Моделирование одномерных временных рядов - Моделирование на основе парной регрессии и корреляции. Моделирование одномерных временных рядов

По данным динамики валют (вариант 14) выявить трендовую, периодическую и случайную составляющие ряда (T, S,E), оценить качество модели, сделать прогноз на ближайшие несколько недель.

Мы можем представить эти данные в виде временного ряда и проанализировать полученный одномерный временной ряд в данной работе, а также попробовать осуществить прогноз значений курса доллара.

Таблица 3 - Исходные данные.

№ недели

День недели

Дата

Курс доллара

17

7

12.05.2013

31,0829

18

7

19.05.2013

31,3931

19

7

26.05.2013

31,3164

20

7

02.06.2013

31,7979

21

7

09.06.2013

32,2397

22

7

16.06.2013

31,8029

23

7

23.06.2013

32,7433

24

7

30.06.2013

32,7090

25

7

07.07.2013

33,2247

26

7

14.07.2013

32,6429

27

7

21.07.2013

32,4288

28

7

28.07.2013

32,6371

29

7

04.08.2013

33,0978

30

7

11.08.2013

32,8606

31

7

18.08.2013

32,9421

32

7

25.08.2013

33,0552

Для выявления структуры ряда необходимо рассчитать коэффициенты автокорреляции уровней 1-го и 2-го порядков.

Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

Временные ряды исследуются с различными целями. В одном ряде случаях бывает достаточно получить описание характерных особенностей ряда, а в другом ряде случаев требуется не только предсказывать будущие значения временного ряда, но и управлять его поведением. Метод анализа временного ряда определяется, с одной стороны, целями анализа, а с другой стороны, вероятностной природой формирования его значений.

Таблица 4 - Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда курса доллара

T

Yt

Yt-1

Yt-уср

Yt-1-уср

(yt-уср)*(yt-1-уср)

(yt-уср)2

(yt-1-уср)2

12.05.2013

1

31,0829

19.05.2013

2

31,3931

31,0829

-0,9803

-1,245

1,2205

0,961

1,55

26.05.2013

3

31,3164

31,3931

-1,057

-0,9348

0,9881

1,1172

0,8739

02.06.2013

4

31,7979

31,3164

-0,5755

-1,0115

0,5821

0,3312

1,0231

09.06.2013

5

32,2397

31,7979

-0,1337

-0,53

0,0709

0,0179

0,2809

16.06.2013

6

31,8029

32,2397

-0,5705

-0,0882

0,0503

0,3255

0,0078

23.06.2013

7

32,7433

31,8029

0,3699

-0,525

-0,1942

0,1368

0,2756

30.06.2013

8

32,709

32,7433

0,3356

0,4154

0,1394

0,1126

0,1726

07.07.2013

9

33,2247

32,709

0,8513

0,3811

0,3244

0,7247

0,1452

14.07.2013

10

32,6429

33,2247

0,2695

0,8968

0,2417

0,0726

0,8043

21.07.2013

11

32,4288

32,6429

0,0554

0,315

0,0175

0,0031

0,0992

28.07.2013

12

32,6371

32,4288

0,2637

0,1009

0,0266

0,0695

0,0102

04.08.2013

13

33,0978

32,6371

0,7244

0,3092

0,224

0,5248

0,0956

11.08.2013

14

32,8606

33,0978

0,4872

0,7699

0,3751

0,2374

0,5927

18.08.2013

15

32,9421

32,8606

0,5687

0,5327

0,3029

0,3234

0,2838

25.08.2013

16

33,0552

32,9421

0,6818

0,6142

0,4188

0,4649

0,3772

Итого

517,9744

484,9192

0

0,0007

4,7881

5,4226

6,5921

Среднее

32,3734

32,3279

Структуру временного ряда можно определить, рассчитав несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Автокорреляционной функцией называется функция оценки коэффициента автокорреляции в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами. В результате данных вычислений можно выявить лаг 1:

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и

Таблица 5 - Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда курса доллара

T

Yt

Yt-2

Yt-у3

Yt-2-у4

(yt-у3)*(yt-1-у4)

(yt-у3)2

(yt-2-у4)2

1

31,0829

2

31,3931

3

31,3164

31,0829

-1,2192

-1,2288

1,4982

1,4864

1,5099

4

31,7979

31,3931

-0,7377

-0,9186

0,6777

0,5442

0,8438

5

32,2397

31,3164

-0,2959

-0,9953

0,2945

0,0876

0,9906

6

31,8029

31,7979

-0,7327

-0,5138

0,3765

0,5368

0,264

7

32,7433

32,2397

0,2077

-0,072

-0,015

0,0431

0,0052

8

32,709

31,8029

0,1734

-0,5088

-0,0882

0,0301

0,2589

9

33,2247

32,7433

0,6891

0,4316

0,2974

0,4749

0,1863

10

32,6429

32,709

0,1073

0,3973

0,0426

0,0115

0,1578

11

32,4288

33,2247

-0,1068

0,913

-0,0975

0,0114

0,8336

12

32,6371

32,6429

0,1015

0,3312

0,0336

0,0103

0,1097

13

33,0978

32,7433

0,5622

0,4316

0,2426

0,3161

0,1863

14

32,8606

32,709

0,325

0,3973

0,1291

0,1056

0,1578

15

32,9421

33,0978

0,4065

0,7861

0,3195

0,1652

0,618

16

33,0552

32,8606

0,5196

0,5489

0,2852

0,27

0,3013

Итого

455,4984

452,3635

3,9962

4,0932

6,4232

Среднее

32,5356

32,3117

Коэффициент автокорреляции второго порядка:

.

По полученным результатам видно, что значение коэффициента автокорреляции первого порядка больше значения коэффициента автокорреляции второго порядка, следовательно можно сделать вывод о том, что анализируемый ряд динамики курса доллара содержит только тенденцию (тренд).

Построим график, характеризующий динамику курса доллара:

динамика курса доллара

Рисунок 3 - Динамика курса доллара

Из построенного графика, предположим наличие линейного тренда в динамике курса доллара.

Рассчитаем цепные абсолютные приросты по формуле:

.

Таблица 6 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.

T

Yt

?

1

31,0829

-

2

31,3931

0,3102

3

31,3164

-0,0767

4

31,7979

0,4815

5

32,2397

0,4418

6

31,8029

-0,4368

7

32,7433

0,9404

8

32,709

-0,0343

9

33,2247

0,5157

10

32,6429

-0,5818

11

32,4288

-0,2141

12

32,6371

0,2083

13

33,0978

0,4607

14

32,8606

-0,2372

15

32,9421

0,0815

16

33,0552

0,1131

По данным ц Const - выполним моделирование ряда динамики курса доллара с использованием аддитивной модели.

Выравним исходный ряд методом скользящей средней:

    1) а) суммируем уровни ряда последовательно за четыре недели со сдвигом на один момент времени; Б) полученные суммы делим на четыре и находим скользящие средние; В) приводим эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находим средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние. 2) Оценки сезонной компоненты находятся, как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Эти оценки далее будем использовать для расчета значений сезонной компоненты "S"

Таблица 7 - Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели.

T

Yt

Итого за 4 недели

Скользящая средняя

Центрированная средняя

Оценка сезонной компоненты

1

31,0829

2

31,3931

125,5903

31,3976

3

31,3164

126,7471

31,6868

31,5422

-0,2258

4

31,7979

127,1569

31,7892

31,738

0,0599

5

32,2397

128,5838

32,146

31,9676

0,2721

6

31,8029

129,4949

32,3737

32,2599

-0,457

7

32,7433

130,4799

32,62

32,4969

0,2464

8

32,709

131,3199

32,83

32,725

-0,016

9

33,2247

131,0054

32,7514

32,7907

0,434

10

32,6429

130,9335

32,7334

32,7424

-0,0995

11

32,4288

130,8066

32,7017

32,7176

-0,2888

12

32,6371

131,0243

32,7561

32,7289

-0,0918

13

33,0978

131,5376

32,8844

32,8203

0,2775

14

32,8606

131,9557

32,9889

32,9367

-0,0761

15

32,9421

16

33,0552

Итого

517,9744

Среднее

32,3734

Таблица 8 - Расчет значений циклической компоненты в аддитивной модели

Показатели

Месяц

Неделя

1

2

3

4

1

0

0

-0,2258

0,0599

2

0,2721

-0,457

0,2464

-0,016

3

0,434

-0,0995

-0,2888

-0,0918

4

0,2775

-0,0761

0

0

Итого за i-ый квартал

0,9836

-0,6326

-0,2682

-0,0479

Средняя оценка сезонной компоненты

0,3279

-0,2109

-0,0894

-0,016

Скорректированная сезонная компонента

0,325

-0,2138

-0,0923

-0,0189

Далее выявляем средние за каждый период оценки сезонной компоненты Si. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты за все недели должна быть равна нулю.

По средним значениям сезонной компоненты распределяем равномерно превышение (занижение) этой суммы нулю.

Для устранения влияния циклической компоненты, вычтем ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Полученные данные Т+Е=уt-Si рассчитываются за каждый момент времени и содержат только случайную компоненту и тенденцию.

Определим значение теоретических уровней ряда (Т) с помощью аналитического выравнивания по прямой способом расчета от условного нуля.

Таблица 9 - Аналитическое выравнивание ряда динамики способом расчета от условного нуля

Неделя

(у)

T

Yt

T2

Т=32,3734+0,1132t

1

31,0829

-8

-248,6632

64

31,4678

2

31,3931

-7

-219,7517

49

31,581

3

31,3164

-6

-187,8984

36

31,6942

4

31,7979

-5

-158,9895

25

31,8074

5

32,2397

-4

-128,9588

16

31,9206

6

31,8029

-3

-95,4087

9

32,0338

7

32,7433

-2

-65,4866

4

32,147

8

32,709

-1

-32,709

1

32,2602

9

33,2247

1

33,2247

1

32,4866

10

32,6429

2

65,2858

4

32,5998

11

32,4288

3

97,2864

9

32,713

12

32,6371

4

130,5484

16

32,8262

13

33,0978

5

165,489

25

32,9394

14

32,8606

6

197,1636

36

33,0526

15

32,9421

7

230,5947

49

33,1658

16

33,0552

8

264,4416

64

33,279

Сумма

517,9744

46,1683

408

517,9744

Произведем расчет параметров линейного тренда по формулам:

А0 = Уу/п = 517,9744: 16 = 32,3734

A1 = Уyt / Уt2 = 46,1683: 408 = 0,1132

Таким образом, по результатам аналитического выравнивания по прямой получено следующее уравнение тренда: Т=32,3734+0,1132t.

В итоге выравнивания временного ряда получают обобщенный (суммарный), проявляющийся во времени результат действия всех факторов влияющих на развития изучаемого явления во времени.

При проведение аналитического выравнивания определяется зависимость, при этом выбирается такая функция, чтобы она показывала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Полученное значение параметра a1 показывает, что в течение анализируемого периода курс доллара еженедельно повышался в среднем на 0,1132 руб.

Для определения теоретических уровней "Т", подставим в уравнение тренда значение t.

В результате уровни временного ряда, полученные по данной аддитивной модели будут выражены: Т + S.

Ошибка рассчитывается по формуле:

E = y - (T + S).

Таблица 10 - Расчет выровненных значений "Т" и ошибок "Е" в аддитивной модели

T

S

Т

T+S

E=y-(T+S)

E2

У-уср

(у-уср)2

1

0,325

31,4678

31,7928

-0,7099

0,504

-1,2905

1,66539

2

-0,2138

31,581

31,3672

0,0259

0,0007

-0,9803

0,96099

3

-0,0923

31,6942

31,6019

-0,2855

0,0815

-1,057

1,11725

4

-0,0189

31,8074

31,7885

0,0094

0,0001

-0,5755

0,3312

5

0,325

31,9206

32,2456

-0,0059

0

-0,1337

0,01788

6

-0,2138

32,0338

31,82

-0,0171

0,0003

-0,5705

0,32547

7

-0,0923

32,147

32,0547

0,6886

0,4742

0,3699

0,13683

8

-0,0189

32,2602

32,2413

0,4677

0,2187

0,3356

0,11263

9

0,325

32,4866

32,8116

0,4131

0,1707

0,8513

0,72471

10

-0,2138

32,5998

32,386

0,2569

0,066

0,2695

0,07263

11

-0,0923

32,713

32,6207

-0,1919

0,0368

0,0554

0,00307

12

-0,0189

32,8262

32,8073

-0,1702

0,029

0,2637

0,06954

13

0,325

32,9394

33,2644

-0,1666

0,0278

0,7244

0,52476

14

-0,2138

33,0526

32,8388

0,0218

0,0005

0,4872

0,23736

15

-0,0923

33,1658

33,0735

-0,1314

0,0173

0,5687

0,32342

16

-0,0189

33,279

33,2601

-0,2049

0,042

0,6818

0,46485

Сумма

517,9744

517,974

1,6696

7,08798

Произведем оценку качества модели на основании соотношения суммы квадратов абсолютных ошибок к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня:

Экономический котировка доллар прибыльность

Сделаем прогноз курса доллара на ближайшие четыре недели. Для этого суммируем трендовую и сезонную компоненты

У = Т + S,

Используя уравнение тренда Т=32,3734+0,1132t, руб.:

В результате получаем следующие данные

У =33,3922+0,325= 33,7172

У=33,5054-0,2138= 33,2916

У=33,6186-0,0923= 33,5956

У=33,7318-0,0189=33,7129

В данной работе мы взяли одномерный временной ряд и попробовали осуществить прогнозирование будущих значений выбранной нами экономической переменной с помощью подобранной нами модели. Создание модели значений котировок доллара по отношению к рублю является довольно актуальным, так как многие инвесторы и другие люди хотели бы быть способны предсказать значения котировки с целью повышения прибыльности своих предприятий и увеличения своего благосостояния.

Похожие статьи




Моделирование одномерных временных рядов - Моделирование на основе парной регрессии и корреляции. Моделирование одномерных временных рядов

Предыдущая | Следующая