Приклади економічних задач МП та їх моделей - Розв'язання задач математичного програмування

Задача визначення оптимального плану виробництва: для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску кожного виду продукції за умови найкращого способу використання наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяний визначений набір ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне обладнання тощо. Відомі загальні запаси ресурсів, норми витрат кожного ресурсу та прибуток з одиниці реалізованої продукції. Задаються також за потреби обмеження на обсяги виробництва продукції у певних співвідношеннях(задана асортиментність).

Критерії оптимальності: максимум прибутку, максимум товарної продукції, мінімум витрат ресурсів.

Загальна математична постановка

N - Видів продукції за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів.

M - ресурсів: сировина, трудові ресурси, технічне оснащення тощо.

- загальні запаси ресурсів,

- норми витрат І-го ресурсу на виробництво одиниці J-ої продукції

- прибуток з одиниці J-ої реалізованої продукції.

Критерій оптимальності: максимум прибутку.

Позначимо через Х1, Х2, ..., ХN обсяги виробництва відповідно першого, другого і т. д. видів продукції.

За умов:

.

На ринок поставляється картопля з трьох фермерських господарств за цінами відповідно 80, 75 та 65 коп. за 1 кг.

На завантаження 1 т картоплі в господарствах відповідно витрачається по 1, 6 та 5 хвилин.

Замовлено 12 т картоплі, і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалося не більше 40 хвилин.

Потрібно визначити, з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставляти картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо фермери можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо:

Х1 -- кількість картоплі, що буде закуплена у першому господарстві (т);

Х2, Х3 -- кількість картоплі, закупленої відповідно у другого та третього фермерів (т).

Економіко-математична модель задачі має вигляд:

За умов:

Задача про "дієту" (або про суміш): деякий раціон складається з кількох видів продуктів. Відомі вартість одиниці кожного компонента, кількість необхідних організму поживних речовин та потреба в кожній речовині, вміст в одиниці кожного продукту кожної поживної речовини. Необхідно знайти оптимальний раціон -- кількість кожного виду продукту, що враховує вимоги забезпечення організму необхідною кількістю поживних речовин.

Критерій оптимальності -- мінімальна вартість раціону.

Загальна математична постановка

N видів продуктівз яких складається деякий раціон.

вартість одиниці кожного продукту

M кількість необхідних організму поживних речовин

потреба в кожній I-Ій речовині

одиниці J-го продукту міститься в поживної речовини I.

Необхідно знайти оптимальний раціон, що враховує вимоги забезпечення організму необхідною кількістю поживних речовин.

Критерій оптимальності -- мінімальна вартість раціону.

Позначимо через X1, X2, ..., XN -- кількість відповідного J-Го виду продукту.

Економіко-математична модель матиме вигляд:

За умов:

Аналогічно як у виробничій задачі, економіко-математична модель задачі про "дієту" (або про суміш) також може описувати інші економічні процеси. По суті цей тип задач дає змогу знаходити оптимальне поєднання деякого набору компонент в одне ціле, причому таке поєднання має задовольняти певні умови.

Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, вміст сірки -- не більшим, ніж 0,3 %.

Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти.

Дані про обсяги запасів компонентів, які змішуються, їх вартості, октанові числа та вміст сірки наведені в табл. 2.1:

Таблиця 2.1

Техніко-економічні показники компонент бензину

Показник

Компонента бензину

№ 1

№ 2

№ 3

№4

Октанове число

68

72

80

90

Вміст сірки, %

0,35

0,35

0,30

0,20

Наявний обсяг, т

700

600

500

300

Вартість, грош. од./т

40

45

60

90

Необхідно визначити, скільки тонн кожного компонента потрібно використати для того, щоб отримати 1000 т бензину А-76 з мінімальною собівартістю.

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через ХJ кількість J-го компонента в суміші (т), J = 1,2,3,4.

Економіко-математична модель задачі має вигляд:

.

Транспортна задача: розглядається певна кількість пунктів виробництва та споживання деякої однорідної продукції (кількість пунктів виробництва та споживання не збігається). Відомі обсяги виготовленої продукції в кожному пункті виробництва та потреби кожного пункту споживання. Також задана матриця, елементи якої є вартістю транспортування одиниці продукції з кожного пункту виробництва до кожного пункту споживання. Необхідно визначити оптимальні обсяги перевезень продукції, за яких були б найкраще враховані необхідності вивезення продукції від виробників та забезпечення вимог споживачів.

Критерії оптимальності: мінімальна сумарна вартість перевезень, мінімальні сумарні витрати часу.

Задача оптимального розподілу виробничих потужностей: розглядаються кілька підприємств, що виготовляють певну кількість видів продукції. Відомі фонд робочого часу кожного підприємства; потреби в продукції кожного виду; матриця потужностей виробництва всіх видів продукції, що виготовляються на кожному підприємстві, а також собівартості виробництва одиниці продукції кожного підприємства. Необхідно розподілити виробництво продукції між підприємствами у такий спосіб, щоб задовольнити потреби у виготовленні продукції та максимально використати виробничі потужності підприємств.

Критерій оптимальності: мінімальні сумарні витрати на виготовлення продукції. математичний програмування канторович задача

Задача про призначення: нехай набір деяких видів робіт може виконувати певна чисельність кандидатів, причому кожного кандидата можна призначати лише на одну роботу і кожна робота може бути виконана тільки одним кандидатом. Відома матриця, елементами якої є ефективності (у вибраних одиницях) кожного претендента на кожній роботі. Розв'язком задачі є оптимальний розподіл кандидатів на посади.

Критерій оптимальності: максимальний сумарний ефект від виконання робіт.

Задача комівояжера: розглядається кілька міст. Комівояжеру необхідно, починаючи з міста, в якому він перебуває, обійти, не буваючи ніде двічі, всі міста і повернутися в початкове. Відома матриця, елементи якої -- вартості пересування (чи відстані) між всіма попарно пунктами подорожі. Знайти оптимальний маршрут.

Критерій оптимальності: мінімальна сумарна вартість (відстань) пересування по маршруту.

Задача оптимального розподілу капіталовкладень. Планується діяльність групи (системи) підприємств протягом деякого періоду, який розділено на певну кількість підперіодів. Задана сума коштів, які можна вкладати в будь-яке підприємство чи розподіляти між ними протягом всього періоду планування. Відомі величини збільшення виробництва продукції (за умови здійснення додаткових капіталовкладень) у кожному з підприємств групи для всіх підперіодів. Необхідно визначити, як розподіляти кошти на початку кожного підперіоду між підприємствами так, щоб сумарний дохід за весь період був максимальним.

6. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування (ЛП)

Загальна лінійна економіко-математична модель

(2.1)

За умов:

(2.2)

(2.3)

Вектор Х = (Х1, Х2, ..., ХN), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід'ємності змінних (2.3), називається Допустимим розв'язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (Х1, Х2, ..., ХN) називається Опорним планом Задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж M лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід'ємності змінних.

Опорний план Х = (Х1, Х2, ..., ХN), називається Невиродженим, якщо він містить точно M додатних змінних, інакше він Вироджений.

Опорний план, за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається Оптимальним розв'язком (планом) задачі лінійного програмування.

Задачу (2.1)--(2.3) можна легко звести до Канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (2.2) всі BI (I = 1, 2, ..., M) Невід'ємні, а всі обмеження є Рівностями.

Якщо якесь BI від'ємне, то, помноживши I-те обмеження на
(- 1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли I-те обмеження має вигляд нерівності

АI1Х1 + АI2Х2 + ... + АInXN ? BI,

То її можна звести до рівності, увівши Додаткову Змінну XN + 1:

AI1X1 + AI2X2 + ... + + AIn XN + xN + 1 = BI.

Аналогічно обмеження виду

АK1X1 + AK2X2 + ... + AKnXN ? BK

Зводять до рівності, віднімаючи від лівої частини Додаткову змінну ХN + 2, тобто:

AK1X1 + AK2X2 + ... + AKnXN - XN + 2 = BK (ХN+1 ? 0, ХN+2 ? 0).

Розглянемо лінійну нерівність з N невідомими:

(2.4)

Для зведення нерівності (2.4) до рівняння необхідно до її лівої частини додати деяку невід'ємну величину ХN + 1 ? 0. У результаті дістаємо лінійне рівняння, яке містить N+1 змінну:

A1X1 + A2X2 + ... + ANXN + XN + 1 = B. (2.5)

Теорема 2.1. Кожному розв'язку нерівності (2.4) відповідає єдиний розв'язок рівняння (2.5), який одночасно є розв'язком нерівності (2.4), і, навпаки, кожному розв'язку рівняння (2.5) і нерівності (2.4) відповідає єдиний розв'язок нерівності (2.4).

Доведення: Нехай X* -- розв'язок нерівності (2.4), тоді підстановкою нерівність виконується:

.

Перенесемо ліву частину даної нерівності в праву і позначимо вираз у правій частині через, тобто:

Отже, розв'язок задовольняє рівняння (2.5) і водночас нерівність (2.4). Дійсно, і при підстановці в рівняння маємо:

Навпаки, нехай Y* задовольняє рівняння (2.5) і нерівність (2.4)

і.

Тоді, відкидаючи в лівій частині рівності невід'ємну величину, отримаємо нерівність:

.

Похожие статьи




Приклади економічних задач МП та їх моделей - Розв'язання задач математичного програмування

Предыдущая | Следующая