Математическая модель и инструментарий расчета, Математическая модель - Расчет траекторий перелета с низкой околоземной орбиты в окрестности коллинеарных точек либрации системы Солнце
Математическая модель
В данной работе, для описания движения КА, была использована вращающаяся система координат с фиксированным направлением Солнце-Земля, центр которой находится в точке L2. Ось X направлена вдоль прямой, соединяющей Солнце и Землю, в направлении от Солнца к Земле, ось Z направлена к северному полюсу эклиптики, ось Y дополняет систему до правой тройки. Схематичное изображение системы координат представлено на Рис. 2.1.
Рис. 2.1. Система координат
В некоторой инерциальной системе координат уравнения движения КА для системы N-массивных тел могут быть представлены в виде:
,(2.12.2@ * MERGEFORMAT )
Где - гравитационная постоянная, - количествo притягивающих центрoв, R - радиус-вектор КА, - мaсса i-гo тела, - радиус-вектор i-го телa.
В случае ограниченной задачи трех тел, где количество массивных тел, при переходе вращающейся системе координат, уравнения (2.1), представленные выше, могут быть приведены к следующему виду [7], [9], [10]:
(2.2)
Где - зависящий от масс тел параметр, - возмущающие ускорения, являющиеся функциями координат КА.
В результате линеаризации системa (2.2) может быть приведенa к виду [1], [6], [9], [11]:
(2.3)
Система (2.3) имеет решение в виде:
(2.4)
Где, , , ,
, - фаза колебаний в плоскости XY, - фаза колебаний по оси Z. Коэффициенты, , , и фазы, непрерывно зависят от начальных условий.
Рeшeния и составляют линейную комбинацию трех характеристик: возрастающей по модулю (неустойчивой) A1EЛt, убывающей по модулю к нулю (устойчивой) A2E-лt частей и ограниченной. Поиск вектора состояния, соответствующего определенной ограниченной орбите, сводится к поиску начальных условий, где значение коэффициента A1 Будет равным нулю.
Поиск начальных условий, приводящих к ограниченному решению задачи (2.1) вблизи точки либрации, осуществляется с учетом предположения, что во вращающейся системе координат решение может быть представлено:
(2.5)
Гдe, , - непрерывные функции своих аргументов, ограниченные по t, , - непрерывные функции своих аргументов, по убывающие по модулю при возрастании t и, - нeпрерывные функции своих аргументов, возрастающие по модулю при возрастании. Причeм, возрастают по первому аргументу и.
Соответствующие нулевому коэффициенту решения образуют устойчивое многообразие, характерное тем, что при они не покидают ограниченной окрестности точки L2. Аналогично, соответствующие нулевому коэффициенту решения образуют неустойчивое многообразие, характерное тем, что при они не покидают ограниченной окрестности точки L2 [12][13][14].
Представление решения уравнений движения в виде (2.5) позволяет построить алгоритм подбора начальных условий, обеспечивающих равенство нолю коэффициента и приводящих к ограниченной орбите вокруг точки либрации.
Похожие статьи
-
Математическая модель Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы...
-
Математическая модель Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы...
-
Поскольку решения уравнений (2.2), описывающих движение КА в окрестности точек либрации, являются неустойчивыми, поиск начальных условий, приводящих к...
-
Поскольку характеристики околоземной орбиты зависят от времени старта и космодрома, с которого осуществляется запуск, далеко не все комбинации...
-
В работе реализована методика расчета ограниченных орбит вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля. Движение КА в окрестности точки либрации...
-
Типы ограниченных орбит вокруг точки L2 системы Солнце-Земля Анализируя решение (2.4) линеаризованной системы (2.3), можно заключить, что амплитуды...
-
Интегрирование уравнений движения осуществляется численно, поэтому начальные условия, обеспечивающие минимизацию возрастающей компоненты, подбираются...
-
Целью работы является разработка инструментария, позволяющего рассчитывать траектории перелета от Земли в окрестность точки либрации L2 системы...
-
В рамках данной работы производился расчет параметров отлетного вектора при заданных ограничениях на геометрию орбиты. С учетом заданных характеристик Az...
-
В системах двух массивных тел, вращающихся вокруг общего барицентра с постоянной угловой скоростью, существует пять точек, будучи помещенным в которые,...
-
При старте с круговой орбиты заданной высоты, вывод на которую осуществляется с определенного космодрома, диапазон характеристик орбиты вокруг точки L2,...
-
Известно, что перелет на орбиту вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля может быть осуществлен совершением одного импульса на низкой околоземной...
-
Блок-схема, представленная на Рис.2. 2 в предыдущем разделе, подходит для описания алгоритма подбора величины импульса. Как было замечено ранее, чтобы...
-
Как было сказано в предыдущем разделе, для длительного удержания КА на гало-орбите требуется, чтобы коэффициент перед возрастающей компонентой равнялся...
-
Стратегиям удержания КА на ограниченных орбитах (гало-орбитах, орбитах Лиссажу и прочих) посвящены многие статьи. В данном разделе приведены краткие...
-
Рис. 33 Иллюстрирует эволюцию максимального отклонения от номинальной траектории при изменении начального положения аппарата. На рисунке представлены...
-
Точками либрации в ограниченной задаче трех тел, описывающей движение тела малой массы в гравитационном поле, создаваемом двумя массивными телами,...
-
Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения положения КА, скорости КА, а также величину и направление...
-
Эффективная коррекция орбиты КА в окрестности точки либрации подразумевает изменение скорости КА с целью компенсации влияния возрастающей компоненты (4)....
-
Стратегиям удержания КА на ограниченных орбитах (гало-орбитах, орбитах Лиссажу и прочих) посвящены многие статьи. В данном разделе приведены краткие...
-
Зависимость направления неустойчивости от координат X, Y КА образует поверхность, проекции которой представлены на рис. 36-38. Рис. 36. Точки, для...
-
Математическое описание модели Прямое солнечное излучение на модели КА рассчитывается аналогичным образом как для поверхности Луны, т. е. делая допущения...
-
Орбиту можно получить как линию пересечения двух поверхностей. Уравнение одной поверхности - это уравнение плоскости орбиты. Уравнение второй поверхности...
-
Орбиты, для которых были рассчитаны направления неустойчивости в предыдущем разделе, лежат в плоскости эклиптики (плоскости XY). Однако также необходимо...
-
Расчет направления устойчивости производился для 244 плоских орбит Ляпунова, имеющих следующие начальные координаты: - X = X0 км, -1200000?...
-
Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был...
-
Общее решение уравнений относительного движения - Математическое моделирование движения небесных тел
Рассмотрим на небесной сфере сферический треугольник N M x, где M - проекция текущего положения тела M на небесную сферу. Сторонами этого треугольника...
-
4.1 Введение В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения,...
-
В работе была разработана методика расчета гало-орбит вокруг точки либрации L2 системы Солнце-Земля. Для расчета начальной скорости КА и величин...
-
Алгоритм подбора начальной скорости и величины корректирующего импульса Описанные алгоритмы были реализованы в программе GMAT (General Mission Analysis...
-
Математическое описание модели Модель "Radiocity" Расчет излучения в результате переотражения элементами космического аппарата друг на друга выполнятся с...
-
Покажем, что для любой классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет...
-
Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения. Общее...
-
Аномальные радиальные колебания орбит - Аномальное движение орбит в общей теории относительности
В общем случае уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид [3,6,11-12] (39) Вычисляя коэффициенты аффинной связности в метрике...
-
Для моделирования движения КА на гало-орбите был разработан сценарий в пакете GMAT. Он позволяет моделировать движение КА по ограниченной орбите с...
-
Закон Всемирного тяготения - Законы движения небесных тел и строение Солнечной системы
Законы Кеплера прекрасно описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению (напр. вполне можно было считать,...
-
Гиперболическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p=0,e>1) Каноническое уравнение гиперболы в центральных прямоугольных координатах O?!?! представляется в виде (1.68) Где a - действительная, а b...
-
Введение - Строение Солнечной системы
Важную роль в формировании представлений о строении Солнечной системы сыграли также законы движения планет, которые были открыты Иоганном Кеплером...
-
Уравнение Бине - Математическое моделирование движения небесных тел
Другой способ получения траектории движения в задаче двух тел связан с широко известным уравнением Бине. Это уравнение записывается в цилиндрической...
-
Введение - Математическое моделирование движения небесных тел
В небесной механике для описания движений небесных тел в зависимости от конкретных условий используются различные физические модели - идеализированные...
Математическая модель и инструментарий расчета, Математическая модель - Расчет траекторий перелета с низкой околоземной орбиты в окрестности коллинеарных точек либрации системы Солнце