Общее решение, Общее решение в орбитальных координатах - Математическое моделирование движения небесных тел

Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения.

Общее решение в орбитальных координатах

В этом разделе рассматривается движение тела M в орбитальных прямоугольной M0??? и цилиндрической M0rv? системах координат. Положение орбитальной системы координат в пространстве определяется тремя кеплеровскими элементами ?,i,?. Долгота восходящего узла ? и

Наклонение i определяют положение плоскости орбиты M0??, а аргумент перицентра ? определяет положение оси M0? в плоскости орбиты. При переходе от относительной системы M0xyz к орбитальной системе M0??? кеплеровские элементы ?,i,? считаются известными. Поэтому общее решение в орбитальной системе координат зависит только от трех оставшихся кеплеровских элементов p, e,?, которые можно рассматривать как произвольные постоянные. Это отражено в последующей формуле, в которой фокальный параметр p, эксцентриситет e и время прохождения через перицентр ? входят в общее решение для орбитальной системы ?, ?, ??, ??, ?=0, ??=0, а элементы ?,i,? появляются только при переходе к относительной системе координат посредством направляющих косинусов ??,??,??,?!,?',?'.

Задача определения общего решения в орбитальных координатах сводится к получению зависимостей:

?, ?, ??, ??

R, v, r?, v?

t, p, e.? ,- для прямоугольной системы M0??? ,

T, p, e, ? ,- для цилиндрической системы M0rv? , (1.23)

А аппликата ? и ее производная ?? тождественно равны нулю.

Уравнение орбиты в полярных координатах связывает переменные r и v. Для вывода зависимости величин r и v от времени рассмотрим интеграл площадей в цилиндрической системе координат. Сначала при c1=c2=0 и c3=c с учетом ?=??=0 запишем интеграл площадей в орбитальных декартовых координатах в виде

, (1.24)

А затем путем замены переменных

,

(1.25)

Из (1.23) получим интеграл площадей в цилиндрической системе координат M0rv?

, (1.26)

Где r определяется формулой (1.8).

Интегрируя это равенство, получим зависимость времени t от истинной аномалии v в виде

(1.27)

Где произвольная постоянная ? (момент прохождения через перицентр) соответствует значению истинной аномалии v=0. Это уравнение мы будем использовать в дальнейшем вместо интеграла, зависящего явно от времени.

(1.28)

Подставляя полученные значения для v? и r? в выражения (1.25) для ?? и ?? и учитывая, что зависимость t от v задается формулой (1.27), получим общее решение в орбитальной цилиндрической системе координат

(1.29)

С учетом (1.29) общее решение в орбитальных прямоугольных координатах будет задаваться формулами (1.25) после обращения интеграла (1.27), т. е. получения зависимости истинной аномалии v от времени t.

Радиальная и трансверсальная компоненты скорости движения тела M представляются в виде

(1.30)

А сама скорость записывается в виде:

(1.31)

Похожие статьи




Общее решение, Общее решение в орбитальных координатах - Математическое моделирование движения небесных тел

Предыдущая | Следующая