Моделирование и прогнозирование временных рядов с периодическими колебаниями
Задания
Задание 1. По данным табл. 7.1 по квартальным данным об объемах продаж продукции (т) требуется:
На основе графического анализа провести исследование компонентного состава временного ряда объема продаж;
Рассчитать прогнозную оценку объемов продаж в первом полугодии 2013 г.
Задание 3. По данным табл. 7.3 по помесячным данным об объемах производства продукции (тыс. т) требуется:
Построить ряд Фурье с двумя гармониками;
Дать прогноз объемов продаж на следующий месяц.
Временный ряд фурье прогнозирование
Таблица 7.1
Динамика объема продаж продукции
Год |
Номер квартала |
Yi, т |
Год |
Номер квартала |
Yi, т |
2009 |
I |
28,0 |
2011 |
I |
29,2 |
II |
27,3 |
II |
28,5 | ||
III |
27,6 |
III |
28,6 | ||
IV |
29,7 |
IV |
30,8 | ||
2010 |
I |
28,6 |
2012 |
I |
29,7 |
II |
27,8 |
II |
29,1 | ||
III |
28,1 |
III |
29,2 | ||
IV |
30,2 |
IV |
31,3 |
Динамика объема продаж продукции
Год |
месяц |
Yi, т |
Год |
Месяц |
Yi, т |
2011 |
I |
5,5 |
2011 |
XI |
6,0 |
II |
6,0 |
XII |
6,3 | ||
III |
5,8 |
2012 |
I |
6,0 | |
IV |
3,5 |
II |
4,5 | ||
V |
1,5 |
III |
2,0 | ||
VI |
1,3 |
IV |
1,3 | ||
VII |
1,5 |
V |
2,3 | ||
VIII |
2,0 |
VI |
3,5 | ||
IX |
3,8 |
VII |
4,8 | ||
X |
4,3 |
VIII |
5,8 |
Решение типовых задач
Прогнозирование по тренд-сезонной аддитивной модели
Графический анализ исходного временного ряда (рис. 7.1) свидетельствует о наличии близости к линейному развитию, что следует увеличение продаж.
Также отчетливо видны сезонные колебания (период которых равен одному году). Наиболее существенные всплеск в динамике показателя просматриваются в IV квартале. Так как амплитуда сезонных колебаний остается примерно постоянной, то для описания и прогнозирования динамики временного ряда можно использовать аддитивную модель.
Рис. 7.1 Квартальная динамика объема продаж
1. Проведем сглаживание временного ряда с помощью центрированной скользящей средней по формуле (период скольжения равен одному году, т. е. для нашего примера он равен 4 ):
=28,225
2. Рассчитаем абсолютные показатели сезонности
(7.8)
Результаты расчетов скользящей средней и показателя сезонности представлены в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Динамика объема продаж продукции
Год |
Номер квартала | |||
2009 |
I |
28,0 |
- |
- |
II |
27,3 |
- |
- | |
III |
27,6 |
28,22 |
-0,625 | |
IV |
29,7 |
28,36 |
1,34 | |
2010 |
I |
28,6 |
28,48 |
0,12 |
II |
27,8 |
28,61 |
-0,81 | |
III |
28,1 |
28,75 |
-0,65 | |
IV |
30,2 |
28,91 |
1,29 | |
2011 |
I |
29,2 |
29,06 |
0,14 |
II |
28,5 |
28,95 |
-0,45 | |
III |
28,6 |
29,33 |
-0,73 | |
IV |
30,8 |
29,47 |
1,33 | |
2012 |
I |
29,7 |
29,62 |
0,08 |
II |
29,1 |
29,76 |
-0,66 | |
III |
29,2 |
- |
- | |
IV |
31,3 |
- |
- |
3. Определим средние показатели сезонности по формуле:
(7.9)
4. Т. к. сумма средних показателей сезонности (), проведем корректировку сезонной компоненты по формуле:
(7.10)
Результаты расчетов средних и скорректированных показателей сезонности заносим в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Оценивание сезонной компоненты в аддитивной модели
Номер квартала | ||
I |
0,1133 |
0,08205 |
II |
-0,64 |
-0,67125 |
III |
-0,6683 |
-0,69955 |
IV |
1,32 |
1,28875 |
Итого |
0,125 |
0 |
5. Определяем десезоналированный ряд объема продаж:
Из исходных уровней вычитают скорректированную сезонную компоненту:
(7.11)
- 6. По десезоналированному временному ряду проводим аналитическое выравнивание по линейному тренду. 7. Рассчитываем тренд с учетом сезонности:
(7.12)
Уравнение тренда имеет вид
Результаты расчетов представлены в табл. 7.5.
Таблица 7.5
Прогнозирование объема продаж с помощью аддитивной тренд-сезонной модели
Год |
Номер квартала |
T | |||||
2009 |
I |
1 |
28,0 |
0,08205 |
27,91 |
27,76 |
27,84 |
II |
2 |
27,3 |
-0,6712 |
27,97 |
27,92 |
27,32 | |
III |
3 |
27,6 |
-0,6995 |
28,29 |
28,08 |
27,39 | |
IV |
4 |
29,7 |
1,28875 |
28,41 |
28,24 |
29,52 | |
2010 |
I |
5 |
28,6 |
0,08205 |
28,51 |
28,41 |
28,49 |
II |
6 |
27,8 |
-0,6712 |
28,47 |
28,57 |
27,97 | |
III |
7 |
28,1 |
-0,6995 |
28,79 |
28,73 |
28,04 | |
IV |
8 |
30,2 |
1,28875 |
28,91 |
28,90 |
30,10 | |
2011 |
I |
9 |
29,2 |
0,08205 |
29,11 |
29,06 |
29,14 |
II |
10 |
28,5 |
-0,6712 |
29,17 |
29,22 |
28,62 | |
III |
11 |
28,6 |
-0,6995 |
29,29 |
29,38 |
28,69 | |
IV |
12 |
30,8 |
1,28875 |
29,51 |
29,54 |
30,74 | |
2012 |
I |
13 |
29,7 |
0,08205 |
29,61 |
29,71 |
29,79 |
II |
14 |
29,1 |
-0,6712 |
29,77 |
29,87 |
29,20 | |
III |
15 |
29,2 |
-0,6995 |
29,89 |
30,03 |
29,34 | |
IV |
16 |
31,3 |
1,28875 |
30,01 |
30,19 |
31,39 | |
2013* |
I |
17* |
- |
0,08205 |
- |
30,36 |
30,44 |
II |
18* |
- |
-0,6712 |
- |
30,52 |
29,85 | |
* - прогнозируемый уровень |
ВЫВОД: Ожидаемый объем продаж в первом полугодии составит: 30,44+29,85=60,29
Прогнозирование по ряду Фурье
Применим спектральный анализ временного ряда производства продукции, тыс. т (табл. 7.3).
Так как разложение по ряду Фурье применяется только для стационарных временных рядов, необходимо проверить гипотезу о наличии тенденции либо применить графический анализ.
По виду графика анализируемого временного ряда можно сделать вывод о его стационарности (рис. 7.3).
Рис. 7.3 Динамика объема производства продукции
Построим ряд Фурье с двумя гармониками.
(7.35)
Отсчет ведется с нуля, с шагом, т. е. в нашем случае.
Параметры ряда Фурье определяются по формулам:
(7.33)
(7.34)
Так как мы строим ряд с двумя гармониками, нам необходимо рассчитать параметры:
Необходимые расчеты занесем в табл. 7.8.
Тогда ряд Фурье с двумя гармониками примет вид:
Чтобы получить прогноз на следующий месяц (сентябрь 2014 г.) необходимо подставить в уравнение следующее значение.
ВЫВОД: Таким образом, объем производства в сентябре составит ________ тыс. т.
Таблица 7.8
Расчет параметров по ряду Фурье
Год |
Месяц | |||||||||||
2013 |
Январь |
5,5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
5,5 |
0 |
11 |
0 | |
Февраль |
6,0 |
0,314 |
0,999 |
0,005 |
0,999 |
0,010 |
5,994 |
0,03 |
11,988 |
0,06 | ||
Март |
5,8 |
0,628 |
0,999 |
0,010 |
0,999 |
0,021 |
5,794 |
0,058 |
11,588 |
0,116 | ||
Апрель |
3,5 |
0,942 |
0,999 |
0,016 |
0,999 |
0,032 |
3,496 |
0,056 |
6,993 |
0,112 | ||
Май |
1,5 |
1,257 |
0,999 |
0,021 |
0,999 |
0,043 |
1,498 |
0,031 |
2,997 |
0,063 | ||
Июнь |
1,3 |
1,571 |
0,999 |
0,027 |
0,998 |
0,054 |
1,298 |
0,035 |
2,597 |
0,070 | ||
Июль |
1,5 |
1,885 |
0,999 |
0,032 |
0,997 |
0,065 |
1,498 |
0,048 |
2,997 |
0,096 | ||
Август |
2,0 |
2,199 |
0,999 |
0,038 |
0,997 |
0,076 |
1,998 |
0,076 |
3,996 |
0,152 | ||
Сентябрь |
3,8 |
2,513 |
0,999 |
0,043 |
0,996 |
0,087 |
3,796 |
0,163 |
7,592 |
0,326 | ||
Октябрь |
4,3 |
2,827 |
0,998 |
0,049 |
0,995 |
0,098 |
4,291 |
0,210 |
8,582 |
0,421 | ||
Ноябрь |
6,0 |
3,142 |
0,998 |
0,054 |
0,993 |
0,109 |
5,988 |
0,324 |
11,976 |
0,648 | ||
Декабрь |
6,3 |
3,456 |
0,998 |
0,060 |
0,992 |
0,120 |
6,287 |
0,378 |
12,574 |
0,756 | ||
2014 |
Январь |
6,0 |
3,769 |
0,997 |
0,065 |
0,991 |
0,131 |
5,982 |
0,39 |
11,964 |
0,78 | |
Февраль |
4,5 |
4,084 |
0,997 |
0,071 |
0,989 |
0,142 |
4,486 |
0,319 |
8,973 |
0,639 | ||
Март |
2,0 |
4,398 |
0,997 |
0,076 |
0,988 |
0,152 |
1,994 |
0,152 |
3,988 |
0,304 | ||
Апрель |
1,3 |
4,712 |
0,996 |
0,082 |
0,986 |
0,163 |
1,294 |
0,106 |
2,589 |
0,213 | ||
Май |
2,3 |
5,027 |
0,996 |
0,087 |
0,984 |
0,174 |
2,290 |
0,200 |
4,581 |
0,4 | ||
Июнь |
3,5 |
5,340 |
0,995 |
0,093 |
0,982 |
0,185 |
3,482 |
0,325 |
6,965 |
0,651 | ||
Июль |
4,8 |
5,655 |
0,995 |
0,098 |
0,980 |
0,196 |
4,776 |
0,470 |
9,552 |
0,940 | ||
Август |
5,8 |
5,969 |
0,994 |
0,103 |
0,978 |
0,206 |
5,765 |
0,597 |
11,530 |
1,194 | ||
Итого |
78 |
59,690 |
19 |
1 |
19 |
2 |
72 |
3,968 |
155,022 |
7,941 | ||
Прогноз на сентябрь 2015 г. |
- |
6,283 |
1,000 |
0,000 |
1,000 |
0,000 |
- |
- |
- |
- |
Похожие статьи
-
Основная теория сезонности временного ряда - Методы изучения сезонных колебаний. Примеры расчетов
Основными составляющими временного ряда являются тренд и сезонная компонента. Составляющие этих рядов могут представлять собой либо тренд, либо сезонную...
-
Необходимо провести прогноз товарооборота магазина "Ткани для дома" на тринадцатый день. Исходные данные: Таблица 2.1 - Ежедневный товарооборот магазина...
-
Эконометрическое моделирование и прогнозирование объемов таможенных платежей в регионе деятельности Ростовской таможни В настоящее время для...
-
Аналитическое выравнивание временного ряда. - Моделирование в эконометрике
Рассмотрим модель временного ряда yT = F (t) + , где F (t) - неслучайная составляющая (тренд, либо тренд и циклическая и (или) сезонная компонента,...
-
По данным динамики валют (вариант 14) выявить трендовую, периодическую и случайную составляющие ряда (T, S,E), оценить качество модели, сделать прогноз...
-
Модель временного ряда на примере продажи акций - Эконометрическое моделирование финансовых рынков
Рассмотрим пример на основе данных по ценам продажи акций. Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания...
-
Временные ряды - Эконометрическое моделирование финансовых рынков
При построении эконометрической модели используются два типа данных: 1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент...
-
Необходимо определить прогнозный товарооборот овощной палатки на следующий (одиннадцатый) день. Исходные данные: Таблица 1.1 - Товарооборот овощной...
-
Методы моделирования - Формализованные методы прогнозирования
Моделирование предполагает конструирование модели на основе предварительного изучения объекта или процесса, выделения ряда существенных характеристик или...
-
Проблема прогнозирования вероятности банкротства существует уже несколько десятков лет - все началось с работ Ramser, Foster (1931), Fitzpatrick (1932) и...
-
Лаговые модели - Экономическое моделирование временных рядов
Для многих экономических процессов характерно, что эффект от воздействия некоторого фактора на показатель, характеризующий процесс, оказывается не сразу,...
-
Модели сезонных колебаний - Ряды динамики в статистике
Сезонные колебания в ряду динамики характеризуются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (Is). Совокупность этих показателей...
-
Среди различных конфигураций искусственных нейронных сетей встречаются такие, при классификации которых по принципу обучения, строго говоря, не подходят...
-
Основные задачи анализа временных рядов. Базисная цель статистического анализа временного ряда заключается в том, чтобы по имеющейся траектории этого...
-
Моделирование сезонности в Excel - Методы изучения сезонных колебаний. Примеры расчетов
Рассмотрим сезонность ВВП: Для этого возьмем поквартальные данные Год Квартал ВВП 2001 I 1900,9 II 2105,0 III 2487,9 IV 2449,8 2002 I 2259,5 II 2525,7...
-
Временные ряды и прогнозирование - Эконометрика как наука
Временные ряды реализуют широкий набор методов описания, построения моделей, декомпозиции и прогнозирования временных рядов как во временной, так и в...
-
Выявим основные тенденции развития ряда динамики товарооборота, экспорта и импорта для стран СНГ и дальнего зарубежья. Для выравнивания ряда динамики...
-
Методы прогнозирования - Прогнозирующие системы
Методы прогнозирования можно разделить на два класса квалитативные и квантитативные, в зависимости от того, какие математические методы используются....
-
Аннотация - Точность математического прогнозирования как функция количества учитываемых факторов
В статье рассмотрена точность прогнозирования экономических показателей в зависимости от количества используемых параметров на основе математического...
-
Моделирование тенденции временного ряда - Эконометрическое моделирование финансовых рынков
Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от...
-
Спрос бюджетный множество потребитель Для индивидуального потребителя может быть сформулирована задача оптимизации выбора. Потребитель, имея доход,...
-
Приведем данные среднегодовой численности занятого населения Год Тыс. чел. 1996 2301,3 1997 2341,4 1998 2329,8 1999 2351,6 2000 2367,8 2001 2372,3 2002...
-
Примеры лаговых моделей в экономике - Экономическое моделирование временных рядов
Модель адаптивных ожиданий Моделью адаптивных ожиданий называется динамическая эконометрическая модель, которая учитывает предполагаемое (или желаемое)...
-
Модель Бокса и Дженкинса Процедуры оценки параметров и прогнозирования, описанные в разделе Идентификация модели временных рядов, предполагают, что...
-
Очевидно, что спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозирование...
-
Моделирование временной переменная автокорреляция Главным инструментом эконометрического исследования является модель. Выделяют три основных класса...
-
Временные ряды - Моделирование в эконометрике
Эконометрический модель регрессия ряд Понятие временного ряда. Основные характеристики временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных...
-
Экстраполяция тенденции как метод прогнозирования - Эконометрическое моделирование финансовых рынков
Основа большинства методов прогнозирования - экстраполяция тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в...
-
В состав системы эконометрических уравнений входят множество зависимых или эндогенных переменных и множество предопределенных переменных (лаговые и...
-
Экспоненциальное сглаживание - Моделирование в эконометрике
Дадим прогноз объема продаж на 1-й квартал для аддитивной модели, он будет равен трендовому значению F1= 5,612269. Дадим прогноз объема продаж на 19-й...
-
Компьютерный моделирование информационный экспериментальный При физическом моделировании предполагается физическая однородность объекта и модели, их...
-
1. Прогнозирование по среднему приросту осуществляется по формуле: Где t - порядковый номер периода; у0 - начальный уровень ряда; - средний абсолютный...
-
Выявление основной тенденции развития В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления...
-
Статистика основных показателей Наибольший удельный вес в товарной структуре экспорта в страны СНГ заняли следующие группы товаров: - продукция...
-
Критерии диагностики автокорреляции в лаговых моделях - Экономическое моделирование временных рядов
Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции, подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина...
-
Будем моделировать среднегодовую численность занятого населения с помощью показателей общей численности населения и миграционного прироста Среднегодовая...
-
Литература - Моделирование временного тренда среднегодовой численности занятого населения
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998. 2. Буре В. М. Евсеев Е. А. Основы эконометрики: Учеб....
-
Заключение - Моделирование временного тренда среднегодовой численности занятого населения
Программой социально-экономического развития Санкт-Петербурга на 2005-2008 годы предусматривается, что валовой региональный продукт в 2006 году по...
-
Рекурсивные системы, Модели временных рядов - Основы эконометрии
На практике стремятся упростить системы взаимозависимых моделей и привести их к так называемому рекурсивному виду. Для этого сначала выбирают эндогенную...
-
Введение - Моделирование временного тренда среднегодовой численности занятого населения
Петербург испытывает острый кадровый голод. Дефицит квалифицированных специалистов тормозит развитие экономики. По оценкам, в нашем городе более 65 тысяч...
Моделирование и прогнозирование временных рядов с периодическими колебаниями