Интегрирование уравнений промежуточного движения - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

В этой части мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты спутника. Для этого мы воспользуемся методом Гамильтона -- Якоби и сфероидальными координатами которые связаны с прямоугольными координатами х, у, z формулами

(2.2.1)

Согласно в уравнениях (2.1.6) функция W определяется так:

Где

Поэтому в новых координатах функция W запишется в виде

(2.2.2)

Где

Пусть теперь Т -- кинетическая энергия спутника:

В координатах она будет дана формулой

(2.2.3)

Определяя импульсы формулами

(2.2.4)

Из (2.2.3) найдем

(2.2.5)

Дифференциальные уравнения промежуточного движения теперь запишутся в виде

(2.2.6)

Где

(2.2.7)

Система (2.2.6) имеет интеграл энергии

(2.2.8)

Где -- постоянная интегрирования. Составляя при помощи (2.2.8), (2.2.5) и (2.2.2) уравнение Гамильтона -- Якоби, получим

(2.2.9)

Полный интеграл этого уравнения будем искать в виде

Где -- произвольная постоянная. Тогда для определения функций и приходим к следующим уравнениям:

Где -- произвольная постоянная. Поэтому

(2.2.10)

Здесь и -- постоянные, которые будут определены позже, а и имеют вид

(2.2.11)

Общий интеграл системы (2.2.6) будет даваться уравнениями

Записывая первые из них в развернутой форме, имеем

(2.2.12)

Где -- произвольные постоянные.

Из (2.2.12) легко находим следующие уравнения:

(2.2.13)

Если теперь вместо t ввести новую независимую переменную по формуле

То из уравнений (2.2.13) найдем

(2.2.14)

Где и -- постоянные интегрирования, а и определим позже.

Итак, задача свелась к обращению квадратур (2.2.14). После того как мы найдем и в виде явных функций, третья координата определится следующей квадратурой:

(2.2.15)

Которая легко выводится из третьего уравнения (2.2.13). Связь же переменной с временем t дается уравнением

(2.2.16)

В уравнениях (2.2.15) и (2.2.16) и -- произвольные постоянные, a -- начальный момент времени.

Формулы (2.2.14) -- (2.2.16) содержат семь постоянных. Но, как будет показано далее, постоянные и входят в окончательные формулы только посредством комбинации. Поэтому независимыми являются шесть постоянных.

Замечания:

В этой главе мы свели дифференциальные уравнения промежуточного движения к квадратурам и рассмотрели в общих чертах качественную сторону задачи. [9]

Похожие статьи




Интегрирование уравнений промежуточного движения - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

Предыдущая | Следующая