Выбор математической формы функции при моделировании зависимости выпуска продукции от производственных факторов

Постановка проблемы. Одним из важнейших условий успешного использования производственных функций (ПФ) в экономических исследованиях является правильный выбор математической формы модели, адекватной наблюдаемой эмпирической информации. При этом следует учитывать, какие предпосылки и ограничения связаны с использованием той или иной функциональной формы для моделирования производственной деятельности субъектов хозяйствования, например, предприятий. Опыт показывает, что наиболее популярными среди экономистов являются неоклассические двухфакторные ПФ [1-4]:

1. Кобба-Дугласа

Y = A0Kl0 (1)

2. Функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов (CES-функция - от англ. аббревиатуры Constant Elasticity of Substitution)

_ r_

Где Y - выпуск продукции в стоимостном выражении;

К - величина капитала, направленного в основные производственные фонды;

L - денежные затраты на оплату труда;

Ао, А - коэффициенты шкалы (0 < А0, А);

8, 0 - параметры ПФ Кобба-Дугласа (0 < 5 < 1; 0 < 0 < 1);

А - коэффициент веса производственного фактора CES-функции (0 < А < 1);

В - параметр CES-функции (-1 < в);

Y - показатель степени однородности CES-функции (0 < у).

ПФ (1) и (2) аналогичны в том, что касается предположения о постоянном убывании предельной отдачи производственных ресурсов K и L. Это так называемые неоклассические условия, вытекающие из теории поведения потребителя, поскольку в отношении ресурсов предприятие является потребителем и ПФ характеризует именно этот аспект - производство как потребление. Можно показать, что ПФ Кобба-Дугласа и CES-функция тесно связаны между собой, а общее поведение эффективности при изменении масштабов производства, характерное для этих двух функций, всегда совпадает.

Однако, между этими ПФ есть и существенные различия. Так, эластичность замещения ресурсов О, которая является мерой возможности замены труда капиталом и, наоборот, для функции Кобба-Дугласа всегда равна единице. Данное ограничение считается очень жестким, часто не отвечающим реальной экономической действительности.

В этом плане C^S-функция имеет явное преимущество по сравнению с функцией Кобба-Дугласа: величина О для нее может принимать любые значения. Для ПФ (2) эластичность замещения ресурсов равна О = 1/(1 + в), хотя, так же, как и в функции Кобба - Дугласа, О является постоянной величиной, что следует из самого ее названия. При В ^ 0 О ^ 1 и происходит переход от ПФ (2) к ПФ (1). Следовательно, можно говорить, что СДО-функция обобщает ПФ Кобба-Дугласа.

Кроме того, есть еще один веский аргумент в пользу выбора в качестве инструмента экономического анализа именно ПФ (2). Легко показать, что характер зависимости производительности труда (Y/L) От фондовооруженности (K/L) в рамках данных ПФ довольно разный. Для функции Кобба-Дугласа при K/L ^ да для любых допустимых значениях параметров А0, 5, 0 производительность труда также стремится в бесконечность. А СДО-функция при произвольных значениях параметров А, А, в, у и K/L ^ да имеет верхний предел (Y/L)o (рис. 1).

Производственный дуглас экономический фондовооруженность

Рис. 1. Графики зависимости производительности труда от фондовооруженности в рамках ПФ Кобба-Дугласа (I) и CEW-функции (II)

Считается, что ограниченность производительности труда в зависимости от фондовооруженности в рамках ПФ (2) является одним из преимуществ ее применения в экономических исследованиях по сравнению с ПФ (1). Хотя для отечественной промышленности экономическая ситуация, когда K/L ^ да, является скорее абстрактно-гипотетической, чем реальной.

Казалось бы, что по всем статьям преимущество на стороне СДО-функции и ее следует применять в экономических исследованиях производственной деятельности. Однако есть одно но - это проблема, связанная с вычислением неизвестных параметров CES-функции. Дело в том, что формула (2), в отличие от ПФ Кобба-Дугласа, даже после логарифмического преобразования остается нелинейной. Поэтому непосредственное оценивание неизвестных параметров А, а, в, у обуславливает применение нелинейных методов и, в частности, нелинейного программирования, а также других математических приемов. Указанное обстоятельство требует наличия соответствующего программного обеспечения, что, как правило, вызывает дополнительные трудности при использовании CES - Функции на практике.

В связи с этим возникает вопрос: существуют ли объективные критерии, позволяющие принимать обоснованный выбор между ПФ (1) и (2), или же следует отдать предпочтение более простой, доступной и легко экономически интерпретируемой функции Кобба - Дугласа?

Анализ последних исследований и публикаций. М. В. Казакова в ходе анализа свойств ПФ Кобба-Дугласа показала, что доля вознаграждения фактора в общем объеме номинального выпуска продукции постоянна и равна факторной эластичности 5, 0. Данный результат нередко применяют для оценки этих неизвестных параметров. Также его можно использовать для первичного анализа данных: если доля вознаграждения фактора в общем объеме выпуска примерно постоянна, соответствующий производственный процесс можно описать с помощью ПФ Кобба-Дугласа [4].

На наш взгляд, данный критерий носит скорее эмпирический, субъективный характер и вряд ли может застраховать исследователя от ошибок при выборе между ПФ (1) и (2).

Р. Винн, К. Холден при решении данной проблемы рекомендуют либо проверять условия максимизации прибыли при выполнении гипотезы совершенной конкуренции и убывающей эффективности на рынке изучаемой продукции, либо пытаться аппроксимировать CES-функцию. Они выводят числовые значения параметров ПФ (1) и (2), позволяющие сделать правильный выбор между ними [5, с. 82-83].

Мы считаем, что выдвигаемые предпосылки в реальной действительности чаще всего не выполняются, поскольку совершенная конкуренция является скорее эталоном рыночной экономики, довольно далеким от современного состояния отношений товаропроизводителей в сфере отечественного материального производства.

По нашему мнению, более конструктивным представляется подход к аппроксимации СДО-функции, предложенный Дж. Кментой. Он основан на ее логарифмировании и разложении в ряд Тейлора с последующим применением к полученной приближенной модели корреляционно-регрессионного анализа [6].

M. Кубинива и др. используя подход Кменты в качестве метода нахождения первоначальной оценки параметров СДО-функции, разработали процедуру отыскания решения поставленной задачи с заданной точностью на базе применения итеративного алгоритма минимизации целевой функции остатков модели по методу Марквардта, который нашел свое воплощение в программе MACRO6, написанной на языке Бейсик [7]. Авторы данной статьи адаптировали указанное программное обеспечение с помощью соответствующего макроса редактора Excel.

Нерешенные ранее части общей проблемы. Расценивая позитивно методы Кменты, Кубинивы и др., мы считаем, что при выборе между ПФ (1) и (2) совершенно не учтен вероятностностатистический аспект рассматриваемой задачи. В частности, возможен вариант предварительного определения пригодности именно ПФ Кобба-Дугласа для целей моделирования исследуемых производственных процессов с обоснованным отказом от соответствующего программного обеспечения, которое обязательно необходимо при использовании СДО-функции.

Цели статьи заключаются в обсуждении вероятностностатистического аспекта выбора между ПФ (1) и (2) с применением элементов теории статистических критериев - проверки статистических гипотез, мощности ^-критерия Стьюдента, необходимого объема выборки и др.

Изложение основного материала исследования. Следуя Кменте [6], поделим левую и правую часть выражения (2) на L, преобразуя его к виду:

Г-1-Р-L

Y/L=AL dKIL) +(1-а)] Р (3)

Такой переход привлекателен тем, что двухфакторная модель (2) превращается в однофакторную (парную) с автоматическим устранением коллинеарности производственных переменных К и L. Это всегда позитивно отражается на точности оценки неизвестных параметров модели, поскольку факторы К и L коррелированны вследствие того, что они оба косвенно отражают размер предприятия.

Прологарифмировав (3), получим

Ln( Y / L) = lnA + (у - 1 )lnL - (у /Р)Щ (4)

Где

F(fi) = Ln[a(K / L)- e + (1 - a)]

Функция f(e) в окрестностях точки В = 0 раскладывается в ряд Тейлора:

Щ = f(0)+ef'(0)+(e 2/2!) f"(0) + ... (5)

Определив далее значения f(0), f'(0), f"(0), можно вывести приближенное выражение для f(e):

F(e)~-e(1-^)ln(K/L)+^2/2)a(1-a)[ln(K/L)]2 (6)

Следовательно, выражение (4) представляется так:

Ln(Y/ L) ~ lnA+(y-1)lnL+y(1-a)ln(K/L) - 0,5eay(1-a)[ln(K/L)]2 (7)

Введем следующие обозначения:

Ln(Y / L) = (Y / L)';

LnA = А'; (у - 1) = В; lnL = L;

У(1 - А) = С; Ln(K / L) = (K / L)';

0,5вау(1 - а) = D.

Тогда формулу (7) запишется так:

(Y/L)' - A'+BL'+C(K/L)' - D[(K/ L)']2 (8)

В выражении (8) величины (Y / L) ', L', (K / L) ' являются известными переменными, например, для пространственной выборки - значения логарифмов производительности труда, фонда заработной платы, фондовооруженности по отдельным предприятиям, а для временной выборки - значения этих же экономических показателей для одного и того же предприятия за разные периоды времени. Параметры А', В, С, D являются неизвестными коэффициентами регрессии, которые можно оценить по обычному методу наименьших квадратов, рассматривая уравнение (8) как некоторую регрессионную модель CES-функции, описывающую корреляционную зависимость результативного признака (Y/ L) от факторов L и (K/ L).

Уравнение, аналогичное (7), можно вывести и для ПФ Кобба - Дугласа:

Ln(Y / L) = lnA0 + (0 - 1 + 5)lnL + 5ln(K / L) (9)

Обозначим

LnA0 = А0'; (0 - 1 + 5) = Е

Тогда модель (9) примет вид:

(Y / L)' = Ао ' + EL' + 5(K / L)' (10)

Сравнение выражений (8) и (10) показывает, что по сути различия между CES-функцией и ПФ Кобба-Дугласа сводятся лишь к одному дополнительному слагаемому, стоящему в правой части уравнения (8). При В = 0 D = 0 и эти функции полностью совпадают, т. е. происходит переход от ПФ (2) к ПФ (1). Следовательно, оценка коэффициента D в модели (8), а точнее, проверка его статистической надежности (значимости) с помощью ^-критерия Стьюдента может служить базой для выбора конкретной формы из двух рассматриваемых ПФ. Подробнее с процедурой проверки статистических гипотез можно ознакомиться в работах [8; 9, с. 127131] (см. блок-схему на рис. 2).

Приведенные выше рассуждения справедливы в той ситуации, когда оба уравнения регрессии (8) и (10) являются статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера, т. е. нулевая гипотеза Н0 : R2 = 0 против альтернативы НА : R2 > 0 для них отклоняется (R2 - коэффициент детерминации уравнений (8), (10)). В противном случае (нулевая гипотеза Н0 : R2 = 0 против альтернативы Н0 : R2 > 0 не отклоняется для обеих уравнений) следует вообще отказаться от моделирования или попытаться расширить информационную базу исследования за счет новых наблюдений.

Рис. 2. Блок-схема процедуры проверки статистических гипотез

Пусть оба уравнения регрессии (8) и (10) являются статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера. Тогда можно переходить к решению поставленной задачи с помощью t - критерия Стьюдента. Если коэффициент D оказывается статистически значимым (нулевая гипотеза Н0 : D = 0 против альтернативы НА : D ф 0 отклоняется), то приходим к выводу о том, что в проводимом экономическом исследовании необходимо использовать CES-функцию. Достоверность такого вывода составляет 1 - а, где а - уровень значимости, который задается исследователем и выбирается обычно среди малых значений (а = 0,05; 0,01; 0,005). Величина а характеризует вероятность ошибки 1-го рода - отклонить нулевую гипотезу Н0, когда она верна.

В противном случае, когда нулевая гипотеза Н0 : D = 0 против альтернативы Н0 : D ф 0 не отклоняется, следует отдать предпочтение ПФ Кобба-Дугласа. При этом вероятность правильности указанного вывода равняется мощности статистического критерия 1 - Ь, где Ь - вероятность ошибки 2-го рода - не отклонить нулевую гипотезу Н0, когда верна альтернатива НА.

Следует иметь в виду, что расчетное значение t-критерия Стьюдента определяется отношением

D / SD

Где SD - стандартная ошибка коэффициента регрессии D. Поскольку D = 0,5Рау(1 - а) и максимальное значение произведения 0,5а(1 - а) равно 0,125 при а = 0,5, т. е. когда производственные факторы K и L равновесны, то в условиях линейной однородности CES-функции (у = 1) выполняется неравенство D < 0,125р. Ясно, что отклонение нулевой гипотезы будет происходить только при высоких значениях коэффициента регрессии D, когда параметр р ПФ (2) достаточно велик (Р ф 0).

При неотклонении Н0 возникает вопрос: как определить мощность статистического критерия 1 - Ь, в данном случае мощность t-критерия Стьюдента. Часто мощность путают с вероятностью 1 - а, однако, вообще говоря, 1 - Ь Ф 1 - а, т. к. величины а и Ь Связаны между собою обратно пропорциональной зависимостью. Следовательно, вероятности 1 - Ь И 1 - а связаны аналогично. Кроме того, известно, что на мощность критерия существенно влияют также и другие факторы.

Так, на величину 1- Ь Воздействует характеристика альтернативной гипотезы ф = НА - Н0, которая отражает различия между нулевой и альтернативной гипотезами. По определению, мощность - это вероятность отклонить Н0, когда верна НА. Мощность характеризует чувствительность критерия, его способность улавливать различия между нулевой и альтернативной гипотезами. Имеется прямая связь между 1 - Ь И величиной ф. Для значений ф, близких к нулю, мощность критерия невысока: ему трудно улавливать малые различия между гипотезами и ошибка 2-го рода допускается часто. При ф ^ max ф (1 - Ь) ^ max (1 - Ь).

Третьим важным фактором, определяющим величину 1 - Ь, является число степеней свободы критерия k = N - m - 1, которое при проведении корреляционно-регрессионного анализа зависит от объема статистических наблюдений N и числа оцениваемых параметров модели m. Для преобразованной ПФ Кобба-Дугласа (10) m = 3, а для преобразованной CES-функции (8) m = 4. В соответствие с законом больших чисел при N (k) ^ да мощность 1 - Ь ^ 1. При m ^ N k ^ 0 и 1 - Ь ^ а. Иными словами, обоснованное отклонение нулевой гипотезы будет происходить не только при высоких значениях коэффициента регрессии D, когда параметр в ПФ (2) достаточно велик, но также и при большом объеме наблюдений (N > 20).

Следует иметь в виду, что оба рассмотренных параметра (ф, k) могут выступать как заданными, так и расчетными показателями статистического критерия. Дело в том, что взаимосвязь параметров статистического критерия выражается в виде функции мощности. Для сложной альтернативной гипотезы эта функция является непрерывной, монотонно возрастающей функцией от а, ф, k. Функция мощности задается обычно в виде графиков, построенных для так называемых нецентральных F - и t-распределений, т. е. распределений статистики критерия в условиях справедливости альтернативной гипотезы (см. подробнее в работах [8; 10]).

Однако, даже не прибегая к использованию функции и графиков мощности статистических критериев, можно дать следующую рекомендацию по оценке 1 - Ь: малый объем выборки (N < 30) обычно указывает на низкий уровень мощности критерия и, наоборот. Этот простой, хотя и приближенный метод оценки 1 - Ь Достаточно хорошо зарекомендовал себя в практике моделирования выпуска продукции с использованием ПФ.

Пусть оба уравнения регрессии (8) и (10) оказались статистически надежными, значимыми по F-критерию Фишера и нулевая гипотеза Н0 : D = 0 против альтернативы НА : D ф 0 отклонена с помощью t-критерия Стьюдента с достаточно высокой достоверностью, например, 1 - d = 0,95. Тогда возникает вопрос: как определить неизвестные параметры CES-функции (2)?

Исходя из найденных коэффициентов регрессии (8) А', В, С, D и принятых под формулой (7) обозначений, получаем следующие приближенные значения искомых коэффициентов ПФ (2):

A = ехрА'; у = В + 1; а = 1 - С/(В + 1)

В = 2D(B + 1)/С(В + 1 - С) (11)

Их можно использовать как в качестве конечного приближенного решения задачи оценки неизвестных параметров CES-функции, так и в роли начального решения в итеративной процедуре нелинейного метода наименьших квадратов, основанной на алгоритме минимизации целевой функции остатков модели по методу Марквардта [7, с. 137-149].

Выводы

Результаты проведенного сравнительного анализа ПФ (1) и (2) показали, что существуют довольно веские аргументы в пользу применения CES-функции в ходе моделирования зависимости выпуска продукции предприятий от агрегированных производственных факторов "капитал" и "труд". Это, прежде всего, отказ от постулата для ПФ Кобба-Дугласа о том, что эластичность замещения ресурсов равна о = 1. Кроме того, ограниченность производительности труда в зависимости от фондовооруженности в рамках ПФ (2) также является одним из преимуществ ее применения в экономических исследованиях по сравнению с ПФ (1).

Однако, необходимость применения нелинейных методов и других специальных математических приемов оценивания неизвестных параметров CES-функции с использованием соответствующего программного обеспечения, как правило, вызывает на практике дополнительные и зачастую непреодолимые трудности. Поэтому предварительная оценка значимости коэффициента регрессии D в модели (8) представляет собой полезный этап обоснования выбора адекватной математической формы функции, базирующийся на применении элементов теории статистических критериев.

Дальнейшие перспективы исследований в данной сфере и практического расширения использования СЕБ-функции в экономическом анализе производства мы видим в следующих основных направлениях:

- разработка современного программного обеспечения расчета ее параметров; - понимание широким кругом исследователей ее преимуществ по сравнению с традиционной ПФ Кобба-Дугласа.

Литература

Клейнер Г. Б. Производственные функции : теория, методы, применение / Г. Б. Клейнер. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

Выбор математической формы функции при моделировании зависимости выпуска продукции от производственных факторов

Похожие статьи