Стационарные состояния классических систем - Аномальное движение орбит в общей теории относительности

Покажем, что для любой классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет связано с некоторым решением уравнения (7). Для определенности рассмотрим четырехмерное пространство-время, тогда метрика (4) принимает вид

В случае стационарных состояний и траекторий, лежащих в одной "плоскости", действие системы можно представить в виде. Используя уравнения (9) и (11), находим

(16)

Здесь - масса и угловой момент системы. Далее, положим. Выразим из первого уравнения и подставим во второе, тогда получим

(17)

Решения уравнения (17) при всех вещественных значениях параметров и метрики определены в комплексной плоскости. Действительно, уравнение (17) можно представить в виде

(18)

Отсюда следует, что функция действия в общем случае либо является комплексной, либо движение ограничено условием

(19)

Поскольку же метрика допускает любые движения, то отсюда следует, что функция действия является комплексной. Разрешая уравнение (18), находим в явном виде зависимость действия стационарных систем от метрики окружающего пространства [9-12]

(20)

Здесь логарифмическая функция определена в комплексной плоскости, - произвольная постоянная, в случае четырехмерного пространства-времени.

В случае решение уравнения (18) имеет вид

(21)

Полученные зависимости (20)-(21) решают поставленную задачу. Таким образом, мы доказали, что действие любой классической механической системы, находящейся в стационарном состоянии, зависит от параметров, характеризующих движение и от метрики окружающего пространства. Следовательно, для каждого типа движения существует такое уравнение состояния, что движение полностью определяется метрикой и параметрами движения - энергией и угловым моментом, что и требовалось доказать.

Зависимость от угла определяется в виде. Отсюда находим

(22)

Замкнутые круговые траектории удовлетворяют уравнению. Чтобы траектория была замкнутой, достаточно будет потребовать в уравнении (17) , отсюда находим

(23)

Смещение перигелия Меркурия в метрике Шварцшильда

В случае метрики Шварцшильда (12) положим, , тогда уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид [4]:

(24)

Разрешая уравнение (24), находим

(25)

Дальнейший анализ [4] основан на построении теории возмущений для интеграла (25). Основная идея сводится к тому, что подынтегральное выражение (25) содержит два малых параметра:

. (26)

Первое из этих неравенств означает, что гравитационный радиус центрального тела значительно меньше, чем радиус орбиты планеты, а второе неравенство характеризует степень малости энергии движения тела по сравнению с энергией покоя. Разложение покоренного выражения под знаком интеграла (25) по двум малым параметрам имеет вид:

(27)

Здесь. Заметим, что при формальном разложении в ряд желаемый ответ [1] сразу не получается. Поэтому авторы [4] использовали еще замену переменной интегрирования: . В этом случае выражение (25) приводится к виду

(28)

Такой же ответ можно получить, если вместо замены переменной в выражении (27) использовать оптимальную траекторию для оценки слагаемого. Полагая, что для круговой классической траектории выполняется условие равновесия на орбите, находим

(29)

Подставляя выражение из (29) в (27), приходим к искомому интегралу (28), в котором следует сделать замену. Очевидно, что в этом случае даже если не знать правильного ответа, формальный ряд приводит к правильному выражению (28), но за счет использования гипотезы (29). Запишем действие для невозмущенного движения в виде

(30)

Тогда траектория определяется из уравнения, что дает

(31)

С другой стороны, для возмущенного движения имеем

(32)

Сравнивая (31) и (32), находим окончательно, что за один цикл движения угол изменится на величину

(33)

Здесь мы восстановили размерность всех величин. Обычно изменение угла выражают через большую полуось и эксцентриситет орбиты в виде [1]

(34)

Экспериментальный результат для Меркурия составляет угловых секунд в столетие, в полном соответствии с выражением (34), которое дает угловых секунд в столетие. Однако решения [1, 4] не являются точными. Отметим, что Фок [5] и Вайнберг [6], используя приближенные решения динамических уравнений, также получили выражение (34) для смещения перигелия. Покажем, что движение тел в метрике [3] приводит к выражению (34).

Смещение перигелия Меркурия в метрике Катанаева [4]

Рассмотрим движение тел в метрике

(35)

Положим, , тогда уравнение Гамильтона-Якоби можно представить в форме:

(36)

Уравнение Гамильтона-Якоби (36) можно проинтегрировать и привести к виду

(37)

Разложим покоренное выражение под знаком интеграла (37) по двум малым параметрам (25), в результате получим:

(38)

И так, мы получили выражение типа (28), из которого автоматически следует формула Эйнштейна (34) без каких-либо дополнительных гипотез. Следовательно, в метрике (35) можно было бы получить формулу Эйнштейна (34), не зная конечного ответа. В этой связи заметим, что Эйнштейн при вычислении смещения перигелия Меркурия в работе [1] знал величину аномального смещения - , а также предполагал, что этот эффект нельзя объяснить на основе теории Ньютона.

Однако релятивистская поправка к угловому моменту вращения в уравнении (38) выглядит вполне классической. Кроме того, неизвестно, является ли приближенное решение задачи, полученное выше, а также авторами [1, 4-6] и другими достаточно точным. Иными словами, не является ли полученный результат (34) просто подгонкой под эксперимент или, как предполагает Вайнберг [6], простым совпадением.

Здесь возникает два вопроса: во-первых, о нахождении точного решения задачи хотя бы в одной метрике и, во-вторых, о неклассических эффектах общей теории относительности, которые можно было бы наблюдать в Солнечной системе [13-14].

Оценка влияния космологической постоянной на смещение перигелия Меркурия сделана в работе [14]. Было установлено, что в пределах экспериментальной ошибки эффект не может быть обнаружен. Покажем, что существует еще один эффект, которого нет ни в приближенных теориях типа [1, 4-6], ни в моделях типа [13], но который вполне может быть сопоставим с величиной аномальной прецессии орбиты Меркурия.

Похожие статьи




Стационарные состояния классических систем - Аномальное движение орбит в общей теории относительности

Предыдущая | Следующая