Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
Если - отношение эквивалентности на множестве и, то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа
Ris04.eps
Ris05.eps
4.1. Теорема. Множество всех подалгебр, отношений эквивалентности и конгруэнций алгебры, упорядоченных по включению, образуют решетку.
Доказательство.
1) Пусть - подалгебра алгебры, тогда
Inf,
А sup -
Подалгебра, порожденная множеством.
2) Пусть, - отношения эквивалентности на, тогда множество называется произведением отношений и и в общем случае не являются отношением эквивалентности на (рис. 5). Обозначим
Очевидно, что рефлексивно и транзитивно. Пусть. Тогда, как следует, из (рис. 7),
Обозначим =sup. Покажем, что. Пусть.
Так как и, то из (рис. 6) видно, что
,
Т. е. .
Следовательно, и = sup. Очевидно, что = inf и множество всех отношений эквивалентности на образует решетку.
3). Пусть - - арная операция и,=1,2,.., ( рис.8).
Так как и --конгруэнции, то
, .
Следовательно,
И, значит, - подалгебра алгебры. Теперь из 2) следует, что множество всех конгруэнций на алгебре образует решетку. Теорема доказана.
Наименьший элемент решетки конгруэнции будем называть Нулевой конгруэнцией (Нулевым элементом ) и обозначать
,
А наибольший элемент -- единичной конгруэнцией (единичным элементом) и обозначать.
Произведение конгруэнций в общем случае не является конгруэнцией. Поэтому естественно возникает вопрос, когда это возможно?
4.2. Теорема. Произведение двух конгруэнций является конгруэнцией тогда и только тогда, когда они перестановочны.
Доказательство. Пусть и - конгруэнции на алгебре и - конгруэнция на. Тогда из того, что следует, что и. Это означает, что существует такой элемент, что
, т. е..
Итак, . Аналогичным образом показываем, что, т. е. .
Пусть. Так как для любого элемента и, то ( рефлексивность ). Пусть. Так как, то, т. е. для некоторого элемента
,
Но это и означает, что (симметричность).
Пусть
Так как, то для некоторого элемента имеем
.
Следовательно,
(транзитивность).
Пусть - - арная операция и
.
Тогда
,
Для некоторых элементов. Так как и -- конгруэнции, то
,
Т. е. .
Тем самым показано, что - конгруэнция на. Теорема доказана.
Из теорем 4.1 и 4.2 получаем
- 4.3. Следствие. Пусть конгруэнции и алгебры перестановочны. Тогда sup 4.4. Пусть - Конгруэнции на алгебре Такие, что И. Тогда говорят, что и Образуют прямое произведение и пишут . 4.5. Лемма. Пусть . Тогда для любого элемента существует единственный элемент такой, что
.
Доказательство.
Пусть
и
Тогда, как видно из рисунка,
,т. е. .
Лемма доказана.
4.6. Теорема. Если контруэнции алгебры перестановочны, то они образуют модулярную решетку.
Доказательство. Пусть, , - конгруэнции по алгебре и. Покажем, что
.
Пусть
.
Тогда
Для некоторого элемента. Так как, то, а так как, то. Итак, , т. е.
.
Пусть теперь. Тогда найдется такой элемент, что
.
Так как, то. Теперь из того, что cледует, что. Итак,
.
Ho, значит,
,т. е. .
Теорема доказана.
Похожие статьи
-
Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр
7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое. Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом:...
-
Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр
На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения. Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение Такое, что для...
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр
8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры. Пусть тождество имеет...
-
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...
-
Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр
1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать...
-
Введение - Формационные основы универсальных алгебр
Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л. А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических...
-
Все накопленные веками знания о природе, систематизированы, логически предельно развиты в первой универсальной картине мира, которую создал в IV в. до н....
-
Принцип универсального эволюционизма - Основы естественно-научных знаний
Все существует в развитии. Развитие - это есть чередование медленных количественных и быстрых качественных изменений. Законы природы по существу есть...
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
А) Углерод (С), кремний (Si), германий (Ge), олово (Sn), свинец (РЬ) - элементы 4 группы главной подгруппы ПСЭ. На внешнем электронном слое атомы этих...
-
Сравнение множеств Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие. Утверждение....
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Теорема об универсальной функции - Рекурсивные функции
Для любого n, nN, универсальная функция u(n) вычислима. Доказательство. При доказательстве мы можем ограничиться случаем N=1. Действительно, программу,...
-
Теорема о параметризации., Универсальные функции - Рекурсивные функции
Любую часть x1,x2,...,xn входных значений можно породить программно, более того - существует алгоритм, который генерирует по x1,x2,...,xn текст...
-
Теоретические основы масс-спектрометрии Масс-спектрометрия представляет собой метод исследования веществ, основанный на определении массы (точнее,...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
В данной главе описан способ прогнозирования с помощью НС, основанный на методе окон. Также приведен обзор применения НС в финансовой сфере. Общий подход...
-
Эволюция звезд - Основы естественно-научных знаний
В центре при выгорании водорода образуется гелий, он тяжелее водорода и потому накапливается в центре звезд, что сопровождается из-за большого сжатия...
-
Экономическая теория, Институционализм - Основы экономической теории
Институционализм В начале XX в. ученые-экономисты США, активизировав анализ усилившихся монополистических тенденций в экономике и содействуя...
-
Строение звезд - Основы естественно-научных знаний
Звезда -- раскаленный газовый шар, а основным свойством газа является стремление расшириться и занять любой предоставленный ему объем. Это стремление...
-
Модель лингвистической ACL-шкалы - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Формально шкалой называется кортеж из трех элементов, где реальный объект со свойствами xI, на которых задано отношение RX, определяет шкалу как знаковую...
-
С кислородом большинство металлов образует оксиды - амфотерные и основные: 4Li + O2 = 2Li2O, 4Al + 3O2 = 2Al2O3. Щелочные металлы, за исключением лития,...
-
Введение - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Лингвистические оценки (ЛО) являются средством качественного оценивания и сравнения характеристик объектов, используемые проектировщиками, менеджерами,...
-
Кремний - элемент главной подгруппы четвертой группы третьего периода периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, с атомным номером 14....
-
Указанные выше основные направления реформирования сферы ЖКХ позволяют перейти к раскрытию существа ряда первоочередных по значимости факторов,...
-
Технология получения стекла Технология получения стекла состоит из двух производственных циклов. Цикл технологии стекломассы включает операции: А)...
-
Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет большую продолжительность в практике анализа эффективности капитальных вложений, обычно приходится...
-
Основные предпосылки регрессионного анализа - Основы научных исследований
Методика РА создана с использованием некоторых предпосылок. Если они не выполняются, то корректное выполнение всех процедур РА приведет к неверным...
-
Распределение Фишера, Статистические гипотезы - Основы научных исследований
Служит для сравнения дисперсий разных статистических совокупностей разных случайных величин Х 1 и Х 2 . Ему подчиняется статистика (10.5) Где S2(x 1 ) >...
-
Обозначения: Длина вектора, модуль (абсолютная величина): Сумма векторов: (правило треугольника) (рис. 1.22); (правило параллелограмма) (рис. 1.23);...
-
Химия в системе наук - Основы естественно-научных знаний
Химия - наука о веществах, их свойствах, строении и взаимных превращениях. Под веществом понимается любая совокупность атомов и молекул. Традиционная...
-
Исследование проблем экономической динамики Н. Д. Кондратьевым - Основы экономической теории
Николай Дмитриевич Кондратьев (1892-1938) был универсальным исследователем. Проживая в стране, где подавляющее большинство населения составляли...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Основные этапы развития естествознания - Основы естественно-научных знаний
Естествознание древнего мира, "натурфилософия", - на этой стадии сформировались общие представления об окружающем мире, как о чем-то целом. Отличительной...
-
Основной задачей процессуального моделирования является формирование модельного представления о динамическом образе ситуации как о системном процессе....
-
ОБОСНОВАНИЕ ВИДА И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ - Основы прогнозирования
На практике при выборе аналитической функции рекомендуется подбирать функцию с таким расчетом, чтобы ее конструктивные элементы, коэффициенты и константы...
-
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОХИМИИ - Неограническая химия
Задание 6.1. В данной (табл. VI.1) окислительно-восстановительной реакции уравняйте стехиометрические коэффициенты ионно-электронным методом и...
-
Среди различных конфигураций искусственных нейронных сетей встречаются такие, при классификации которых по принципу обучения, строго говоря, не подходят...
Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр