Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр

    1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать одноэлементное множество. Тогда N-арной операцией на А называется отображение из А в А. Таким образом, 0-арная операция t отображает одноэлементное множество А в элемент t (А) из А. Это дает возможность в дальнейшем отождествлять нульарную операцию t с элементом t (А). Очевидно, что группа - множество с бинарной операцией, хотя, в силу ее дополнительных свойств можно говорить о том, что отображение a a - унарная операция, а выделение в группе единичного элемента - пример 0-арной операции. 2. Пара (А, , где А - непустое множество, а - (возможно, пустое) множество операций на А, называется Универсальной алгеброй или просто Алгеброй. Приведем примеры некоторых наиболее известных алгебр. 3. Группоид - множество с единственной бинарной операци. Здесь. 4. Полугруппа - множество с единственной бинарной операцией, удовлетворяющей условию:
      (1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из A.
    5. Моноид - множество с одной нульарной операцией 1 и единственной бинарной операцией, удовлетворяющей условиям:
      (1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из А. (2) x1 = 1x = x, для любого x из A.

Очевидно, что моноид -- это полугруппа с нульарным оператором 1, а в свою очередь полугруппа-группоид с операцией, удовлетворяющей условию (1). В дальнейшeм для сокращения записи обозначим 0 и 1 - нульарные операции, - унарная операция, +, - , - бинарные операции.

    6. Группа - множество A с, удовлетворяющим условиям (1), (2) и (3) x-1X = xx-1 = 1,

Для любого x из A.

    7. Абелева группа - множество с, удовлетворяющим условиям (1') (x+y)+z = x+(y+z), (2') x+0 = 0+x = x, (3') x+(-x) = 0, (4') x+y = y+x,

Для любых x, y, z из A.

    8. Кольцо - множество A с, удовлетворяющим условиям (1') - (4') и (5) (x+y)z = xz+yz, (6) x(y+z) = xy+xz,

Для любых x, y, z из A.

    9. Ассоциативное кольцо - множество с, удовлетворяющим условиям (1), (1') - (4' ), (5), (6). 10. Ассоциативное кольцо с единицей -- множество с

удовлетворяющим условиям (1), (1') -- (4'), (5), (6) и (2).

    11. Структура (решетка) - множество с, удовлетворяющим условиям (1), (1'), (4') , а также (4) xy = yx; (7) xx=x; (7') x+x = x; (8) x(x+y) = x ; (8'). 12. Пусть A - непустое множество. Обозначим последовательность ее элементов вида aчерез. Тогда алгебра, где - - арная операция, , называется - арной группой, если выполняются следующие условия: 1) для любой последовательности имеет место равенство:

= , n-1) ;

    2) для любой последовательности каждое из уравнений (9) xa1N-1 = a, (9') a1N-1Y = a

Разрешимо в A. Можно заметить, что при n=2 получаем определение группы. Отметим также следующий важный пример.

13. Квазигруппа - множество с единственной бинарной операцией, для которой уравнения (9) и (9') (n = 2) имеют единственное решение в A.

Следующий пример показывает, что алгебраические структуры, очень близкие к рассмотренным выше, уже могут не являться алгебрами.

14. Поле - ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условиям:

И операция -1 определена только для элементов множества.

Если дана универсальная алгебра, то множество можно рассматривать как множество символов таких, что в множестве каждому символу сопоставлена определенная алгебраическая операция на. В этом случае множество называется Сигнатурой, а пара называется Универсальной алгеброй сигнатуры . В дальнейшем будем рассматривать алгебры только фиксированной сигнатуры. Поэтому саму алгебру будем отождествлять с множеством, а любую операцию на, соответствующую символу, будем также обозначать через. Пусть - алгебра, элементы. Тогда результат применения операции к этим элементам будем обозначать

= .

Подмножество называется Подалгеброй алгебры, если для любых

, .

В этом случае говорят, что Множество замкнуто относительно всех операций, определенных на. Очевидно, что пересечение любого множества подалгебр алгебры, само является подалгеброй алгебры (по определению пустое множество считается подалгеброй). Отметим, что если на определена хотя бы одна 0-арная операция t, то пересечение любого множества подалгебр не пусто.

Пусть X - некоторое подмножество из A. Подалгеброй, порожденной множеством X, называется пересечение всех подалгебр в A, содержащих X. Таким образом, - это наименьшая подалгебра в A, содержащая X. В частности, если, то множество X называют Системой порождающих (или Образующих) алгебры A. Говорят также, что алгебра A Порождается множеством X. Если X - одноэлементное множество и, то алгебра A называется Однопорожденной, в частности, если X=A, то алгебра называется Одноэлементной. Неодноэлементная алгебра, которая порождается любым своим элементом называется минимальной.

Похожие статьи




Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр

Предыдущая | Следующая