Математическое моделирование - Основы научных исследований
Выше уже указывалось, что Математическое моделирование - это получение решений уравнений, составляющих математическую модель объекта, при изменении начальных и граничных условий этих уравнений. Решениями систем дифференциальных уравнений являются функции, подстановкой в которые значений аргументов можно находить величину параметров, характеризующих поведение объекта в пространстве и времени (вообще говоря - в фазовом пространстве). Если модель состоит из алгебраических уравнений, то их решение дает непосредственно значения параметров данного объекта.
Математическое моделирование большинства технических объектов осуществляют на микро-, макро - и мегауровнях, которые отличаются степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.
Математическая модель технического объекта на Микроуровне - это система дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), которая описывает процессы в сплошной среде вместе с заданными краевыми условиями (совокупностью начальных и граничных условий). Система уравнений, как правило, известна, но краевые условия полностью обычно не заданы. Более того, определение краевых условий иногда является конечной целью исследования.
Примером математической модели на микроуровне является система уравнений процесса пластического деформирования при плоской деформации:
Это типичная нелинейная система ДУЧП. Поскольку ДУЧП в большинстве случаев не поддаются аналитическому решению, то при моделировании используются различные Численные методы Решения. В технических науках это обычно метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ).
В МКР дифференциальные операторы заменяются их разностными аналогами. Например, в методе линий скольжения система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):
для семейства А
для семейства B
Заменяется конечными разностями:
Область исследования разбивается на конечное число узлов при помощи сетки (рис.3.1а). В узлах сетки находятся приближенные значения искомой функции путем решения системы алгебраических уравнений, к которым сводятся конечные разности. Несмотря на свою кажущуюся простоту, МКР не нашел широкого применения в ОМД из-за следующих своих недостатков:
- 1. Дискретизация области производится регулярной сеткой, что затрудняет точное описание границ нелинейной формы (рис.3.1а). При измельчении сетки возникает проблема сходимости - приближенное решение перестает сходиться к точному решению дифференциальной задачи. 2. Сложность построения сходящейся разностной схемы из-за проблем с точностью и устойчивостью решения.
Этих недостатков лишен МКЭ, вследствие чего он в настоящее время считается самым эффективным методом решения задач ОМД. В отличие от МКР здесь аппроксимируются не производные, а само решение. Искомая функция заменяется кусочно-непрерывной (сплайном), определенной на множестве конечных элементов достаточно произвольной формы, что позволяет хорошо описывать граничные условия сложной геометрии (рис.3.б). Значения функции в узлах находятся или минимизацией функционала, описывающего данную задачу, или же методом Галеркина при использовании исходного дифференциального уравнения. При этом не накладывается никаких ограничений на вид уравнения, что позволяет применять МКЭ для решения нелинейных задач, в частности, теории пластичности.
По точности получаемых результатов МКР и МКЭ теоретически примерно равноценны.
- А) Б) В)
Рисунок 3.1 Способы дискретизации области исследования
Сущность МГЭ - в переходе от исходных ДУЧП к эквивалентным интегральным уравнениям. Если такой переход возможен, то тогда решение получается с минимальными вычислительными затратами и с более высокой точностью, чем МКЭ. Важно, что в МГЭ размерность задачи уменьшается на единицу: плоские задачи становятся одномерными, а объемные - плоскими. Граничными элементами аппроксимируется не область, а ее граница (рис.3.1.в), откуда и название метода. Недостаток МГЭ - ограниченность области его применимости классом линейных или линейных относительно приращений задач. Поэтому он особенно широко применяется в линейной теории упругости.
Математической моделью технического объекта на Макроуровне Является система ОДУ с заданными начальными условиями или система алгебраических уравнений, являющихся решениями ОДУ. Примером может служить система уравнений, описывающих технологический процесс ОМД, которая включает уравнения скоростного и температурного режима деформирования, уравнения энергосиловых параметров процесса и режим деформирования как источник исходных данных.
На Мегауровне Моделируются в основном две категории технических объектов: системы автоматического управления сложными объектами (например, цехом) и системы массового обслуживания.
Похожие статьи
-
Метод конечных элементов - МАтематическое моделирование в экономике
- Метод конечных элементов: триангуляция - Метод конечных элементов ( МКЭ ) -- численный метод решения задач прикладной механики. - Широко используется...
-
Эксперименты физические и математические - Основы научных исследований
Эксперимент (от лат. experimentum - проба, опыт) - метод познания, при помощи которого в контролируемых условиях изучаются явления имманентного мира. В...
-
При управлении подвижными объектами (такими, например, как мобильные роботы, подводные аппараты и т. п.) часто имеет место неопределенность цели, когда...
-
Экономико-математические методы применяются в исследованиях, в ходе которых изучаются объекты-заменители. В последнее время термин "моделирование"...
-
Экономико-математические методы представляют собой совокупность математических методов (математического программирования, теории вероятностей, теории...
-
Объект исследования и его модель - Основы научных исследований
Объект исследования - это первичное, не сводимое к более простым, понятие. Поэтому дать его общее определение невозможно. Однако можно указать примеры...
-
Введение - Моделирование математической модели теплообменника
Математический динамический модель канал Качественные и количественные изменения в промышленности, науке и технике составляют основу для значительного...
-
Теоретическое обоснование математического моделирования - Математические методы и модели в экономике
Коммерческая деятельность в том или ином виде сводится к решению таких задач: как распорядиться имеющимися ресурсами для достижения наибольшей выгоды или...
-
Физическое моделирование - Основы научных исследований
Физическими моделированием называется изучение свойств явлений или процессов на физических моделях, заменяющих собою объект, который в таком случае...
-
ПРИНЦИПЫ И ПОНЯТИЯ СИСТЕМНО-ФИЗИЧЕСКОГО ПОДХОДА Систематика. Системный анализ и системные исследования Моделирование социально-политических и...
-
Методы исследования математических моделей - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса: -аналитические (априорные); -имитационные (априорно-апостериорные) модели;...
-
Основные понятия - О новой парадигме математических методов исследования
Целесообразно начать с определений используемых понятий. Термин "парадигма" происходит от греческого "paradeigma" -- пример, образец и означает...
-
Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения сложных систем. Компьютерные модели проще и удобнее исследовать в силу их...
-
Уравнение динамики теплообменника: Передаточные функции объекта получим по его уравнению динамики. Для этого запишем уравнение по заданному каналу. Затем...
-
Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "по-винна" математика, развивающаяся...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
1. Универсальность - характеризует полноту отображения моделью изучаемых свойств реального объекта. 2. Адекватность - способность отражать нужные...
-
Эконометрические методы могут быть применены в моделировании, имитации и прогнозировании рыночных процессов. Достаточно широко в маркетинге используются...
-
Изложение в этой статье посвящено в основном научной области "Математические и инструментальные методы экономики", включающей...
-
Статистический характер экспериментальных исследований Любое экспериментальное исследование, в конечном итоге, сводится к изучению причинно-следственных...
-
Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством Универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же...
-
В 1974г. группа аргентинских ученых во главе с профессором А. Эррерой получила предварительные результаты работы над латиноамериканской моделью...
-
Виды физических экспериментов - Основы научных исследований
Все физические эксперименты подразделяются на активные и пассивные, натурные и модельные (рис.4.1). Таким образом всего имеется четыре вида...
-
Введение, Что такое наука - Основы научных исследований
Что такое наука Развитие металлургии вообще и обработки металлов давлением в частности требует создания новых технологий и оборудования, которое...
-
Можно выделить, по крайней мере, четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем. 1. Совершенствование системы...
-
Как известно, человечество в своем стремительном развитии старается все более расширить сферы своей деятельности, сталкиваясь при этом с множеством новых...
-
Математическое ожидание - Основы научных исследований
Интегральная и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими статистическими характеристиками любой случайной величины. Однако многие...
-
Метод максимального правдоподобия - Основы научных исследований
Разработан Р. Фишером. Пусть Х 1 ,х 2 ...х N - выборка из генеральной совокупности случайной величины Х с функцией плотности вероятности Р(х, и),...
-
Математическое моделирование экономических явлений и процессов с целью оптимизации процессов управления - область научно-практической деятельности,...
-
Маркетинговое исследование представляет собой системный сбор, обработку и анализ всех аспектов процесса маркетинга: продукта, его рынка, каналов...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Случайные события и случайные величины - Основы научных исследований
Вероятностные закономерности проявляются только в массовых явлениях, т. е. когда один и тот же объект изменяет свое состояние многократно или когда...
-
Моделирование как метод научного познания. - Моделирование перспективного развития экономики
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое...
-
Нелинейный регрессионный анализ, Множественный регрессионный анализ - Основы научных исследований
Линейные по параметрам регрессионные модели можно использовать для аппроксимации нелинейных зависимостей путем их линеаризации с помощью базисных...
-
Метод наименьших квадратов - Основы научных исследований
Пусть проведен однофакторный эксперимент, в котором исследована зависимость У от Х . Установлено, что основные предпосылки регрессионного анализа...
-
Календарный производственный программирование однооперационный Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения...
-
Проверка статистических гипотез - Основы научных исследований
Для проверки статистических гипотез используются статистики, называемые статистическими критериями или иначе - критериями значимости. В частности, для...
-
В состав системы эконометрических уравнений входят множество зависимых или эндогенных переменных и множество предопределенных переменных (лаговые и...
-
Основной задачей процессуального моделирования является формирование модельного представления о динамическом образе ситуации как о системном процессе....
-
Основные задачи статистики - Основы научных исследований
Назначение статистических методов состоит в том, чтобы по выборкам ограниченного объема делать обоснованные выводы о свойствах генеральных совокупностей,...
Математическое моделирование - Основы научных исследований