Система філософії математики Аристотеля - Філософія і математика

Аристотеля (384-322 р. до н. е.) по праву був названий "найбільшим філософом стародавності". Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики й естетики, поставлені в науці Древньої Греції, одержали в Аристотеля повне і всебічне висвітлення. У математиці він, очевидно, не проводив конкретних досліджень, однак найважливіші сторони математичного пізнання були піддані ним глибокому філософському аналізові, що послужив методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель поставив питання про необхідність упорядкування самого знання про способи засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних розділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладові методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу як ілюстрації загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, який був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно до Аристотеля, являється вчення, яке "основано на (некотором) уже ранее имеющемся знании... Как математические науки, так и каждое из прочих искусств приобретается (именно) таким способом"[1, ст. 169]. Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому труднощі. Аналіз варто проводити з метою з'ясування чотирьох питань:"що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є".

Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", являється принцип зведення усього до начал і відтворення усього з начал. Універсальним процесом виробництва знань з начал, відповідно до Аристотеля, виступає доказ. "Доказательством же я называю силлогизм, - пише він, - который дает знания"[2, ст. 201]. Викладові теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати в розділи, кожний з яких розкриває одну з трьох основних сторін математики як довідної науки: "те, відносно чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкту, предмету і засобам доказу.

Існування математичних об'єктів визнавалося задовго до Аристотеля, однак піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:

    1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "находиться в том же самом месте два тела не в состоянии"[2, ст. 144]; 2. "Невозможно и то, чтобы такие реальности существовали обособленно"[2, ст. 144].

Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить" [2,ст.145]. Множиною при цьому називається те, "что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною - то, что делится на части непрерывные" [2,ст.145]. Перш ніж дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття нескінченного, так як "воно відноситься до категорії кількості" і виявляється насамперед у безперервному.

Чи існує нескінченне як окрема сутність чи воно являється акциденцією величини або множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що "если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а само является сущностью..., то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не бесконечно в смысле непроходимого до конца".[2,ст.147]. Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне нескінченне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час нескінченне" не існує, адже "...если возможно пересчитать счислимое, то будет возможность пройти до конца и бесконечное"[2, ст. 147]. Таким чином, нескінченність тут у потенції існує, актуально ж - немає.

Спираючи на викладене вище розуміння нескінченного, Аристотель визначає безперервність і переривчастість. Так, "безперервне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, випливаючи за іншим, стосується його". Число як типово перериване (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів - одиниць.

Геометричним аналогом одиниці являється точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що "точкам, з яких було б складено безперервне, необхідно або бути безперервними, або дотикатися одна одної". Але безперервними вони не будуть: "адже краї точок не утворять чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини". Точки не можуть і дотикатися одна одної, оскільки дотикаються "усі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно дотикатися цілком, але дотикаючі цілком не утворить безперервного".

Неможливість складання безперервного з неподільних і необхідність його розподілу на завжди ділені частини, установлені для величини, Аристотель поширює на рух, простір і час, обгрунтовуючи (наприклад, у "Фізику") правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійде висновку, що визнання неподільних величин суперечить основним властивостям руху. Виділення безперервного і перериваного як різних родів буття послужило основою для розмежування у логіко-гносеологічній області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

"Началами... в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина существует, также следует принять, другое - доказать"[2, ст. 148]. У питанні про появу в людей здатності пізнання начал Аристотель не погоджується з точкою зору Платона про уродженість таких здібностей, але і не допускає можливості придбання їх; тут він пропонує наступне рішення: "необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности"[2, ст. 148]. Але така можливість, мабуть, властива всім живим істотам; справді, вони мають природжену здатність розбиратися, що називається почуттєвим сприйняттям. Формування начал йде "від попереднього і більш відомого для нас", тобто від того, що ближче до почуттєвого сприйняття до "попереднього і більш відомого безумовно" (таким являється загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію начал, виходячи з різних ознак.

По-перше, він виділяє "начала, з яких (що-небудь) доводиться, і такі, про які (доводиться)". Перші "суть загальні (усім начала)", другі - "властиві (лише даній науці), наприклад, число, величина". У системі начал загальні займають ведуче місце, але їх недостатньо, тому що "серед загальних начал не може бути таких, з яких можна було б довести всі". Цим і зумовлюється, що серед начал повинні бути "одні властиві кожній науці окремо, інші - загальні всім". По-друге, начала поділяються на дві групи у залежності від того, що вони розкривають: існування об'єкта або наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс начал доказуючої науки поділяється на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір начал в Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доводить; саме начала характеризують науку як дану, виділяють її з ряду інших наук. "Те, що доводиться", можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний доказовий силогізм і його висновки. З цих елементарних процесів будується доказова науки у виді окремо узятої теорії. З них же створюється і наука як система теорій. Однак не всякий набір доказів утворить теорію. Для цього він повинен відповідати визначеним вимогам, що охоплюють як зміст доказуваних пропозицій, так і зв'язок між ними. У межах же наукової теорії мають місце ряд допоміжних визначень, які не являються первинними, але служать для розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і не були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, але по змісту в сукупності вони утворять повну систему. В основі філософії математики Аристотеля лежить розуміння математичних знань як відображення об'єктивного світу. Ця установка зіграла важливу роль у боротьбі Аристотеля з платонівським ідеалізмом; адже "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?"[2, ст. 150] - писав він. Зрозуміло, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, у цілому його погляди в більшій мірі відповідали потребам математичного пізнання, ніж погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування ряду розділів його філософської системи.

Похожие статьи




Система філософії математики Аристотеля - Філософія і математика

Предыдущая | Следующая