Решение нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих распространение вируса с помощью метода Рунге-Кутты 4-го порядка точности - Исследование модели распространения вирусных атак в социальных сетях на основе эпидемиологической модели SEIR

Методы Рунге-- Кутты-- важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге -- Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.

Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвертого порядка. Иногда при выполнении расчетов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Кошиy' = f(x, y), y(a) = y0

Состоит в построении таблицы приближенных значений

, , ..., , ...

Решения y(x) в узлах сетки

A= < < ... < < ...< =b, y()=,.

Если = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке + h используется информация о решении только в точке.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины, вычисляются по формуле, +1 = , + h f( , ,), i= 0, 1, ...

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины +1 вычисляются по следующим формулам: +1 = + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)/6 , i = 0, 1, ...

K1 = f( , ),

K2 = f(+h/2, +hk1/2),

K3 = f(+h/2, +hk2/2),

K4 = f(+h, +hk3).

Похожие статьи




Решение нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих распространение вируса с помощью метода Рунге-Кутты 4-го порядка точности - Исследование модели распространения вирусных атак в социальных сетях на основе эпидемиологической модели SEIR

Предыдущая | Следующая