Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей. Понятие бюджетного множества - Бюджетное множество

На уровне общества для описания поведения потребителей вводится целевая функция потребления. Целевая функция потребления - функция, выражающая уровень удовлетворения материальных потребностей общества. Целевая функция моделируется для решения задачи оптимизации. Целевая функция показывает, как различные значения входящих в нее переменных влияют на уровень удовлетворения материальных потребностей. Значение функции является критерием эффективности распределения бюджетных ресурсов. При описании поведения индивидуального потребителя роль целевой функции играет функция полезности.

Один из подходов к моделированию поведения индивидуального потребителя (а это может быть не обязательно физическое лицо, а любой участник рынка) базируется на предположении о том, что каждый потребитель принимает решения о потреблении и покупках, исходя из своей системы предпочтений.

Формулировка этого положения в математических терминах выглядит следующим образом.

Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу в определенное время и в определенном месте.

Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается хI, тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x1,...,хN). Как известно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что Х есть n-мерный вектор. Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что хI ?0 для любого i=1,...,n или Х ?0 . Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т. е. товары устроены наподобие сахарного песка, возможна его любая мера). Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующих количествах. Аналогично интерпретируются и операции с наборами товаров.

Далее вводится понятие бюджетного множества. Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую - нибудь денежную сумму Q и назовем ее доходом.

Тогда множество наборов товаров стоимостью не более Q при данных ценах Р называется Бюджетным Множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q называется границей G этого бюджетного множества.

Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее было бы их обозначить B(P, Q) и G(P, Q).

Бюджетное множество и его границу можно определить с помощью обычных неравенств и равенств:

B(P, Q) = {( x1,...,хN) : x1,...,хN >0, р1Х1 +... + рNХN ? Q };

G(P, Q) = {( x1,...,хN) : x1,...,хN > 0, р1Х1 +... + рNХN = Q }.

Для случая двух товаров рис. 1.

Рис. 1 Бюджетное множество

Например, при Р = (2,3) и Q = 30 бюджетное множество B(P, Q) есть треугольник ОАВ, точка А имеет координату Q/р1 =15, точка В - Q/р2 =10. Отрезок АВ есть граница бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изменении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек А(р1) =
Q/р1 , В(р2) = Q/р2 .

Одним из основных участников рынка является Домашнее Хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как единое целое, распределяющее свой доход на покупку и потребление товаров и услуг. Участник рынка, рассматриваемый с этой точки зрения, называется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может приобрести при заданных ценах и его доходе.

Следует особо отметить, что существуют разные точки зрения на роль индивидов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является основной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребностей такого индивида.

При моделировании потребительского поведения формулируется аксиома потребителя, полностью описывающая его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ поведения потребителя.

Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов и желаний. Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один товар другому. Пусть запись Y Х означает, что потребитель предпочитает набор Х набору Y либо не делает между ними различий. Такое отношение называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отношения: отношение безразличия (или равноценности) - Х ? Y, если и только если Х УиУ Х, и отношение предпочтения (или строгого предпочтения) - Х Y, если неверно, что Х ? Y. Каковы свойства этих отношений?

Математики называют отношение рефлексивным, если Х Х для всякого X; симметричным, если Х Y влечет Y X; транзитивным, если Х Y и Y Z влечет Х Z; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y либо Х Y, либо Y X.

Аксиома Предпочтений гласит: 1) отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершенно; 2) отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно; 3) отношение предпочтения транзитивно; 4) для любого Х € С множество предпочтительности Рx ={Y: Х Y} выпукло; 5) каждый товар желателен для индивида: еслиХУ, то иУХ, а если к тому жеХ ? У (т. е. хi < уi для некоторого i), то Х Y.

Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойства системы предпочтений индивида, вообще говоря, живого человека. Что касается рефлексивности и совершенности, то они представляются вполне понятными. Ведь Рефлексивность означает, что любой набор товара равноценен сам себе. А совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекательности любые два набора товаров.

Выпуклость Множества предпочтительности означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших количествах, чем просто какой-то один из этих товаров (лучше иметь немножко соли, сахара, кофе, хлеба, чем Одну только соль, один только сахар и т. д., хотя бы и в большем количестве). Свойство Транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и слабого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается потребителем. Но если потребителю объяснить, что получится, если его система предпочтений не транзитивна, то он согласится, что свойство транзитивности должно быть, и произведет необходимую переоценку привлекательности для него тех или иных наборов товаров.

Рассмотрим аргументы в пользу транзитивности на примере поведения некоего мистера Джонса. Джонс собирается купить дачу. При рассмотрении трех дач выясняется, что любая из них лучше другой по двум из трех важнейших свойств.

Свойство
Дача	Цена	Размеры	Удобства
А	Лучшая	Худшие	Средние
В	Средняя	Лучшие	Худшие
С	Худшая	Средние	Лучшие

Поэтому, поразмыслив о том, к какому бы решению он пришел, если бы ему предложили любую пару вариантов, Джонс решает, что он бы В предпочел А, А предпочел С и С предпочел В. Все это кажется ему разумным, поскольку, размышляет он, в каждом сравнении предпочитаемая альтернатива является лучшей с точки зрения двух из трех интересующих его свойств. Например, А лучше В по стоимости и удобствам. Итак, налицо нарушение транзитивности. Безобидно ли это? Можно ли переубедить Джонса?

Разговаривать с людьми вроде Джонса, которые, единожды приняв решение, упорно отказываются изменить его, весьма занятно. Представьте себе, мистер Джонс, что вы только что приобрели права на дачу В, а агент (по торговле недвижимостью) предлагает вам А с небольшой наценкой. Если ваши предпочтения что-нибудь значат, то, конечно, вы согласитесь доплатить небольшую сумму за то, чтобы В сменить на А. Прекрасно, теперь у вас есть А. Предположим далее, что агент предлагает вам теперь С за такое же несущественное вознаграждение Конечно, вы соглашаетесь, и теперь у вас вместо А есть уже С Но зачем вам С, если за скромную сумму вы можете обменять С на 6 - в конце концов не Вы ли говорили, что В лучше, чем С?

Отношение безразличия рефлексивно, симметрично и транзитивно. Любое отношение, обладающее этими свойствами, называется Эквивалентностью. Любая эквивалентность на множестве разбивает это множество на непересекающиеся подмножества, называемые Классами Эквивалентности. Таким образом, отношение равноценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непересекающиеся подмножества, называемые классами равноценности (или безразличия), а в случае двух или трех товаров эти классы называются линиями, или поверхностями равноценности (или безразличия).

Кривые безразличия - уровни целевой функции потребления, изображенные на плоскости в виде кривых. Каждый отдельный класс равноценности состоит из наборов товаров, одинаково привлекательных для потребителя, - он не отдает предпочтения ни одному из этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-нибудь из классов равноценности, именно в тот, где собраны наборы, одинаково ценные с ним (для данного индивида).

Типичная картина для двух видов товаров показана на рис. 2, где Кx, Ку - классы равноценности наборов X, Y соответственно (кривые безразличия); стрелка - указатель направления предпочтения; за штрихованное поле - множество предпочтительности Ру.

Рис. 2 Кривые безразличия

Система предпочтений потребителя указывает, какой из двух наборов предпочтительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оценивать привлекательность набора товаров количественно, т. е. приписать каждому набору Х из пространства товаров С какое-то число u(Х). Получается функция u: С --> R. Главное требование к такой функции, чтобы она отражала отношение (слабого) предпочтения на С, т. е. удовлетворяла условиям:

U(X) ? u(Y), если и только если Х Y;

U(X) = u(Y), если и только если Х ~ Y, значит и

U(X) < u(Y), если и только если Х Y.

Такая функция называется Функцией Полезности. Видно, что функция полезности постоянна на каждом классе равноценности, так что ее наглядно и вполне правильно представить себе как функцию, "пересчитывающую" классы равноценности в сторону большего предпочтения наборов товаров.

Работать с функцией полезности гораздо удобней, чем с системой предпочтений. Однако математики выяснили, что если на систему предпочтений не накладывать никаких ограничений, кроме уже рассмотренных ранее, а именно транзитивность, совершенность и рефлексивность, то функция полезности может и не существовать. Тем не менее, при некоторых естественных условиях, наложенных на систему предпочтений, функция полезности существует.

При моделировании потребительского поведения большое внимание уделяется математическому описанию выбора при наличии товаров-заменителей.

Рассмотрим график, отражающий систему предпочтений индивида на наборах из двух товаров (рис. 3).

Рис. 3 Иллюстрация процесса замещения

Пусть MN - кривая безразличия. Предположим, что у индивида есть набор Х° = (Х10, X20) товаров. На графике видно, что уменьшение первого товара на ?Х1 можно компенсировать увеличением второго товара на величину ?X2. Компенсация означает, что набор X1 = (Х10 + ?X1, X20+?X2) имеет ту же ценность, что и набор Х°, т. е. обе точки находятся в одном классе равноценности. Отношение | ?X1/?X2| показывает, сколько единиц второго товара добавочно может компенсировать уменьшение первого товара на единицу. Поскольку ?X1 < 0, ?X2 > 0, то без знака абсолютной величины отношение можно записать так: -?X1/?X2. Если в этом отношении перейти к пределу, то получим предельную норму замещения первого товара вторым. В общем виде lim (-?X1/?X2) при ?X0 ->О называется предельной нормой замещения j-го товара k-м и обозначается M j K.

Предельная норма замещения j-го товара k-м равна отношению предельных полезностей этих товаров.

Вывод этот понятный и естественный: если предельная полезность первого товара равна, скажем, 6, а второго товара только 2, то при уменьшении первого товара на единицу для компенсации надо, конечно, увеличить количество второго товара на три единицы.

Для наличия у данного товара х других товаров-заменителей у, т. е. таких, по которым норма замещения МxУ не столь уж пренебрежительно мала, очень существенно следующее положение: если у товара х есть товары-заменители, то при повышении цены на него потребитель уменьшит его потребление и увеличит потребление товаров-заменителей. Например, для чая хорошим заменителем являются кофе и какао, соки, лимонад, так что при повышении цены на чай произойдет уменьшение его потребления и увеличится потребление его заменителей. В то же время для бензина хороших заменителей нет, поэтому при повышении на него цен просто происходит уменьшение его потребления, без увеличения потребления какого-нибудь его заменителя (в действительности происходят более сложные процессы - при повышении цены на бензин люди начинают меньше пользоваться автомобилями и другими транспортными средствами, использующими бензин, начинают больше ходить пешком, ездить на велосипеде и т. п.).

Следует обратить внимание на то, как меняется норма замещения первого товара вторым при движении по кривой равноценности слева--сверху, вниз--направо - эта норма (по абсолютной величине) от очень большой величины уменьшается до очень малой.

Понятия, связанные с замещением одного товара другим, являются весьма важными, хотя их не легко использовать на практике.

Использование предельных соотношений для анализа экономических закономерностей и поведения субъектов экономики является сущностью маржинализма - течения в экономической теории, зародившегося в середине XIX в. Одним из основоположников этого течения был К. Госсен. Сейчас маржинализм не является господствующим течением, но все еще весьма популярен.

Целевая функция потребления и моделирование поведения потребителей. Понятие бюджетного множества - Бюджетное множество

Похожие статьи