Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр
- 1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать одноэлементное множество. Тогда N-арной операцией на А называется отображение из А в А. Таким образом, 0-арная операция t отображает одноэлементное множество А в элемент t (А) из А. Это дает возможность в дальнейшем отождествлять нульарную операцию t с элементом t (А). Очевидно, что группа - множество с бинарной операцией, хотя, в силу ее дополнительных свойств можно говорить о том, что отображение a a - унарная операция, а выделение в группе единичного элемента - пример 0-арной операции. 2. Пара (А, , где А - непустое множество, а - (возможно, пустое) множество операций на А, называется Универсальной алгеброй или просто Алгеброй. Приведем примеры некоторых наиболее известных алгебр. 3. Группоид - множество с единственной бинарной операци. Здесь. 4. Полугруппа - множество с единственной бинарной операцией, удовлетворяющей условию:
- (1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из A.
- (1) (xy)z = x(yz), для любых x, y, z из А. (2) x1 = 1x = x, для любого x из A.
Очевидно, что моноид -- это полугруппа с нульарным оператором 1, а в свою очередь полугруппа-группоид с операцией, удовлетворяющей условию (1). В дальнейшeм для сокращения записи обозначим 0 и 1 - нульарные операции, - унарная операция, +, - , - бинарные операции.
- 6. Группа - множество A с, удовлетворяющим условиям (1), (2) и (3) x-1X = xx-1 = 1,
Для любого x из A.
- 7. Абелева группа - множество с, удовлетворяющим условиям (1') (x+y)+z = x+(y+z), (2') x+0 = 0+x = x, (3') x+(-x) = 0, (4') x+y = y+x,
Для любых x, y, z из A.
- 8. Кольцо - множество A с, удовлетворяющим условиям (1') - (4') и (5) (x+y)z = xz+yz, (6) x(y+z) = xy+xz,
Для любых x, y, z из A.
- 9. Ассоциативное кольцо - множество с, удовлетворяющим условиям (1), (1') - (4' ), (5), (6). 10. Ассоциативное кольцо с единицей -- множество с
удовлетворяющим условиям (1), (1') -- (4'), (5), (6) и (2).
- 11. Структура (решетка) - множество с, удовлетворяющим условиям (1), (1'), (4') , а также (4) xy = yx; (7) xx=x; (7') x+x = x; (8) x(x+y) = x ; (8'). 12. Пусть A - непустое множество. Обозначим последовательность ее элементов вида aчерез. Тогда алгебра, где - - арная операция, , называется - арной группой, если выполняются следующие условия: 1) для любой последовательности имеет место равенство:
= , n-1) ;
- 2) для любой последовательности каждое из уравнений (9) xa1N-1 = a, (9') a1N-1Y = a
Разрешимо в A. Можно заметить, что при n=2 получаем определение группы. Отметим также следующий важный пример.
13. Квазигруппа - множество с единственной бинарной операцией, для которой уравнения (9) и (9') (n = 2) имеют единственное решение в A.
Следующий пример показывает, что алгебраические структуры, очень близкие к рассмотренным выше, уже могут не являться алгебрами.
14. Поле - ассоциативное кольцо с единицей, удовлетворяющее условиям:
И операция -1 определена только для элементов множества.
Если дана универсальная алгебра, то множество можно рассматривать как множество символов таких, что в множестве каждому символу сопоставлена определенная алгебраическая операция на. В этом случае множество называется Сигнатурой, а пара называется Универсальной алгеброй сигнатуры . В дальнейшем будем рассматривать алгебры только фиксированной сигнатуры. Поэтому саму алгебру будем отождествлять с множеством, а любую операцию на, соответствующую символу, будем также обозначать через. Пусть - алгебра, элементы. Тогда результат применения операции к этим элементам будем обозначать
= .
Подмножество называется Подалгеброй алгебры, если для любых
, .
В этом случае говорят, что Множество замкнуто относительно всех операций, определенных на. Очевидно, что пересечение любого множества подалгебр алгебры, само является подалгеброй алгебры (по определению пустое множество считается подалгеброй). Отметим, что если на определена хотя бы одна 0-арная операция t, то пересечение любого множества подалгебр не пусто.
Пусть X - некоторое подмножество из A. Подалгеброй, порожденной множеством X, называется пересечение всех подалгебр в A, содержащих X. Таким образом, - это наименьшая подалгебра в A, содержащая X. В частности, если, то множество X называют Системой порождающих (или Образующих) алгебры A. Говорят также, что алгебра A Порождается множеством X. Если X - одноэлементное множество и, то алгебра A называется Однопорожденной, в частности, если X=A, то алгебра называется Одноэлементной. Неодноэлементная алгебра, которая порождается любым своим элементом называется минимальной.
Похожие статьи
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр
8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры. Пусть тождество имеет...
-
Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр
7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое. Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом:...
-
Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр
На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения. Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение Такое, что для...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
Если - отношение эквивалентности на множестве и, то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа Ris04.eps Ris05.eps 4.1. Теорема....
-
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...
-
Основные характеристики нечетких множеств, Примеры нечетких множеств - Нечеткая логика
Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M - Величина ?A(x) называется...
-
Введение - Формационные основы универсальных алгебр
Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л. А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических...
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
Модели линейного программирования. Основные определения Еще одним классом задач экономико-математического моделирования являются задачи линейного...
-
Модели теории игр. Основные определения и термины В разных областях целенаправленной деятельности, например при разработке и эксплуатации АСУ, часто...
-
Плоскость геометрический точка проецирование Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС-- AС = A1B1...
-
ПОНЯТИЕ ОБ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ Парные регрессионные модели отражают специфику взаимодействия некоторого функционального...
-
Определение необходимого объема выборки - Основы эконометрики
В практике проектирования выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной...
-
Электролиз - физико-химический процесс, состоящий в выделении на Электродах составных частей растворенных веществ или других веществ, который возникает...
-
Пусть: A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4; B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4; C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4. Здесь: 1. A?B, то есть A содержится в...
-
Все накопленные веками знания о природе, систематизированы, логически предельно развиты в первой универсальной картине мира, которую создал в IV в. до н....
-
Особые механические свойства эластичность - способность к высоким обратимым деформациям при относительно небольшой нагрузке (каучуки); малая хрупкость...
-
Статистики, Свойства оценок - Основы научных исследований
Любая функция от элементов выборки называется Статистикой . Следовательно, точечная оценка также является статистикой. Однако не всякая статистика может...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ - Основы прогнозирования
Для исключения автокорреляции могут применяться следующие методы: 1. метод конечных разностей; 2. метод исключения тенденций с помощью уравнений...
-
Проверка статистических гипотез - Основы научных исследований
Для проверки статистических гипотез используются статистики, называемые статистическими критериями или иначе - критериями значимости. В частности, для...
-
Опытом называется всякое осуществление определенных условий и действий, при которых наблюдается изучаемое случайное явление. Опыты можно характеризовать...
-
Цель и задачи исследования операций Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
Функции и ее свойства - Методы решения системы линейных уравнений
В современной математике понятие множества является одним из основных. Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую...
-
Свойства операции умножения матриц - Методы решения системы линейных уравнений
1)Умножение матриц не коммутативно, т. е. АВ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА...
-
Принцип сходимости, Предел функции. Теорема Гейне - Свойства функций
Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга. Лемма Кантора ....
-
О квази-клике. - Использование квази-клик для анализа графа рынка России
Квази-клика - представляет собой релаксацию строгого условия полноты клики, то есть допускается отсутствие некоторых ребер в искомом подграфе. На данный...
-
1. В результате линейной комбинации две атомные орбитали (АО) формируют две молекулярные орбитали (МО) - связывающую, энергия которой ниже, чем энергия...
-
Полимерами называют вещества, молекулы которых (макромолекулы) состоят из одного или большего числа составных звеньев. Молекулярная масса (число атомов)...
-
Принцип универсального эволюционизма - Основы естественно-научных знаний
Все существует в развитии. Развитие - это есть чередование медленных количественных и быстрых качественных изменений. Законы природы по существу есть...
-
В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных...
-
Химическая связь - это взаимное сцепление атомов в молекуле и кристаллической решетке в результате действия между атомами электрических сил притяжения....
-
Параметры эмпирических распределений - Основы научных исследований
По опытным (эмпирическим) данным строятся распределения исследуемых случайных величин. Функции плотности Р(х) таких распределений могут иметь один...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Модель лингвистической ACL-шкалы - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Формально шкалой называется кортеж из трех элементов, где реальный объект со свойствами xI, на которых задано отношение RX, определяет шкалу как знаковую...
-
Пусть необходимо подобрать оптимальные настройки для объекта с передаточной функцией (9). Степень затухания, к примеру, ш= 0.75. Ниже даются рекомендации...
Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр