Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность распределения масс внутри него является кусочно-непрерывной функцией координат.

Возьмем прямоугольную, жестко связанную с телом систему координат О с началом в центре масс тела (рисунок. 1.1.1). Тогда потенциал притяжения или силовая функция тела М в точке Р с координатами будет даваться формулой

(1.1.1)

Где -- постоянная притяжения,

система координат

Рисунок 1.1.1. Система координат

Есть расстояние точки Р от текущей точки Р' с координатами в которой находится элемент объема, а интеграл берется по всему объему Т, занятому притягивающим телом.

Если через и обозначить радиусы-векторы точек Р и Р', а через -- угол между ними, то для и будем иметь

(1.1.2)

(1.1.3)

Потенциал U обладает следующими свойствами *):

1 потенциал U есть функция, непрерывная во всем пространстве, обращающаяся в нуль в бесконечности, причем

(1.1.4)

Где M -- масса тела,

2 частные производные первого порядка потенциала U по координатам являются непрерывными функциями во всем пространстве, обращающимися в нуль в бесконечности,

3 если через X, Y, Z обозначить проекции силы притяжения точки Р телом М на координатные оси, , , то во всем пространстве

    (1.1.5) 4 во внешнем относительно тела М пространстве потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа:
    (1.1.6) 5 внутри тела М потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона:

Первые четыре свойства легко доказываются, когда плотность -- кусочно-непрерывная функция. Для доказательства же свойства 5 требуется наложить на плотность более жесткое условие. Наиболее общим таким условием является условие Гольдера. Плотность удовлетворяет условию Гольдера, если точку Р, лежащую внутри тела, можно заключить в такой объем, что для любых двух точек и этого объема имеет место следующее неравенство:

Где

А А и б -- постоянные, причем 0 <б < 1.

Очевидно, это условие будет выполнено, если плотность имеет непрерывные частные производные первого порядка.

Перечисленные свойства называются характеристическими, ибо согласно теореме Дирихле они вполне определяют потенциал притяжения тела, а поэтому могут быть использованы для его практического определения.

Второй способ нахождения потенциала заключается в непосредственном вычислении интеграла (1.1.1). Однако в конечном виде этот интеграл берется только в некоторых частных случаях, таких, например, как случай однородного шара или шара с концентрическим: распределением плотности и случай однородного двухосного или трехосного эллипсоида. Так, для концентрического шара потенциал дается формулой

(1.1.7)

Где т -- масса шара.

Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые были сделаны в начале этой главы, интеграл (1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала является разложение по сферическим функциям. Применение сферических функций, позволяет получить довольно простую и удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала.[1], [4]

Похожие статьи




Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения

Предыдущая | Следующая