Моделирование траектории движения небесных тел, Уравнения орбиты в относительных координатах - Математическое моделирование движения небесных тел

Орбиту можно получить как линию пересечения двух поверхностей. Уравнение одной поверхности - это уравнение плоскости орбиты. Уравнение второй поверхности выведем далее с помощью векторного интеграла Лапласа.

Уравнения орбиты в относительных координатах

Умножение интеграла Лапласа скалярно на вектор

(1.1)

Позволяет получить соотношение, не содержащее скорость. Осуществляя циклическую перестановку в смешанном произведении векторов, уравнение (1.1) перепишем в виде

(1.2)

Это уравнение в трехмерном пространстве координат определяет некоторую поверхность. Учитывая, что уравнение (1.2) получено из интеграла Лапласа, указанную поверхность будем называть поверхностью Лапласа.

Траекторию движения тела тогда можно получить как пересечение поверхности Лапласа (1.2) с плоскостью орбиты и представить в виде системы двух уравнений

, (1.3)

В орбитальной системе координат, т. е. при,

, , уравнения орбиты преобразуются к виду

, . (1.4)

Из первого уравнения в (1.4) видно, что поверхность Лапласа (1.3) является осесимметричной поверхностью второго порядка. Чтобы дать более точную характеристику этой поверхности, а вместе с ней и орбиты, осуществим переход к сферической системе координат при помощи преобразования:

,, , (1.5)

фрагмент поверхности лапласа для

Рис. 1.1. Фрагмент поверхности Лапласа для.

Точка иллюстрирует текущую точку поверхности в системах координат и соответственно, где l - долгота, отсчитываемая в плоскости от оси ? в положительном направлении, v - полярное расстояние, отсчитываемое от оси (т. е. от вектора ?). В любой плоскости, проходящей через ось, величину v можно рассматривать как полярный угол, отсчитываемый от полярной оси. Общий вид части поверхности Лапласа (для ) показан на рис. 1.1.

Используя формулы (1.6), из (1.5) получим уравнения орбиты в сферической системе координат в виде

,

. (1.6)

Так как долгота l не входит в первое уравнение системы (1.7) (уравнение поверхности Лапласа), то можно заключить, что эта поверхность является поверхностью вращения вокруг оси.

Преобразуем первое уравнение системы (1.7) путем разрешения его относительно r, а, исключая из рассмотрения прямолинейное движение (т. е. полагая c=0, r=0, v=0), второе уравнение (плоскости орбиты) представим в виде равенства l=0. Тогда систему (1.7) можно записать в виде

, l=0, (1.7)

Где введены обозначения

. (1.8)

Таким образом, траекторию в плоскости движения тела можно записать в виде фокального уравнения кривой второго порядка в полярных координатах (r, v) с полюсом M0, расположенным в одном из фокусов:

, (1.9)

Где p - фокальный параметр кривой, e - ее эксцентриситет, а v - полярный угол, отсчитываемый от фокальной оси.

Кривая (1.10) может быть эллипсом, параболой, гиперболой и их вырождениями - отрезками и лучами прямых. Вращением этой кривой вокруг полярной оси получается поверхность, которая может оказаться эллипсоидом вращения, параболоидом вращения, двуполостным гиперболоидом вращения, отрезком или лучом прямой.

Полярный угол v в уравнении орбиты отсчитывается от направления на ближайшую к телу точку кривой, которое задается вектором ?. Этот угол в астрономии называется истинной аномалией. Ближайшая точка орбиты называется перицентром, наиболее удаленная - апоцентром. Для реальных небесных тел используются конкретные названия: для Земли - перигей и апогей, для Солнца - перигелий и афелий, для Юпитера - перииовий и апоиовий, для Луны - периселений и апоселений, для звезды - периастр и апоастр, для Марса - перимарсий и апомарсий, для Венеры - перивенерий и аповенерий и т. п.

Фокальную ось называют также линией апсид орбиты, а точки ее пересечения с орбитой - апсидами. Апсиды совпадают с вершинами кривой второго порядка.

Похожие статьи




Моделирование траектории движения небесных тел, Уравнения орбиты в относительных координатах - Математическое моделирование движения небесных тел

Предыдущая | Следующая