Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр

    5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) ,

Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда.

Фактор алгебры называется Главным, если и из

,

Где - конгруэнция на, всегда следует, что.

Ряд конгруэнций вида (1) называется Главным, Если все его факторы главные. В частности, если фактор является главным, то конгруэнция называется Минимальной.

Факторы и алгебры называются: перспективными, если либо и, либо и ; проективными, если в найдутся такие факторы

,

То для любого факторы и перспективы.

Установим некоторые свойства рядов конгруэнций. При этом, на протяжении всего параграфа, будем предполагать, что конгруэнции рассматриваемых алгебр перестановочны и, следовательно, образуют модулярную решетку.

5.2. Лемма. Пусть конгруэнция на алгебре. Тогда интервалы и изоморфны.

Доказательство. Для любой конгруэнции на такой, что построим отображение следующим образом:

.

Очевидно, что

, и если

, то

.

Покажем, что - взаимно однозначное отображение. Предположим, что. Тогда

,

Следовательно,

.

По теореме 4.6

и

, т. е. .

Осталось показать, что -- отображение на. Действительно, для любой конгруэнции на такой, что имеем. Тогда

.

Лемма доказана.

5.3. Лемма. Пусть, , , конгруэнции на алгебре. Тогда если

,

То фактор перспективен фактору

,

Если же

,

То фактор перспективен фактору .

Доказательство. Пусть

. Тогда

.

Значит, , то есть фактор

Перспективен фактору

.

Пусть теперь

.

Тогда

,

Следовательно, фактор

Перспективен фактору. Лемма доказана.

Следующий результат является аналогом хорошо известной леммы Цассенхауза (лемма о бабочке).

5.4. Лемма. Пусть, , , - конгруэнции на алгебре, причем и. Тогда факторы

и

Проективны.

Доказательство.

В силу тождества Дедекинда

Тогда

И последний фактор перспективен фактору

.

Аналогичным образом получаем, что

и

Так как последний фактор перспективен фактору

,

То тем самым лемма доказана.

Говорят, что алгебра Удовлетворяет условию минимальности (максимальности) для конгруэнций, если всякая строго убывающая (возрастающая) цепь конгруэнций на алгебре обрывается после конечного числа шагов.

Ряд (1) можно уплотнить, вставляя между соседними членами и конгруэнции алгебры. Полученный ряд называется Уплотнением ряда (1) и в общем случае может содержать повторяющиеся члены. Два ряда конгруэнций алгебры называются Изоморфными, если длины их одинаковы и существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех факторов этих рядов, при котором соответствующие факторы проективны.

Докажем теорему Шрейера об уплотнении для рядов конгруэнций.

5.5. Теорема. Любые два ряда конгруэнций алгебры после уплотнения становятся изоморфными.

Доказательство.

Пусть даны два ряда конгруэнций (1) и (2) алгебры,

. (2)

Утверждение очевидно при. Поэтому считая, что,

. Обозначим:

, .

Применив л.5.4, полагая, , , получим, что факторы и проективны.

Уплотнив конгруэнциями и, где

,

Ряды (1) и (2), получим:

, (3)

, (4)

Заметим, что

,

,,

Следовательно ряды (3) и (4) являются уплотнениями соответственно рядов (1) и (2). Длины рядов (3) и(4) равны и их соответствующие факторы проективны. Теорема доказана.

Отметим еще один результат, связанный со свойствами главных рядов конгруэнций.

Так как в главных рядах конгруэнций уплотнения невозможны без того, чтобы в них не встречались повторяющиеся члены, то из теоремы 5.5. следует, что длины всех главных рядов конгруэнций произвольной алгебры равны, а соответствующие главные факторы проективны. Тем самым получили теорему Жордана-Гельдера.

5.6. Теорема. Любые два главных ряда конгруэнций алгебры изоморфны.

Естественно выяснить в каких случаях главные ряды конгруэнций алгебры существуют.

5.7. Теорема. Алгебра тогда и только тогда обладает хотя бы одним главным рядом конгруэнций, когда удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для конгруэнций.

Доказательство.

Необходимость. Пусть алгебра обладает главным рядом

. (1)

Предподожим, что существует еще такой ряд конгруэнций

(2),

Где. По теореме 5.5 ряды (1) и (2) обладают изоморфными уплотнениями, причем уплотнение ряда (1) имеет ненулевых факторов, а уплотнение ряда (2) имеет не менее ненулевых факторов и. Противоречие. Тем самым доказано, что любой ряд конгруэнций без повторений имеет длину не превышающую. А это означает, что алгебра удовлетворяет условиям максимальности и минимальности для конгруэнций.

Достаточность. Из условия минимальности следует существование конгруэнции, которая является минимальной на алгебре. Так как для фактор - алгебры условие минимальности также выполняется, то сущесвует конгруэнция на такая, что фактор является главным. Таким образом получаем ряд конгруэнций

,

Который является главным и в силу условия максимальности закончится через конечное число шагов. Теорема доказана.

Отметим еще один результат, связанный со свойствами главных рядов конгруэнций.

5.8. Лемма. Пусть - главный фактор алгебры, - конгруэнции на такие, что. Тогда обладает таким главным фактором проективным, что либо, либо.

Доказательство. Если, то фактор перспективен фактору и, значит, . Так как

, то

, т. е.

.

Пусть теперь. Тогда. Следовательно,

,

Который перспективен. Рассмотрим фактор

.

Так как

, то

.

Следовательно, фактор перспективен фактору

.

Лемма доказана.

Похожие статьи




Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр

Предыдущая | Следующая