Метод Монте-Карло, Общая схема метода Монте-Карло, Оценка погрешности метода Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

Общая схема метода Монте-Карло

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х) = а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближенного значения) a* искомого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

Оценка погрешности метода Монте-Карло

Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя, которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надежностью) :

Интересующая нас верхняя грань ошибки есть не что иное, как "точность оценки" математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

Случайная величина Х распределена нормально и ее среднее квадратичное отклонение известно.

В этом случае с надежностью верхняя граница ошибки

, (*)

Где n число испытаний (разыгранных значений Х); t - значение аргумента функции Лапласа, при котором, - известное среднее квадратичное отклонение Х.

Случайная величина Х распределена нормально, причем ее среднее квадратическое отклонение неизвестно.

В этом случае с надежностью верхняя граница ошибки

, (**)

Где n - число испытаний; s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3.

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надежностью, приближенно равной, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение случайной величины Х известно; если же неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределенных) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определенных предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

Похожие статьи




Метод Монте-Карло, Общая схема метода Монте-Карло, Оценка погрешности метода Монте-Карло - Применение метода Монте-Карло в эконометрическом анализе

Предыдущая | Следующая