Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр

8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры.

Пусть тождество имеет вид:

Где. Тогда говорят, что в алгебре выполняется Тождество , если для любых элементов имеет место равенство

Пусть - любая система - тождеств, конечная или бесконечная. Обозначим через класс всех алгебра сигнатуры, для которых выполняются все тождества из. Заместим, что класс не является пустым, так как ему принадлежат все одноэлементные алгебра сигнатуры. Этой класс называется Многообразием алгебр сигнатуры, определяемым тождествами или, когда множества и фиксированы, просто многообразием. Приведем несколько очевидно примеров.

    8.2 Класс всех алгебр сигнатуры является многообразием, определяемым пустой системой тождеств или тождеством. 8.3 Класс всех одноэлементных алгебр сигнатуры образует многообразие, определяемое тождеством: .

Класс алгебр называется абстрактным, если вместе с любой алгеброй он содержит и все алгебры, изоморфные ей. Любое отображение множества всех классов алгебр в себя называется операцией на классах алгебр. Результат операции, примененной к классу, обозначается через. Класс алгебр называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым, если.

Имеет место следующий результат Биркгофа [12] (доказательство см., например, теорему II 2.1.1 [11]).

8.4. Теорема. Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры является многообразием в том и только в том случае, когда замкнут относительно подалгебр, факторалгебр и прямых произведений.

Те немногие результаты, которые изложены выше, позволяют сделать вывод об исключительной особенности свойств алгебр с перестановочными конгруэнциями, так называемых Мальцевских алгебр. Такое название определяется важностью следующего результата, полученного А. И. Мальцевым в работе [9].

8.5. Теорема (Мальцев). Конгруэнции любой алгебры многообразия сигнатуры попарно перестановочны тогда, и только тогда, когда абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой содержит такое слово, что во всех алгебрах из справедливы тождества:

В этом случае многообразие называют Мальцевским или Конгруэнц-перестановочным, оператор называют Мальцевским оператором. Приведем некоторые примеры мальцевских операторов.

8.6. Пусть -- группа (кольцо). Тогда полагаем

.

8.7. Пусть -- квазигруппа. Тогда эквивалентным определению 1.13 является следующее: это множество с тремя бинарными операциями, то есть, удовлетворяющее тождествам:

, , , .

Действительно, из первых двух тождеств следует, что уравнения и имеет решения: и. Остальные два тождества показывают, что эти решения единственны. Пусть. Тогда

.

Анологичным образом из получаем

.

Обратно, пусть уравнения и имеют единственное решение на множестве, относительно бинарной операции. Определим на бинарные операции так, что тогда и только тогда, когда . Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости указанных выше тождеств.

Определим теперь на квазигруппе мальцевский оператор следующим образом

.

Тогда

и

.

Следующий пример работы [10] показывает, что структура мальцевского оператора может быть устроена весьма сложно.

8.8. Пусть -- алгебра с тремя бинарными операциями

, удовлетворяющими тождествам:

(так называемая СНQ - алгебра). Тогда

.

8.9. Пусть -- - арная группа. Тогда, как показано в работе [14], конгруэнции на перестановочны (см. пример, теорему 8.16[4]). Однако возникает вопрос о структуре мальцевского оператора в многообразии всех - арных групп.

В заключение, отметим следующий результат, часто используемый в теории универсальных алгебр мальцевских многообразий.

8.10 : Лемма. Пусть - алгебра из мальцевского многообразия. Тогда любая подалгебра, содержащая нулевую конгруэнцию является конгруэнцией на.

Доказательство. Пусть - подалгебра алгебры, и . Так как и , то для мальцевского оператора получаем

.

Анологичным образом из

Получаем, что . Итак симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Похожие статьи




Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр

Предыдущая | Следующая