Метод Ньютона (касательных), Метод хорд (секущих) - Исследование функции и ее производной

Метод Ньютона или метод касательных, именуемый также методом Ньютона-Рафсона, представляет собой один из наиболее важных алгоритмов общего назначения для решения уравнений. Его применение к решению уравнения с одним неизвестным проиллюстрировано на рис. 2: очередной элемент xn+1 последовательности приближений получается как пересечение касательной к графику функции f(x) в точке xn с осью абсцисс.

интерация метода ньютона

Рисунок 2 - Интерация метода Ньютона

Аналитическая формула для элементов последовательности приближений метода Ньютона выглядит следующим образом:

Для n=0,1,....

В большинстве случаев метод Ньютона гарантирует сходимость последовательности (5), если начальное приближение x0 выбрано "достаточно близко" к корню. Последовательность может сходиться и при далеком от корня начальном приближении, но это выполняется не всегда.

Метод хорд (секущих)

Метод секущих, известный также по его названию на латыни - regula falsi, как и алгоритм деления пополам, на каждой итерации он получает некоторый отрезок [an, bn], содержащий корень непрерывной функции f(x), которая имеет значения противоположных знаков в точках an и bn. В отличие от метода деления пополам очередное приближение вычисляется не как средина отрезка [an, bn], а как точка пересечения оси абсцисс с прямой линией, проведенной через точки (an, f(an)) и (bn, f(bn)) (рис. 3).

интерация метода секущих

Рисунок 3 - Интерация метода секущих

Формула для точки пересечения выглядит следующим образом:

.

Похожие статьи




Метод Ньютона (касательных), Метод хорд (секущих) - Исследование функции и ее производной

Предыдущая | Следующая