Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр

На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения.

Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение

Такое, что для любого элемента

,

Называется Проектированием в, элемент называется -- компонентой или простой - ой компонентой элемента.

Проектирование является гомоморфизмом в. Действительно, для любых элементов

И любой - арной операции имеем

Подалгебра алгебры называется Проекцией подалгебры в.

Подалгебра алгебры называется Подпрямым произведением алгебр, если проекция в совпадает с для любого.

6.1. Теорема. Пусть -- конгруэнции на алгебре и

.

Тогда фактор алгебра Изоморфна подпрямому произведению

Доказательство. Пусть -- отображение из в произведение (1) такое, что

.

Для любых элементов и любой - арной операции имеем

Следовательно, - гомоморфизм на алгебру (1).

Пусть, тогда

Отсюда следует, что для любого. Значит. Теперь, по первой теореме об изоморфизмах, получаем, что фактор алгебра изоморфна подпрямому произведению (1).

Теорема доказана.

6.2. Теорема. Пусть алгебра представима в виде подпрямого произведения и =Ker, где - проектирование для любого. Тогда

Если же , то

_i

Доказательство.

Для произвольного элемента

Класс эквивалентности представляет собой множество вида

,

Где -- все возможные последовательности элементов из прямого произведения

Отсюда следует, что, т. е. .

Пусть. Очевидно, достаточно показать, например, что для

Выполняется равенство

Действительно, для любого элемента, где

Имеем

и

Следовательно, Аналогичным образом из

и

Следует, что. Теперь из 1) следует попарная перестановочность конгруэнций.

Теорема доказана.

    6.3. Алгебра называется Подпрямо неразложимой, если в любом представлении алгебры в виде подпрямого произведения алгебр, , хотя бы одна из операций проектирования является изоморфизмом. 6.4. Теорема. Конечная алгебра подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда любое конечное пересечение всех ее ненулевых конгруэнций является ненулевой конгруэнцией.

Доказательство.

Пусть алгебра подпрямо неразложима и пересечение всех ее ненулевых конгруэнций является нулевой конгруэнцией. Тогда по теореме 6.1. изоморфна подпрямому произведению вида (1). Противоречие.

Обратно, пусть пересечение всех ненулевых конгруэнций алгебры есть ненулевая конгруэнция и подпрямо разложима. Тогда в силу теоремы 6.2.

,

Где - проектирование. Противоречие.

Тем самым теорема доказана.

Заметим, что из теоремы 6.4. , например, вытекает подпрямая неразложимость конечных групп, содержащих наименьшую ненулевую нормальную подгруппу (в частности, конечных абелевых групп порядка, где - простое число).

Похожие статьи




Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр

Предыдущая | Следующая