Гиперболическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p=0,e>1)
Каноническое уравнение гиперболы в центральных прямоугольных координатах O?!?! представляется в виде
(1.68)
Где a - действительная, а b - мнимая полуоси гиперболы. Полуфокусное расстояние c=ae связано с полуосями зависимостью
,откуда, (1.69)
А фокальный параметр выражается через действительную полуось и эксцентриситет формулой
. (1.70)
Движение тела M всегда происходит только по одной ветви гиперболы: ближайшей к фокусу, в котором расположено гравитирующее тело M0, в случае притяжения тел, и удаленной от фокуса в случае их отталкивания. Мы ограничимся рассмотрением только притяжения тел.
Параметрические уравнения гиперболы:
, (1.71)
Где F - угол с вершиной в центре гиперболы, отсчитываемый от направления оси O?!. Угол F является аналогом эксцентрической аномалии, а величина H - его выражением через гиперболические функции
(1.72)
Знание величины аналога эксцентрической аномалии F дает возможность геометрического построения точки гиперболы M, (рис. 1.5). Связь между орбитальными фокальными координатами ?, ? и центральными координатами ?!, ?! имеет вид.(1.153) Аналогично эллиптическому движению можно получить два соотношения, связывающие переменные величины r, v и F:
(1.72)
Направление отсчета углов v с вершиной в фокусе гиперболы и F с вершиной в центре гиперболы взаимно противоположны, т. е. при v > 0 будет F < 0 и наоборот. Путем возведения в квадрат и последующего сложения из этих уравнений можно исключить истинную аномалию v и получить зависимость r от F:
. (1.73)
Исключение r из равенств (1.72) приводит к следующей зависимости между v и F:
(1.74)
Убедиться в справедливости такой зависимости можно путем вычисления тангенса половинного угла:
(1.75)
Зависимость между аналогом эксцентрической аномалии и временем получим после вычисления интеграла J в (1.84). Для этого в интеграле J сделаем замену переменной v на F
Рис. 1.5. Построение точки гиперболы M=(?!,?!)=(a/ cos F, b tg F ) по значению аналога эксцентрической аномалии F. Точка П - перицентр орбиты.
Учитывая
(1.76)
Для интеграла J получим
(1.77)
Проводя интегрирование и упрощение, представим результат в виде
(1.78)
Это уравнение своего имени не имеет. Его обычно называют аналогом уравнения Кеплера для гиперболического движения.
Если использовать гиперболические функции, то это уравнение принимает более простой вид. Действительно, если учесть, что
То уравнение запишется в виде
(1.79)
Где, a - действительная полуось гиперболы.
Алгоритм вычисления координат и скоростей в гиперболическом движении на заданный момент времени t при известных кеплеровских элементах a, e,i,?,? и M0 в эпоху t0
Похожие статьи
-
Круговое движение, Эллиптическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p = 0, e = 0) Круговое движение представляет собой наиболее простой случай движения в задаче двух тел. Только для кругового движения (и прямолинейного...
-
Орбиту можно получить как линию пересечения двух поверхностей. Уравнение одной поверхности - это уравнение плоскости орбиты. Уравнение второй поверхности...
-
Параболическое движение, Прямолинейное движение - Математическое моделирование движения небесных тел
(p = 0, e = 1) Уравнение параболической орбиты записывают в видеp r = 1 + cos v (1.80) Где величина определяет расстояние от центра притяжения M0 до...
-
Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения. Общее...
-
Введение - Математическое моделирование движения небесных тел
В небесной механике для описания движений небесных тел в зависимости от конкретных условий используются различные физические модели - идеализированные...
-
Уравнение Бине - Математическое моделирование движения небесных тел
Другой способ получения траектории движения в задаче двух тел связан с широко известным уравнением Бине. Это уравнение записывается в цилиндрической...
-
Лунная поверхность места посадки моделируется как плоскость и импортируется в формат STL как дискретизованная поверхность. Модель космического аппарата...
-
Общее решение уравнений относительного движения - Математическое моделирование движения небесных тел
Рассмотрим на небесной сфере сферический треугольник N M x, где M - проекция текущего положения тела M на небесную сферу. Сторонами этого треугольника...
-
Заключение - Математическое моделирование движения небесных тел
Небесная механика на протяжении всей истории ее становления была источником новых идей, методов и даже новых направлений в математике, традиционно...
-
Результаты проведенного интегрирования позволяют Сформулировать два первых обобщенных закона Кеплера. Первый закон: невозмущенной орбитой является кривая...
-
Исследование зависимости энергетики поддержания гало-орбиты от места и направления исполнения импульса Суммарный импульс, затрачиваемый на коррекции для...
-
Кеплеровские элементы орбиты - Математическое моделирование движения небесных тел
Вместо произвольных постоянных c1,c2,c3,h,?1,?2,?3,? в астрономии обычно используются более наглядные и более удобные постоянные...
-
Строение Солнечной системы - Законы движения небесных тел и строение Солнечной системы
Хорошо известно, что основная масса Солнечной системы (около 99.8%) приходится на ее единственную звезду - Солнце. Суммарная масса планет составляет...
-
Закон Всемирного тяготения - Законы движения небесных тел и строение Солнечной системы
Законы Кеплера прекрасно описывали наблюдаемое движение планет, но не вскрывали причин, приводящих к такому движению (напр. вполне можно было считать,...
-
Двумя наиболее значительными успехами классического естествознания, основанного на механике Ньютона, были практически исчерпывающее описание наблюдаемого...
-
Орбитальная система координат - Математическое моделирование движения небесных тел
Орбитальная система координат вводится следующим образом. Ось направим по вектору Лапласа ?, ось - по вектору c, а ось - перпендикулярно к этим осям...
-
Притяжение объемного тела - Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения
Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки Р единичной массы некоторым телом М. Будем предполагать, что тело имеет произвольную форму, а плотность...
-
Сравнивая дуги, на которые перемещаются планеты за равные промежутки времени, установить, какая из планет быстрее движется на звездном небе, и объяснить...
-
Введение, Движение луны - Характеристика Луны как небесного тела
ЛУНА, единственный естественный спутник Земли и ближайшее к нам небесное тело; среднее расстояние до Луны - 384000 километров. Движение луны Луна...
-
Уравнения движения МКА Рассмотрим невозмущенное движение материальных точек М и m в некоторой инерциальной системе координат. Движение совершается под...
-
Спектральный анализ небесных тел - Астрономия наших дней
Могучим оружием о исследовании Вселенной стал для астрономов спектральный анализ - изучение интенсивности излучения в отдельных спектральных линиях, в...
-
Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был...
-
При моделировании влияния расстояния до небесных тел на интегральную информативность было обнаружено, что наиболее достоверно зависимости выявляются в...
-
Все малые тела Солнечной системы являются несамосветящимися, и они видны лишь благодаря рассеиванию ими падающего на них солнечного света. Вследствие...
-
Математическое описание модели Прямое солнечное излучение на модели КА рассчитывается аналогичным образом как для поверхности Луны, т. е. делая допущения...
-
Спектрограф установлен в фокусе Нэсмита телескопа БТА, эквивалентное фокусное расстояние 186 м (F/31). Предщелевая часть спектрографа размещена на 4-м...
-
"Движение" в пространстве событий, "Движение" тела отсчета - Геометрия физического пространства
"Движение" тела отсчета "Движение" тела отсчета -- перемещение начала (нулевой точки) системы координат, связанной с телом отсчета, по мировой линии...
-
Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был...
-
Исследование зависимости энергетики поддержания гало-орбиты от места и направления исполнения импульса Суммарный импульс, затрачиваемый на коррекции для...
-
Приложение, Изменение геометрии релятивистских тел - Геометрия физического пространства
Возможно, есть смысл еще раз напомнить об особенностях гиперболических пространств. Все действительные и мнимые "парадоксы" околосветовых скоростей, к...
-
Математическое описание модели Модель "Radiocity" Расчет излучения в результате переотражения элементами космического аппарата друг на друга выполнятся с...
-
"Движение" пробных тел. Что такое "движение" пробного тела? - Геометрия физического пространства
Конечно, это не перемещение подпространства, описывающего данное, пробное тело, в пространстве событий относительно подпространства пробного тела или...
-
Движение тела, Первая космическая скорость - Космические скорости
Для определения значений космических скоростей сначала рассмотрим движение тела, брошенного на расстоянии h от поверхности Земли, с начальной скоростью v...
-
Под небесными объектами, сближающимися с орбитой Земли, понимают астероиды и кометы, чьи орбиты имеют перигелийные расстояния менее 1.3 астрономической...
-
Уравнения движения сплошной среды - Теория полета (аэродинамика и динамика полета)
В теоретической механике известно уравнение количества движения материальной точки: , Где в правой части равенства стоит сумма всех действующих на нее...
-
Математическая модель В данной работе, для описания движения КА, была использована вращающаяся система координат с фиксированным направлением...
-
Покажем, что для любой классической системы, обладающей центральной симметрией и заданной энергией, существует такая метрика, что действие системы будет...
-
2.1 Дифференциальные уравнения движения искусственного спутника Мы ввели подвижную, жестко связанную с Землей, систему координат и соответствующие ей...
-
Исследовательская и учебная астрономическая обсерватория, расположенная в черте города Ростова-на-Дону на высоте 80 метров над уровнем моря. Основным...
-
Исследовательская и учебная астрономическая обсерватория принадлежащая ГАИШ МГУ. Основана в 2009 году на северо-восточном гребне горы Шатджатмаз,...
Гиперболическое движение - Математическое моделирование движения небесных тел