0,2 В 160 0,4 0,2 Решение: Обозначим через х1 и х2 количество единиц продуктов П1 и П2 которое войдет в дневной рацион. Известно, что стоимость...
-
Важным для системного подхода является определение структуры системы -- совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие....
-
Моделирование начинается с формирования предмета исследований -- системы понятий, отражающей существенные для моделирования характеристики объекта. Эта...
-
Необходимо составить математическое описание теплообменника, в котором жидкий продукт нагревается насыщенным водяным паром (расход, кг/с), до температуры...
-
Автоматизированные обучающие системы включают в себя комплекс учебно-методических материалов (демонстрационных, теоретических, практических,...
Оптимизация систем, Оптимизация, этапы оптимизации - Математическое моделирование в научных исследованиях