Параболическое движение, Прямолинейное движение - Математическое моделирование движения небесных тел

(p = 0, e = 1)

Уравнение параболической орбиты записывают в видеp r = 1 + cos v

(1.80)

Где величина определяет расстояние от центра притяжения M0 до вершины параболы. Величину q называют перицентрическим расстоянием для параболы. Ее обычно используют в качестве кеплеровского элемента вместо фокального параметра орбиты p.

Для вычисления интеграла

Сделаем замену переменной интегрирования по формуле

(1.81)

Учитывая, что ? =0 при v = 0, а также

(1.82)

Получим:

(1.83)

Вычисление определенного интеграла приводит к уравнению Баркера:

(1.84)

Где введено обозначение

Определение величины ? из этого уравнения по заданному времени t обычно проводят численно, так как известная формула Кардано мало пригодна для вычислений.

Прямолинейное движение

(p = 0, e = 1)

Попытка интегрирования уравнения

Для прямолинейного движения не приводит к получению недостающего первого интеграла, содержащего явно время, а лишь определяет уравнение прямой в полярных координатах:

И v=const. Это уравнение показывает, что прямолинейная траектория всегда проходит через начало координат M0.

Для получения недостающего интеграла используем интеграл энергии. Модуль скорости в случае прямолинейного движения не содержит трансверсальной составляющей, т. е., а интеграл энергии (1.40) для прямолинейного движения запишется в виде

(1.85)

Разделяя переменные, приходим к квадратуре

Где ? - время прохождения через перицентр, совпадающее (в прямолинейном движении) с моментом соударения тел.

Левая часть уравнения (1.174) легко вычисляется, но результат зависит от знака постоянной интеграла энергии h.

Возможны следующие три случая:

,

, (1.86)

Для заданного момента времени t в случае h=0 величины r и r? легко вычисляются в конечном виде:

(1.87)

Для случаев h=0 при определении r приходится иметь дело с трансцендентными уравнениями, решать которые можно лишь приближенно с помощью численных методов.

Полагая, e=1, из формул эллиптического движения для определения значений r и r? получим систему уравнений:

(1.88)

Определяющих прямолинейно-эллиптическое движение.

Аналогично из формул гиперболического движения получим

(1.89)

Т. е. уравнения для прямолинейно-гиперболических движений.

Кеплеровскими элементами прямолинейной орбиты кроме уже использованных a, e =1 и ? являются также два угла, характеризующих направление прямой в пространстве.

Ориентация прямолинейной траектории в пространстве определяется вектором ?, исходящим из начала координат M0. Направление вектора ? можно задать двумя углами, например, долготой и широтой. Но чтобы для прямолинейной орбиты сохранить прежние кеплеровские элементы, необходимо из трех элементов ?, ? и i выбрать два, играющих роль долготы и широты, а третий элемент положить равным некоторому значению, сохраняющему зависимости (1.90) и (1.91). Это можно осуществить, полагая, например, i = 90?, а элементы ? и ? тогда будут определять ориентацию прямой в пространстве. Возможны и другие способы выбора угловых элементов. Общее число независимых кеплеровских элементов прямолинейной орбиты равно четырем: a,?,? и ?.

Для случая h=0 прямолинейно-параболическая орбита будет характеризоваться тремя независимыми элементами, так как величина a из элементов исключается (a >? при h >0). Наряду с круговым движением для прямолинейно-параболической орбиты определение координат и скоростей осуществляется по конечным формулам без использования приближенных методов решения нелинейных уравнений.

,

,

,

,

,

, (1.90)

Где наклонение i положено равным 90?.

Орбитальные координаты для прямолинейного движения не определены, так как не определена плоскость орбиты.

Небесный орбита координата бине

Похожие статьи




Параболическое движение, Прямолинейное движение - Математическое моделирование движения небесных тел

Предыдущая | Следующая