Оптимизация систем, Оптимизация, этапы оптимизации - Математическое моделирование в научных исследованиях

Оптимизация, этапы оптимизации

Оптимизация представляет собой математическую задачу максимизации или минимизации некоторой функции нескольких переменных при наличии ограничений.

Процессу оптимизации соответствуют этапы:

    1. Определение цели, возможностей системы, независимых переменных,, ограничений и внешних воздействий. 2. Анализ и упрощение: исключение второстепенных переменных и несущественных процессов, представление процесса в виде ступеней. 3. Моделирование или математическая запись целевой функции и уравнений преобразования. Решение. 4. Проверка: соответствие теоретических уравнений реальной системе (адекватность). 5. Оптимизация: определение экстремума функций.

Прямой метод вычислений. Если известна функциональная связь между целевой функцией и управляющей переменной, то можно непосредственно вычислить значение целевой функции для некоторого фиксированного значения управляющей переменной.

Эффективен при наличии одной управляющей переменной или нескольких в небольшом диапазоне изменения.

Классический метод дифференциального исчисления. Целевая функция f(х1, х2,..., хп) обладает непрерывными частными производными по своим аргументам, тогда положив частные производные от f по х равными нулю и решая совместно n уравнений

(?f/?xi) = 0 , i =1, 2,..., n,

Найдем значения x, дающие стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных.

Метод множителей Лагранжа. Найти экстремум целевой функции

F(х1, х2,..., хп) при ограничениях

Gj (x1, x2, ..., xn) = 0, j = 1, 2, ..., m, m < n

Вводятся m неопределенных коэффициентов (множителей) лj и выстраивается вспомогательная функция

F = f + л1g1 + л2g2 +

После чего решается система n + m уравнений

?F/?x = 0 , gj = 0

Найденная совокупность значений х определяет стационарное значение целевой функции. Экстремум определяется по исследованию старших производных

Вариационное исчисление. Требуется найти функцию у = у(х), доставляющую экстремум интегральному функционалу

Р = ? F[x, y(x), dy/dx]dx,

При граничных условиях y(x1) = y1 , y(x2) = y2 ; функция y(x) определяется из решения уравнения Эйлера

?F/?y - d(?F/?y,)/dx = 0 , y, = dy/dx.

Пример. Минимальному значению работы

W = ? N dt = ? Svdt,

(здесь N - мощность, S - сила, скорость движения v = dx/dt, x - прямолинейная координата) соответствует решение уравнения Эйлера

DS/dt = 0 , S = 0 , const ;

Это означает, что движение должно быть равномерным или с постоянным ускорением.

Линейное программирование (ЛП) является одним из востребованных методов решения оптимизационных задач, как в научных исследованиях, так и в практической деятельности: распределение ресурсов между работами машин, оборудования, бригадами, предприятиями, оптимизация технологических операций, экономических задач и др. В задачах, решаемых этим методом, целевая функция и область ограничения задаются линейными функциями.

В стандартной форме задачи ЛП формулируются в виде:

- найти экстремум целевой функции ( min или max)

F = с1х1 + с2х2 + ...+ спхп > min (max) ,

- при заданной системе ограничений

А11х1 + а12х2 +...+ а1п xn = С1 ,

А21х1 + а22х2 +...+а2п xn = С2 ,

Ак1х1 + ак2х2 + ...+ акпхп = Ск.

Х ? 0 , с ? 0.

Это задача поиска экстремума линейного функционала на линейных ограничениях.

Геометрическое представление этих задач: область ограничения С представляет собой выпуклый многоугольник, образованный пересечением плоскостей ограничений, построенных в n-мерной прямоугольной системе координат, n-мерной плоскостью так же является целевая функция F.

Здесь целевая функция достигает минимум (максимум) как касание n-плоскостью границы области ограничений, и методы дифференциального исчисления для его определения становятся не пригодными.

Похожие статьи




Оптимизация систем, Оптимизация, этапы оптимизации - Математическое моделирование в научных исследованиях

Предыдущая | Следующая