Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям - Экономико-математические методы

Алгоритмы и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических задач, не имеющих ничего общего с транспортировкой груза. В этом случае величины тарифов cij имеют различный смысл в зависимости от конкретной экономической задачи. К таким задачам относятся следующие:

Оптимальное закрепление за станками операций по обработке деталей. В них cij является таким экономическим показателем, как производительность. Задача позволяет определить, сколько времени и на какой операции нужно использовать каждый из станков, чтобы обработать максимальное количество деталей. Так как транспортная задача требует нахождения минимума, то значения cij берутся с отрицательным знаком;

Оптимальные назначения, или проблема выбора. Имеется m механизмов, которые могут выполнять m различных работ с производительностью cij. Задача позволяет определить, какой механизм и на какую работу надо назначить, чтобы добиться максимальной производительности;

Задача о сокращении производства с учетом суммарных расходов на изготовление и транспортировку продукции;

Увеличение производительности автомобильного транспорта за счет минимизации порожнего пробега. Уменьшение порожнего пробега сократит количество автомобилей для перевозок, увеличив их производительность.

ПРИМЕР. Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования.

На предприятии имеются три группы станков, каждая из которых может выполнять пять операций по обработке деталей (операции могут выполняться в любом порядке). Максимальное время работы каждой группы станков соответственно равно 100, 250, 180 часов. Каждая операция должна выполняться соответственно 100, 120, 70, 130 часов.

Определить, сколько времени и на какую операцию нужно использовать каждую группу станков, чтобы обработать максимальное количество деталей.

Производительность каждой группы станков на каждую операцию задана матрицей

    3 5 11 10 5 5 10 15 3 2 4 8 6 12 10

Оптимальное распределение оборудования

Оборудование m различных видов нужно распределить между n рабочими участками. Производительность одной единицы оборудования i-го вида на j-м рабочем участке равна pij; Потребность j-го участка в оборудовании составляет bj, Запас оборудования i-го вида равен ai, Найти распределение оборудования на рабочие участки, при котором суммарная производительность максимальная.

Данная задача относится к классу транспортных задач при условии, что производительность линейно зависит от количества используемого оборудования. Поставщиками в задаче являются различные виды оборудования, потребителями - рабочие участки. Предложение определяется запасом оборудования каждого вида, спрос - потребностью в нем на рабочем участке.

Обозначим через xij число единиц оборудования i-го вида, выделенное на j-й рабочий участок, Математическая модель задачи имеет следующий вид:

Построенная модель является сбалансированной. Если запас оборудования и потребность в нем не равны, то переход к сбалансированной модели осуществляется с помощью преобразований, изложенных в пункте 4.7.

В данной задаче требуется максимизировать целевую функцию P, представляющую суммарную производительность. Для перехода к стандартной транспортной модели надо заменить функцию P на противоположную функцию Z=-P, которую нужно будет минимизировать.

При решении в транспортной таблице вместо тарифов на перевозки запишутся производительности pij, взятые с противоположным знаком. Далее задача решается как обычно.

Формирование оптимального штата фирмы.

Фирма набирает штат сотрудников. Она располагает n группами различных должностей по bj вакантных единиц в каждой группе, Кандидаты для занятия должностей проходят тестирование, по результатам которого их разделяют на m групп по ai кандидатов в каждой группе, Для каждого кандидата из i-й группы требуются определенные затраты cij на обучение для занятия j-й должности, (В частности, некоторые cij=0, т. е. кандидат полностью соответствует должности, или cij=, т. е. кандидат вообще не может занять данную должность.) Требуется распределить кандидатов на должности, затратив минимальные средства на их обучение.

Предположим, что общее число кандидатов соответствует числу вакантных должностей. (если это не так, то следует просто проделать преобразования пункта 4.7.) Тогда данная задача соответствует транспортной модели. В роли поставщиков выступают группы кандидатов, а в роли потребителей - группы должностей. Предложением является число кандидатов в каждой группе, спросом - число вакансий в каждой группе должностей. В качестве тарифов на перевозки рассматриваются затраты на переобучение.

Обозначим через xij число кандидатов из i-й группы, назначенных на j-ю должность, Математическая модель задачи имеет следующий вид:

Методы решения этой задачи такие же, как и транспортной задачи.

ПРИМЕР 2. Имеется m видов сельскохозяйственных культур и n хозяйств, где их можно выращивать. Из-за различных условий доход, получаемый с 1 га посева одной и той же культуры, в различных хозяйствах неодинаков. Обозначим через cij доход для i-й культуры и j-го хозяйства. Общие площади посева культур ai (i=1,m) и площади пашни в хозяйствах bj (j=1,n) известны. Требуется составить такой план размещения сельскохозяйственных культур по хозяйствам, чтобы общий доход был максимальным.

Обозначим площадь посева i-й культуры в j-м хозяйстве через xij. Тогда получаем задачу:

Найти план X=(xij) такой, что

При условиях:

А) план посева по каждой культуре должен быть выполнен

Б) пашня в хозяйствах должна быть использована полностью

В)

Похожие статьи




Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям - Экономико-математические методы

Предыдущая | Следующая