Виды структуры оператора запаздывания во времени экзогенных переменных - Экономическое моделирование временных рядов

Модель Бокса и Дженкинса

Процедуры оценки параметров и прогнозирования, описанные в разделе Идентификация модели временных рядов, предполагают, что математическая модель процесса известна. В реальных данных часто нет отчетливо выраженных регулярных составляющих. Отдельные наблюдения содержат значительную ошибку, тогда как вы хотите не только выделить регулярные компоненты, но также построить прогноз. Методология АРПСС, разработанная Боксом и Дженкинсом (1976), позволяет это сделать. Данный метод чрезвычайно популярен во многих приложениях, и практика подтвердила его мощность и гибкость (Hoff, 1983; Pankratz, 1983; Vandaele, 1983). Однако из-за мощности и гибкости, АРПСС - сложный метод. Его не так просто использовать, и требуется большая практика, чтобы овладеть им. Хотя часто он дает удовлетворительные результаты, они зависят от квалификации пользователя (Bails and Peppers, 1982). Следующие разделы познакомят вас с его основными идеями. Для интересующихся кратким, рассчитанным на применение, (нематематическим) введением в АРПСС, рекомендуем книгу McCleary, Meidinger, and Hay (1980). [2, с. 236]

Процесс авторегрессии. Большинство временных рядов содержат элементы, которые последовательно зависят друг от друга. Такую зависимость можно выразить следующим уравнением:

Xt = + 1*x(t-1) + 2*x(t-2) + 3*x(t-3) + ... +

Здесь:

- константа (свободный член),

1, 2, 3 - параметры авторегрессии.

Вы видите, что каждое наблюдение есть сумма случайной компоненты (случайное воздействие, ) и линейной комбинации предыдущих наблюдений.

Требование стационарности. Заметим, что процесс авторегрессии будет стационарным только, если его параметры лежат в определенном диапазоне. Например, если имеется только один параметр, то он должен находиться в интервале -1<<+1. В противном случае, предыдущие значения будут накапливаться и значения последующих xt могут быть неограниченными, следовательно, ряд не будет стационарным. Если имеется несколько параметров авторегрессии, то можно определить аналогичные условия, обеспечивающие стационарность (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, 1990).

Процесс скользящего среднего. В отличие от процесса авторегрессии, в процессе скользящего среднего каждый элемент ряда подвержен суммарному воздействию предыдущих ошибок. В общем виде это можно записать следующим образом:

Xt = µ + t - 1*(t-1) - 2*(t-2) - 3*(t-3) - ...

Здесь:

µ - константа,

1, 2, 3 - параметры скользящего среднего.

Другими словами, текущее наблюдение ряда представляет собой сумму случайной компоненты (случайное воздействие, ) в данный момент и линейной комбинации случайных воздействий в предыдущие моменты времени.

Обратимость. Не вдаваясь в детали, отметим, что существует "двойственность" между процессами скользящего среднего и авторегрессии (см. например, Бокс и Дженкинс, 1976; Montgomery, Johnson, and Gardiner, 1990). Это означает, что приведенное выше уравнение скользящего среднего можно переписать (обратить) в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот. Это так называемое свойство обратимости. Имеются условия, аналогичные приведенным выше условиям стационарности, обеспечивающие обратимость модели.

Распределенный лаг Алмона

Обычная проблема, возникающая в множественной регрессии, состоит в том, что соседние значения x сильно коррелируют. В самом крайнем случае, это приводит к тому, что корреляционная матрица не будет обратимой и коэффициенты бета не могут быть вычислены. В менее экстремальных ситуациях вычисления этих коэффициентов и их стандартные ошибки становятся ненадежными из-за вычислительных ошибок (ошибок округления). В контексте множественной регрессии эта проблема хорошо известна как проблема мультиколлинеарность.

Алмон (1965) предложил специальную процедуру, которая в данном случае уменьшает мультиколлинеарность. Именно, пусть каждый неизвестный коэффициент записан в виде:

I = 0 + 1*i + ... + q*iq

Алмон показал, что во многих случаях (в частности, чтобы избежать мультиколлинеарности) легче оценить коэффициенты альфа, чем непосредственно коэффициенты бета. Такой метод оценивания коэффициентов бета называется полиномиальной аппроксимацией.

Неправильная спецификация. Общая проблема полиномиальной аппроксимации, состоит в том, что длина лага и степень полинома неизвестны заранее. Последствия неправильного определения (спецификации) этих параметров потенциально серьезны (в силу смещения, возникающего в оценках при неправильном задании параметров).

Пример. Имеются следующие данные (х -- доход, ден. ед., y -- расход на потребление некоторого блага; табл. 1).

Таблица 1

Условное время

X

Y

Z0

Z1

Z2

1

11,4

13,2

-

-

-

2

11,8

14

-

-

-

3

7,1

12,5

-

-

-

4

10,4

13

40,7

64,9

156,9

5

7,5

11,5

36,8

60

145

6

14

13,8

39

49,6

113

7

9,9

13,8

41,8

60,2

137,6

8

14,4

15,9

45,8

60,4

133,4

9

9

14

47,3

76,2

180

10

9,4

13,3

42,7

67,5

155,7

11

14,9

15,7

47,7

70,6

175

12

15,3

16,9

48,6

60,7

133,5

13

12,8

16,5

52,4

73,3

159,5

14

14,8

17,6

57,8

88,1

208,1

15

9,6

15,3

52,5

86,3

203,7

16

18

18,1

55,2

77,6

184

17

11,3

16,8

53,7

81,6

189,6

18

9,8

14,8

48,7

76,1

169,7

Пусть число лагов равно трем и веса в модели Алмон подчиняются полиному второй степени, т. е.

Тогда модель примет вид:

После оценки параметров получим эмпирическое уравнение регрессии:

Следовательно

Возвращаясь к исходным переменным, получим:

Нелинейный метод наименьших квадратов. Метод Койка

В случае если модель с распределенным лагом характеризуется бесконечной величиной максимального лага L, то для оценивания неизвестных параметров данной модели применяются нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка. При ???м исходят из предположения о геометрической структуре лага, т. е. влияние лаговых значений факторной переменной на результативную переменную уменьшается с увеличением величины лага в геометрической прогрессии.

В случае если в модель включена только одна объясняющая переменная, то ее можно представить в виде:

В модели с распределенным лагом (1) неизвестными будут три параметра: в0, в1 и л. Найти оценки данных параметров с помощью традиционного метода наименьших квадратов невозможно по нескольким причинам, по???му в данном случае могут быть использованы нелинейный метод наименьших квадратов и метод Койка

Суть нелинейного метода наименьших квадратов состоит по сути в том, что для параметра

Л определяются значения в интервале [-1;+1] с определенным шагом, например, 0,05 (чем меньше шаг, тем точнее будет результат).

Несмотря на то, что метод Койка очень удобен в вычислительном отношении (оценки параметровв0, в1 и л можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов), оценки, полученные с его помощью, будут смещенными и несостоятельными, т. к. нарушается первое условие нормальной линейной модели регрессии.

Похожие статьи




Виды структуры оператора запаздывания во времени экзогенных переменных - Экономическое моделирование временных рядов

Предыдущая | Следующая