Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр
- 7.1. Пусть - некоторая сигнатура, - произвольное множество, в частности пустое. Построим множество - слов (- термов) индуктивно следующим образом: 1)элементы множества являются - словами ; 2)символы нульарных операций являются - словами; 3)если - некоторая совокупность - слов и - какая-либо - арная операция, то выражение или является - словом.
Считая сигнатуру фиксированной, вместо "- слово " будем употреблять термин "слово" и обозначать через.
Приведем некоторые примеры.
7.2. Пусть, , где - бинарная, а - 0-арная операция. Тогда словами, например, являются следующие выражения:
.
7.3. , , где - тернарная, - бинарная, - унарная, а 0-нульарная операции. Тогда примерами слов являются:
.
Отметим, что, например, выражения
Словами не являются.
Множество естественным образом превращается в алгебру сигнатуры. Для этого полагаем, если - нульарная операция, а слово, где и - - арная операция, , считаем результатом применения операции к словам. Полученная алгебра называется Алгеброй слов сигнатуры в алфавите или абсолютно свободной алгеброй сигнатуры со свободной порождающей (образующей) системой. Если множество пусто и не содержит нульарных операций, то алгебра пуста. Если пусто и содержит нульарные операции, то не пусто и состоит из символов нульарных операций и всех слов, составленных согласно п.3) Если, то совпадает с множеством. Пусть - слово из алгебры и множество
Содержит все входящие в это слово элементы из. В этом случае будем писать. Если дана некоторая алгебра, то каждому слову можно поставить в соответствие выражение, где. При этом операциям из, входящим в слово, придается тот конкретный смысл, который они имеют в алгебре, в частности, символы нульарных операций заменяются элементами, которые они отмечают в алгебре. Тогда элемент и называется Результатом подстановки элементов В слово . Следующий результат указывает на возможный способ построения алгебры, порожденной некоторым множеством.
7.4. Теорема. Если - алгебра сигнатуры, порожденная множеством и - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой, то множество совпадает с множеством результатов всевозможных подстановок элементов множества, рассматриваемых как элементы алгебры, во все слова из.
Доказательство.
Очевидно, что содержит все элементы множества и символы нульарных операций, рассматриваемых как элементы алгебры. Пусть - арная операция и. Тогда по условию теоремы, где и. Так как
, то
.
Следовательно, , если элементы считать принадлежащими алгебре. Таким образом доказано, что -- подалгебра алгебры и так как, то.
Теорема доказана.
7.5. Следствие. Если - алгебра, порожденная множеством, и - гомоморфизмы алгебры в алгебру и для всех, то
Доказательство. Для произвольного элемента согласно теореме 7.4 найдется такое слово, где, что, считая элементы принадлежащими алгебре. Тогда
.
Следствие доказано.
7.6. Теорема. Если - алгебра сигнатуры, - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой и - отображение в, то существует единственный гомоморфизм такой, что для любого.
Доказательство. Пусть, для любого. Тогда для любого слова положим
.
Как и выше, непосредственной проверкой убеждаемся в том, что - гомоморфизм. Его единственность следует из следствия 7.5.
Теорема доказана.
7.7 Теорема: Любая алгебра сигнатуры изоморфна фактор алгебре некоторой абсолютно свободной алгебры сигнатуры.
Доказательство. Пусть - абсолютно свободная алгебра сигнатуры со свободной порождающей системой. По теореме 1.7.6 тождественное отображение на можно продолжить до гомоморфизма на. Тогда по теореме 1.3.6
.
Теорема доказана.
Похожие статьи
-
Решетка конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
Если - отношение эквивалентности на множестве и, то будем это отношение изображать в виде неориентированного графа Ris04.eps Ris05.eps 4.1. Теорема....
-
Гомоморфизм алгебр. Конгруэнции - Формационные основы универсальных алгебр
3.1. Отображение f из алгебры A в алгебру B называется гомоморфизмом, если для любых элементов и любой n-арной операции справедливо равенство Если же...
-
Многообразия - Формационные основы универсальных алгебр
8.1. Пусть и -- слова сигнатуры в счетном алфавите. Тогда формальное равенство называется - тождеством или тождеством сигнатуры. Пусть тождество имеет...
-
Конечные прямые и подпрямые произведения - Формационные основы универсальных алгебр
На протяжении всего параграфа будут рассматриваться только конечные проиведения. Пусть алгебра и - подалгебра алгебры. Тогда отображение Такое, что для...
-
Ряды конгруэнций - Формационные основы универсальных алгебр
5.1. Конечная цепь конгруэнции алгебры А вида (1) , Называется Рядом конгруэнций, а число -- Длиной ряда. Фактор алгебры называется Главным , если и из ,...
-
Определение. Примеры - Формационные основы универсальных алгебр
1. Пусть А - непустое множество (АШ), n -- натуральное число, - декартова (прямая) n-ая степень множества А. В частности, если n=0, то под будем понимать...
-
Решетки (структуры) - Формационные основы универсальных алгебр
Понятие решетки (пример 11) играет исключительно важную роль в изучении самых общих алгебр. И это, в первую очередь, связано с иным подходом в...
-
Введение - Формационные основы универсальных алгебр
Впервые, понятие формации алгебраических систем было введено Л. А. Шеметковым в 1984 г. в работе [1] .Напомним, что непустой класс F алгебраических...
-
Все накопленные веками знания о природе, систематизированы, логически предельно развиты в первой универсальной картине мира, которую создал в IV в. до н....
-
Принцип универсального эволюционизма - Основы естественно-научных знаний
Все существует в развитии. Развитие - это есть чередование медленных количественных и быстрых качественных изменений. Законы природы по существу есть...
-
Генеральная совокупность и выборка - Основы научных исследований
Распределение случайной величины содержит всю информацию о ее статистических свойствах. Много ли нужно знать значений случайной величины, чтобы построить...
-
Методы отбора выборок - Основы научных исследований
Известны три метода отборок выборок: случайный, систематический и комбинированный. В результате случайного отбора получается случайная выборка. Выборка...
-
Актуальность исследования Цель исследования: Изучение теоретических и практических аспектов евклидовости в математике Задачи исследования: 1. Изучить...
-
Модель лингвистической ACL-шкалы - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Формально шкалой называется кортеж из трех элементов, где реальный объект со свойствами xI, на которых задано отношение RX, определяет шкалу как знаковую...
-
Введение - Моделирование лингвистических оценок на основе ACL-шкалы
Лингвистические оценки (ЛО) являются средством качественного оценивания и сравнения характеристик объектов, используемые проектировщиками, менеджерами,...
-
После проведения регрессионного анализа получается модель объекта исследований в виде некоторой функции. В простейшем случае линейной регрессии она имеет...
-
Основные предпосылки регрессионного анализа - Основы научных исследований
Методика РА создана с использованием некоторых предпосылок. Если они не выполняются, то корректное выполнение всех процедур РА приведет к неверным...
-
Теорема о параметризации., Универсальные функции - Рекурсивные функции
Любую часть x1,x2,...,xn входных значений можно породить программно, более того - существует алгоритм, который генерирует по x1,x2,...,xn текст...
-
В данной главе описан способ прогнозирования с помощью НС, основанный на методе окон. Также приведен обзор применения НС в финансовой сфере. Общий подход...
-
Проблема идентификации - Основы эконометрики
При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрии сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность...
-
Основные этапы развития естествознания - Основы естественно-научных знаний
Естествознание древнего мира, "натурфилософия", - на этой стадии сформировались общие представления об окружающем мире, как о чем-то целом. Отличительной...
-
Распределение Фишера, Статистические гипотезы - Основы научных исследований
Служит для сравнения дисперсий разных статистических совокупностей разных случайных величин Х 1 и Х 2 . Ему подчиняется статистика (10.5) Где S2(x 1 ) >...
-
Моделирование в условиях противодействия, игровые модели - Основы теории систем и системного анализа
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость...
-
Моделирование системы в условиях неопределенности - Основы теории систем и системного анализа
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета "состояний природы" -- воздействий...
-
А) Углерод (С), кремний (Si), германий (Ge), олово (Sn), свинец (РЬ) - элементы 4 группы главной подгруппы ПСЭ. На внешнем электронном слое атомы этих...
-
В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида, где a - некоторое число, x - буква, m - целое...
-
Сравнение множеств Определение. Множества A и B называются равномощными, если между A и B существует взаимно однозначное соответствие. Утверждение....
-
Указанные выше основные направления реформирования сферы ЖКХ позволяют перейти к раскрытию существа ряда первоочередных по значимости факторов,...
-
Поскольку процесс инвестирования, как правило, имеет большую продолжительность в практике анализа эффективности капитальных вложений, обычно приходится...
-
Проверка нормальности распределения - Основы научных исследований
Асимметрия и эксцесс позволяют произвести приближенную проверку нормальности распределения. Очевидно, что симметричное и не имеющее эксцесса унимодальное...
-
Параметры эмпирических распределений - Основы научных исследований
По опытным (эмпирическим) данным строятся распределения исследуемых случайных величин. Функции плотности Р(х) таких распределений могут иметь один...
-
Что такое гравиметрический фактор F - Основы аналитической химии
Если мы знаем A - навеску анализируемой пробы, b - массу осадка и его состав, то мы можем вычислить содержание определяемого вещества X . X = a*F*100/b...
-
Случайные события и случайные величины - Основы научных исследований
Вероятностные закономерности проявляются только в массовых явлениях, т. е. когда один и тот же объект изменяет свое состояние многократно или когда...
-
Последовательность организации эксперимента - Основы научных исследований
Для всех видов физических экспериментов последовательность их организации стандартизована и состоит из следующих этапов: 1. Аналитический (литературный)...
-
Требования к современному эксперименту - Основы научных исследований
В данном курсе под физическим экспериментом будем понимать любое взаимодействие с внешними объектами, направленное на получение новой информации. Поэтому...
-
Научная теория и ее структура - Основы научных исследований
Теория - система логически непротиворечивых верифицируемых высказываний, в идеале имеющая аксиоматическую структуру и полностью соответствующая всем...
-
Введение, Что такое наука - Основы научных исследований
Что такое наука Развитие металлургии вообще и обработки металлов давлением в частности требует создания новых технологий и оборудования, которое...
-
Статистическая обработка результатов эксперимента - Основы научных исследований
Включает в себя определение дисперсии эксперимента, проверку постоянства дисперсии воспроизводимости и определение абсолютных и относительных...
-
Метод наименьших квадратов - Основы научных исследований
Пусть проведен однофакторный эксперимент, в котором исследована зависимость У от Х . Установлено, что основные предпосылки регрессионного анализа...
-
Методы непараметрической статистики - Основы теории систем и системного анализа
Использование классических распределений случайных величин обычно называют "параметрической статистикой" - мы делаем предположение о том, что...
Алгебры слов (термов) - Формационные основы универсальных алгебр