Нелинейное программирование, Общая задача нелинейного программирования - Экономико-математические методы
Во многих экономических моделях исследования операций зависимости между постоянными и переменными факторами лишь в первом приближении можно считать линейными, более детальное рассмотрение позволяет обнаружить их нелинейность. Как правило, такие показатели, как прибыль, себестоимость, капитальные затраты на производство и др., в действительности зависят от объема производства, расхода ресурсов и т. п. нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования (ЗНП).
Общая задача нелинейного программирования
В общем виде ЗНП формулируется следующим образом:
, (4.1)
, (4.2)
, (4.3)
Где - управляющие переменные или решения ЗНП; - фиксированные параметры; - заданные функции от n переменных, причем целевая функция или (и) хотя бы одна из функций являются нелинейными.
Решить задачу нелинейного программирования - это значит найти такие значения управляющих переменных, которые удовлетворяют системе ограничений (4.2),(4.3) и доставляют максимум или минимум целевой функции.
Для задачи нелинейного программирования, в отличие от линейных задач, нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции (4.1) и ограничений (4.2) разработано несколько специальных методов решения, к которым относятся методы множителей Лагранжа, квадратичное и выпуклое программирование, градиентные методы, ряд приближенных методов решения, графический метод.
Процесс составления математической модели ЗНП принципиально не отличается от составления модели ЗЛП. Рассмотрим несколько примеров.
Задача 4.1. На m предприятиях выпускается некоторый продукт. Себестоимость единицы этого продукта на каждом из указанных предприятий есть, где - доля себестоимости, не зависящая от объема выпуска продукции, - план выпуска продукта на i-м предприятии.
Предприятия должны обеспечить n потребителей с потребностями, стоимость перевозки из i-го предприятия к j-му потребителю равна.
Требуется определить такой план распределения выпуска продукта предприятиями и план перевозок его потребителям, чтобы суммарная себестоимость выпуска и стоимость перевозки была минимальной.
Математическую модель задачи. Пусть - план перевозок от i-го предприятия к j-му потребителю.
Для удобства запишем данные и искомые величины задач в виде таблицы:
Табл.4.1
Потребители Предприятия |
1 |
2 |
N |
План Выпуска изделий | |
1 |
X11 |
X12 |
X1n |
X1 | |
2 |
X21 |
X22 |
X2n |
X2 | |
M |
Xm1 |
Xm2 |
Xmn |
Xm | |
Потребности Заказчиков |
B1 |
B2 |
Bn |
Система ограничений задачи:
(4.4)
Целевая функция f запишется так:
Вместо подставим значения, данные в условии задачи:
(4.5)
Надо найти минимальное значение функции (6.5) на множестве допустимых решений (4.4).
Задача 4.2. На производство некоторого продукта расходуется два вида ресурсов. Определите оптимальное распределение величин затрачиваемых ресурсов, если цена ресурса первого вида 30 рублей, второго - 40 рублей, а всего выделено на производство 120 рублей. Известно, что из количества x1 первого ресурса и x2 второго ресурса можно получить единиц продукта.
Вообще, функция выражающая зависимость между количеством вырабатываемого продукта и величиной расходуемых на него ресурсов, называется производственной функцией. Простейшая производственная функция для продукта, получаемого из двух различных ресурсов имеет вид:
Где - постоянные величины, причем
Функция y выведена в предположении, что существует только два ресурса: x1 - труд, x2 - капитал, где указывает на соответствующую долю использования каждого из этих ресурсов; c - некоторый постоянный коэффициент; y - это количество совокупного продукта, которое при определенных технологических условиях может быть получено из данных продуктов. Функция y простейшая производственная функция, так как рассматривает зависимость между двумя ресурсами и одним продуктом.
Математическая модель задачи. Пусть x1 - количество ресурсов вида 1, x2 - количество ресурсов вида 2. Система ограничений:
(4.6)
Целевая функция:
(4.7)
Требуется найти наибольшее значение функции (4.7) на множестве решений системы (4.6).
Похожие статьи
-
Общая постановка задачи исследования операций - Экономико-математические методы
Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы: Постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не...
-
Линейное программирование, Общая задача линейного программирования - Экономико-математические методы
Термин "линейное программирование" впервые появился в 1951 г. в работах американских ученых (Дж. Данциг, Т. Купманс), а первые исследования по линейному...
-
Это раздел математического программирования, изучающий методы решения таких экстремальных задач, в которых результаты (эффективность) возрастают или...
-
Математическая модель задачи нелинейного программирования (ЗНП) (*) Для ЗНП в отличие от Задачи Линейного Программирования (ЗЛП) нет единого метода...
-
Большое число экономических и планово-производственных задач связано с распределением каких-либо, как правило, ограниченных ресурсов (сырья, рабочей...
-
В разделе 1 курсовой работы требуется: Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, (xj), максимизируя прибыль филиала....
-
Введение - Решение оптимизационных экономических задач методами линейного программирования
Линейное программирование является составной частью раздела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных...
-
Динамическое программирование Динамическое программирование -- один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и...
-
Линейное программирование в экономике - Экономико-математические методы
Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т. д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических...
-
Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве позволяют решать большой круг задач, связанных с оптимизацией территориальной...
-
Исходная задача: При ограничениях: Двойственной является следующая задача: При ограничениях: Число неизвестных в двойственной задаче равно 2....
-
Задача о загрузке рюкзака (задача о ранце) - Метод динамического программирования для решения задач
Постановка задачи. Пусть имеются N видов грузов с номерами. Единица груза j-го вида имеет все aJ. Если груз j-го вида берется в количестве xJ, то его...
-
Некоторые особенности решения задач нелинейного программирования - Экономико-математические методы
Для решения ЗНП существенно знать: 1) выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи; 2) является ли целевая функция выпуклой или вогнутой...
-
В начале пятилетнего периода работы предприятию выделена сумма в C руб. для приобретения нового оборудования. Стоимость одного комплекта оборудования...
-
Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 4x1+18x2 > min, при системе ограничений: X1+4x2?14(1) X1+6x2?15(2) X1+x2?5(3)...
-
Постановка задачи - Экономико-математические методы
Пусть имеется m поставщиков А1, А2, ...,Аm однородного груза в количествах соответственно а1, а2,...,аm единиц и n потребителей В1, В2,...,Вn этого...
-
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЗЛП) - Линейное программирование в экономике
Линейное программирование - направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между...
-
Транспортная задача - Экономико-математические методы
Методы линейного программирования, являются хорошим инструментом для решения ряда проблем распределения ресурсов. Применение пакетов прикладных программ...
-
Несмотря на требование линейности функций критериев и ограничений, в рамки линейного программирования попадают многочисленные задачи распределения...
-
Второй раздел курсовой работы посвящен особенностям постановки и решения общей задачи линейного программирования, а именно, транспортной задаче (ТЗЛП)....
-
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы. Определим максимальное значение целевой...
-
Так как целевая функция не является линейной, то эта задача является задачей нелинейного программирования. Найдем ее решение, используя геометрическую...
-
Цель и задачи исследования операций Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее...
-
Как известно решение задач симплексным методом применяется очень часто. Это связано с тем, что симплексный метод подходит для решения широкого круга...
-
Задачей линейного программирования (ЛП) называется задача минимизации или максимизации линейного функционала при линейных ограничениях. В литературе...
-
При решении экономических задач часто анализировать ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих сторон, преследующих различные...
-
Метод множителей Лагранжа - Экономико-математические методы
Среди задач (4.1)-(4.3) особое место занимают задачи типа (6.10) , (6.11) Для решения которых можно воспользоваться классическим методом оптимизации...
-
Геометрическая интерпретация и графическое решение ЗЛП - Экономико-математические методы
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования...
-
Пример транспортной задачи линейного программирования - Оптимальное программирование
Транспортная задача -- математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из...
-
Экономико-математическая модель ТЗ - Экономико-математические методы
Рассмотрим ситуацию (3.1). Обозначим через количество единиц груза, которое необходимо доставить от i-го поставщика к j-му потребителю....
-
Модели линейного программирования. Основные определения Еще одним классом задач экономико-математического моделирования являются задачи линейного...
-
Календарный производственный программирование однооперационный Все существующие методы решения задач календарного планирования3 по степени достижения...
-
Транспортные задачи, имеющие некоторые усложнения в постановке - Экономико-математические методы
Транспортная задача с избытком запасов: Для отыскания оптимального плана вводят фиктивный (n+1)-й пункт назначения Bn+1 с потребностью bn+1 и полагают...
-
Пример решения транспортной задачи - Экономико-математические методы
На четырех строительных площадках В1, В2, В3, В4 монтируется в день соответственно 20,120,20 60 м3 сборных плит перекрытий. Производство этих плит...
-
Пусть имеется оптимизационная задача вида: (1) (2) (3) - задан(4) Здесь предполагается, что FJ(xJ,yJ)>0 для всех допустимых значений xJ,yJ. В этом случае...
-
Теория оптимального программирования - Оптимальное программирование
Оптимальное программирование [optimal programming] -- применение в экономике методов математического программирования. Часто эти термины определяют как...
-
Введение - Оптимальное программирование
Линейный программирование транспортный задача Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при...
-
Известно оптимальное решение X*=(0;0;1;1) задачи линейного программирования: Составьте двойственную задачу и найдите ее оптимальное решение по теореме...
-
Решение задачи графическим методом - Математическое моделирование в менеджменте и маркетинге
Необходимо найти максимальное значение целевой функции L(x)= 2x1+2x2 > max, при системе ограничений: 6x1+8x2?48, (1) 8x1+11x2?88, (2)...
-
Теория: Применяется, как правило, для задач линейного программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического метода сводится к...
Нелинейное программирование, Общая задача нелинейного программирования - Экономико-математические методы