Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность распределения масс внутри него является кусочно-непрерывной функцией координат.
Возьмем прямоугольную, жестко связанную с телом систему координат О с началом в центре масс тела (рисунок. 1.1.1). Тогда потенциал притяжения или силовая функция тела М в точке Р с координатами будет даваться формулой
(1.1.1)
Где -- постоянная притяжения,
Рисунок 1.1.1. Система координат
Есть расстояние точки Р от текущей точки Р' с координатами в которой находится элемент объема, а интеграл берется по всему объему Т, занятому притягивающим телом.
Если через и обозначить радиусы-векторы точек Р и Р', а через -- угол между ними, то для и будем иметь
(1.1.2)
(1.1.3)
Потенциал U обладает следующими свойствами *):
1 потенциал U есть функция, непрерывная во всем пространстве, обращающаяся в нуль в бесконечности, причем
(1.1.4)
Где M -- масса тела,
2 частные производные первого порядка потенциала U по координатам являются непрерывными функциями во всем пространстве, обращающимися в нуль в бесконечности,
3 если через X, Y, Z обозначить проекции силы притяжения точки Р телом М на координатные оси, , , то во всем пространстве
- (1.1.5) 4 во внешнем относительно тела М пространстве потенциал U удовлетворяет уравнению Лапласа:
- (1.1.6) 5 внутри тела М потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона:
Первые четыре свойства легко доказываются, когда плотность -- кусочно-непрерывная функция. Для доказательства же свойства 5 требуется наложить на плотность более жесткое условие. Наиболее общим таким условием является условие Гольдера. Плотность удовлетворяет условию Гольдера, если точку Р, лежащую внутри тела, можно заключить в такой объем, что для любых двух точек и этого объема имеет место следующее неравенство:
Где
А А и б -- постоянные, причем 0 <б < 1.
Очевидно, это условие будет выполнено, если плотность имеет непрерывные частные производные первого порядка.
Перечисленные свойства называются характеристическими, ибо согласно теореме Дирихле они вполне определяют потенциал притяжения тела, а поэтому могут быть использованы для его практического определения.
Второй способ нахождения потенциала заключается в непосредственном вычислении интеграла (1.1.1). Однако в конечном виде этот интеграл берется только в некоторых частных случаях, таких, например, как случай однородного шара или шара с концентрическим: распределением плотности и случай однородного двухосного или трехосного эллипсоида. Так, для концентрического шара потенциал дается формулой
(1.1.7)
Где т -- масса шара.
Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается никаких ограничений, кроме тех, которые были сделаны в начале этой главы, интеграл (1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала является разложение по сферическим функциям. Применение сферических функций, позволяет получить довольно простую и удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала.[1], [4]
Похожие статьи
-
Полученные дифференциальные уравнения для элементов промежуточной орбиты позволяют довольно просто построить аналитическую теорию движения спутника со...
-
Постановка задачи В этой главе мы рассмотрим возмущения в движении спутника, обусловленные притяжением Луны и Солнца. Пусть, как и раньше, Оxyz --...
-
2.1 Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника Мы ввели подвижную, жестко связанную с Землей, систему координат и соответствующие ей...
-
Эллиптические функции Якоби В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл...
-
В этой части мы сведем дифференциальные уравнения (2.1.6) к квадратурам, которые и будут в дальнейшем использованы для построения промежуточной орбиты...
-
Введение В предыдущих главах были рассмотрены возмущения элементов орбиты спутника, вызываемые зональными и тессеральными гармониками геопотенциала и...
-
Влияние электромагнитных сил - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Пусть спутник обладает электрическим зарядом, равным Q. Тогда при движении в магнитном поле Земли на него будет действовать сила F, определяемая формулой...
-
Рассмотрим сначала промежуточное движение. Мы видели, что промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя эллипсоидами и двумя...
-
Представим возмущающую функцию в следующем виде: (6.2.1) Где (6.2.2) (6.2.3) В формулах (6.2.1) и (6.2.2) первые строчки соответствуют четным h -- q, а...
-
Замечания - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Представление потенциала притяжения Земли в виде ряда по сферическим функциям стало классическим. В силу простоты сферических функций оно очень удобно...
-
Введение Помимо несферичности Земли, притяжения Луны и Солнца, сопротивления атмосферы и светового давления на движение спутника действует целый ряд...
-
Давление света В этом главе мы выведем формулу для возмущающего ускорения, вызываемого действием светового давления на спутник. Сначала мы предположим,...
-
Сила сопротивления атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
При изучении поступательного движения спутника принимают во внимание лишь ту компоненту аэродинамических сил, направление которой противоположно вектору...
-
В предыдущих главах были выведены формулы, позволяющие вычислять положение спутника в пространстве для любого момента времени, если известны численные...
-
Рассмотрим, наконец, общую схему вычисления возмущенных координат спутника. Элементы орбиты. Примем за основную систему произвольных постоянных теории...
-
4.1 Введение В предыдущих главах было подробно изучено промежуточное движение искусственного спутника. Была рассмотрена качественная картина движения,...
-
Постановка задачи Долготная часть потенциала земного притяжения дается следующей формулой: (6.1.1) Где r -- радиус-вектор; -- геоцентрическая широта; --...
-
Сводка формул для возмущений - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Приведем окончательные формулы для возмущений элементов промежуточной орбиты. Поскольку v отличается от только периодическими членами порядка и, то с...
-
Плотность атмосферы - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Плотность воздуха верхней атмосферы определяется как непосредственно, при помощи аппаратуры, установленной на спутниках и ракетах, так и косвенным путем,...
-
Возмущающая функция В этой главе мы рассмотрим возмущения элементов орбиты спутника, обусловленные зональными гармониками потенциала притяжения Земли....
-
Рассмотрим распределение силы тяжести на уровенной поверхности. Ускорение силы тяжести gдается формулой (1.2.1) Где Так как второе слагаемое правой части...
-
В формулы для возмущений элементов помимо масс и больших полуосей возмущающих тел входят также наклоны, долготы узлов и перигеев Луны и Солнца,...
-
Из дифференциальных уравнений и формул видно, что элементы L, G, Н, а следовательно, и а, е, i, не имеют (по крайней мере в первом приближении) вековых...
-
ВВЕДЕНИЕ - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Изучение движения искусственных спутников Земли представляет интерес не только для специалистов по астродинамике, занимающихся прогнозированием движения...
-
Сравнивая дуги, на которые перемещаются планеты за равные промежутки времени, установить, какая из планет быстрее движется на звездном небе, и объяснить...
-
Закон Всемирного тяготения - Законы движения небесных тел и строение Солнечной системы
Законы Кеплера прекрасно описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению (напр. вполне можно было считать,...
-
Запуск первого искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
4 октября 1957 г. весь мир потрясло известие о том, что на околоземную орбиту выведен первый советский искусственный спутник Земли "Спутник-1". Так был...
-
Параболическое движение, Прямолинейное движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p = 0, e = 1) Уравнение параболической орбиты записывают в видеp r = 1 + cos v (1.80) Где величина определяет расстояние от центра притяжения M0 до...
-
Гиперболическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p=0,e>1) Каноническое уравнение гиперболы в центральных прямоугольных координатах O?!?! представляется в виде (1.68) Где a - действительная, а b...
-
Лунная поверхность места посадки моделируется как плоскость и импортируется в формат STL как дискретизованная поверхность. Модель космического аппарата...
-
В чем смысл открытого физического феномена? - Как движение Земли влияет на погоду, приливы и отливы
Представьте себе два груза из стали в форме шара, больший шар имеет массу 2 кг., а меньший шар имеет массу 1 кг. Если поднять шар 1, который имеет массу...
-
Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения. Общее...
-
Орбиту можно получить как линию пересечения двух поверхностей. Уравнение одной поверхности - это уравнение плоскости орбиты. Уравнение второй поверхности...
-
Тел и метод численного интегрирования - Теория свободного полета в полях тяготения
Пассивное движение космического аппарата в мировом пр-ве происходит в основном под действием сил притяжений небесных тел - Земли, Луны, Солнца, планет....
-
Параметры полета, История запуска - Первый спутник Земли
* Начало полета -- 4 октября 1957 в 19:28:34 по Гринвичу * Окончание полета -- 4 января 1958 * Масса аппарата -- 83,6 кг; * Максимальный диаметр -- 0,58...
-
Введение - Математическое моделирование движения небесных тел
В небесной механике для описания движений небесных тел в зависимости от конкретных условий используются различные физические модели - идеализированные...
-
Безопорное движение&;nbsp; - Двигатель космолета на эффекте гравитационного самоускорения
Такое "вытягивание" потенциала, зависящего от скорости удаления Солнца, наводит на интересную мысль. А что, если "получатель потенциала", скажем,...
-
Запуск второго искусственного спутника Земли - История развития космонавтики
Работы по созданию второго искусственного спутника Земли начались сразу после запуска первого, и уже 12 октября 1957 г. было принято официальное решение...
-
Рельеф лунной поверхности, Движение луны - Луна как спутник Земли
Граница дня и ночи на Луне называется терминатором, в это время лучше всего изучать рельеф Луны, потому что все неровности отбрасывают тень и их легко...
-
В 1955 году (задолго до летных испытаний ракеты Р-7) С. П. Королев, М. В. Келдыш, М. К. Тихонравов вышли в правительство с предложением о выведении в...
Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения