Приклади розв'язування задач графічним методом - Розв'язання задач математичного програмування
Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць -- А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в табл. (2.4).
Тривалість виготовлення книжкових полиць
Верстат |
Тривалість обробки полиці моделі, хв. |
Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень | |
А |
В | ||
1 |
30 |
15 |
40 |
2 |
12 |
26 |
36 |
Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о., а моделі В -- 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.
Визначити обсяги виробництва, що максимізують прибуток.
Побудова математичної моделі. Змінними в моделі є тижневі обсяги виробництва книжкових полиць моделей А та В.
Х1 -- кількість полиць моделі А, виготовлених за тиждень, а
Х2 -- кількість полиць моделі В.
Цільова функція задачі -- максимум прибутку.
Max Z = 50Х1 + 30Х2 (2.20)
За умов:
Лише дві змінні, і тому - графічно.
Розв'язання.
Рис. 2.14
Вектор градієнт цільової функції.
Побудуємо лінію, що відповідає Z = 0
50Х1 + 30Х2 = 0, перпендикулярна до вектора.
Пересуватимемо пряму 50Х1 + 30Х2 = 0 паралельно самій собі згідно з напрямом вектора доти, доки не визначимо вершину багатокутника. Останньою спільною точкою прямої цільової функції та багатокутника OABCDE є точка С, Координати якої
Звідси маємо:
Х1 = 50; Х2 = 60.
Отже, Х* = (50; 60);
Це означає, що коли фірма щотижня виготовлятиме 50 збірних книжкових полиць моделі А та 60 -- моделі В, то вона отримає максимальний прибуток -- 4300 у. о. Це потребуватиме повного використання тижневих ресурсів робочого часу верстатів 1 та 2.
Для невеликої птахоферми потрібно розрахувати оптимальний кормовий раціон на 1000 курчат, яких вирощують з 4-х до 8-тижневого віку. Нехтуючи тим, що потижневі витрати кормів для курчат залежать від їхнього віку, вважатимемо, що за 4 тижні курча споживає не менше 500 г суміші. Крім цього, кормовий раціон курчат має задовольняти певні вимоги щодо поживності. Сформулюємо ці вимоги у спрощеному вигляді, беручи до уваги лише дві поживні речовини: білок і клітковину, що містяться у кормах двох видів -- зерні та соєвих бобах. Вміст поживних речовин у кожному кормі та їх вартість маємо у табл. 2.5.
Поживність та вартість кормів
Корм |
Вміст поживних речовин в 1 кг корму, % |
Вартість 1 кг корму, у. о. | |
Білку |
Клітковини | ||
Зерно |
10 |
2 |
0,40 |
Соєві боби |
50 |
8 |
0,90 |
Готова кормова суміш має містити не менше як 20 % білка і не більш як 5 % клітковини.
Визначити масу кожного з двох видів кормів, що утворюють кормову суміш мінімальної вартості, водночас задовольняючи вимоги до загальної маси кормової суміші та її поживності.
Побудова економіко-математичної моделі.
Х1 -- маса зерна, а
Х2 -- соєвих бобів (в кг) у готовій кормовій суміші.
Модель задачі оптимізації кормового раціону має вигляд:
Min Z = 0,40Х1 + 0,90Х2 (2.26)
За умов:
(2.30)
Розв'язання. Графічну інтерпретацію задачі подано на рис. 2.15. Множина допустимих її розв'язків необмежена.
Для вектора = (0,4; 0,9) можна змінити масштаб, наприклад, = (200; 450).
Найменшого значення цільова функція Z досягає в точці А, що лежить на перетині граничних прямих, які відповідають обмеженням (2.27) та (2.28). Визначимо її координати:
Отже, Х* = (375; 125); min Z = 0,4 - 375 + 0,9 - 125 = 262,5.
Згідно з відшуканим оптимальним планом задачі для того, щоб отримати 500 кг кормової суміші мінімальної вартості (262,50 у. о.), потрібно взяти 375 кг зерна та 125 кг соєвих бобів.
За такого співвідношення компонентів кормової суміші вимоги до її поживності виконуватимуться:
- 0,10 - 375 + 0,50 - 125 = 100 кг білка, що становить рівно 20 % загальної маси суміші; 0,02 - 375 + 0,08 - 125 = 17,5 кг клітковини в кормовій суміші, що становить 3,5% її маси і не перевищує 5%.
Рис. 2.15
Похожие статьи
-
Розглянемо задачу. Знайти (2.17) За умов: (2.18) . (2.19) Припустимо, що система (2.18) за умов (2.19) сумісна і багатокутник її розв'язків обмежений....
-
Приклади економічних задач МП та їх моделей - Розв'язання задач математичного програмування
Задача визначення оптимального плану виробництва : для деякої виробничої системи (цеху, підприємства, галузі) необхідно визначити план випуску кожного...
-
Умова задачі Бройлерне господарство птахівницької ферми налічує 20000 курчат, які вирощуються до 8-тижневого віку і після відповідної обробки надходять у...
-
Теорема 2.2. Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла. Доведення . Необхідно довести, що коли X 1 та X 2 -- плани задачі лінійного...
-
1. За допомогою знака суми "". (2.6) 2. У векторно-матричному вигляді: Max(min) Z = CX АХ = А 0; (2.7) Х ? 0, Де , , Матриця коефіцієнтів; вектор...
-
Подамо схематично довільну економічну систему у такому вигляді (рис. 1.1): Рис. 1.1 Схема економічної системи Параметри С K ( K = 1, 2,..., l ) -...
-
До задач дробово лінійного програмування відносяться задачі нелінійного програмування математична модель яких в загальному можна представити в наступному...
-
Історична довідка - Розв'язання задач математичного програмування
Початком математичного програмування в сучасному розумінні вважають праці радянського вченого Л. В. Канторовича. (монографія "Математичні методи...
-
1. Задача оптимального планування виробництва. Визначити план виробництва х=(х1,...,хn)'(xj - шукана кількість одиниць продукції Pj), який би при заданих...
-
Методи розв'язування стохастичних задач поділяють на дві групи -- прямі та непрямі. Прямі методи використовують для розв'язування задач стохастичного...
-
Якщо в транспортній задачі не виконується така умова, тобто загальна кількість продукції постачальників не дорівнює загальному попиту всіх споживачів, то...
-
Класифікація задач математичного програмування - Розв'язання задач математичного програмування
Рис. 1.2 Класифікація задач математичного програмування У математичному програмуванні виділяють два напрямки -- Детерміновані задачі і Стохастичні ....
-
Предмет та об'єкти математичного програмування - Розв'язання задач математичного програмування
Переклад англійського терміну Mathematical programming означає розроблення на основі математичних розрахунків Програми Дій для досягнення обраної мети ....
-
Розрахуємо критерій Фішера [3]: (5.19) Де - обгрунтована складова дисперсії; - необгрунтована складова дисперсії; - загальна дисперсія; ,(5.20) Де -...
-
В основі моделі (2.2.) - (2.6) лежить рівняння, яке має вигляд: , Зробимо просте перетворення, зробивши заміну: (2.7) І отримаємо рівняння (2.8): (2.8)...
-
, Побудова математичної моделі - Методи розв'язування різних типів економічних задач
Компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Вона уклала договір із чотирма...
-
Перехід від одного опорного плану до іншого - Методи розв'язування різних типів економічних задач
Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюють зміною базису, тобто через виключення з поточного базису якоїсь змінної та включення замість неї...
-
ВСТУП, - Методи розв'язування різних типів економічних задач
Економіко-математичне моделювання є галуззю економічної науки, яка вивчає основні принципи та інструментарій постановки економічних задач, побудови їх...
-
Всі економічні процеси та явища є динамічними, оскільки вони функціонують і розвиваються не тільки у просторі, але й у часі. Для народного господарства в...
-
Для побудови алгоритмів розв'язання задач матричних ігор використовується властивість оптимальних змішаних стратегій: оптимальна змішана стратегія...
-
1. записуємо цільову функцію та обмеження 2. приводимо систему обмежень до канонічної форми 3. знаходимо рівняння прямої. Будуємо ці прямі в системі...
-
Розробка математичного забезпечення інформаційної системи Характеристика моделей і методів рішення економічної задачі Фінансовий аналіз здійснюється за...
-
Характеристичний багаточлен матриці, Розв'язання рівнянь - Вивчення математичного пакету MathСad
Для побудови характеристичного багаточлена матриці A використаємо символьні обчислення. Побудуємо матрицю D = A - Е, віднявши з діагональних елементів...
-
Складемо симплексну таблицю для першого опорного плану задачі. Елементи останнього рядка симплекс-таблиці є оцінками j, за допомогою яких опорний план...
-
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ВИХІД ПРОДУКТУ - Неметали та їхні сполуки
Ви розумієте, що в основі виробництва сульфатної кислоти (так само і будь-якого іншого хіміко-технологічного процесу) лежить хімічне перетворення речовин...
-
Методом розв'язку ТЗ є метод потенціалів. для того, щоб можна було застосувати цей метод, необхідне виконання 2х умов: - ТЗ є закритою; - побудовано...
-
Розв'язання систем рівнянь, Порядок виконання роботи - Вивчення математичного пакету MathСad
Матриця математичний пакет арифметичний Для розв'язання системи рівнянь з кількома невідомими треба задати початкові наближення для кожної змінної. Далі...
-
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ВИХІД ПРОДУКТУ - Загальні відомості про елементи
Ви розумієте, що в основі виробництва сульфатної кислоти (так само і будь-якого іншого хіміко-технологічного процесу) лежить хімічне перетворення речовин...
-
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА НАДЛИШОК - Неметали та їхні сполуки
Ви знаєте, що речовини взаємодіють у певних співвідношеннях. Але часто одна з вихідних речовин береться у надлишку, щоб забезпечити повнішу взаємодію...
-
Система диференціальних рівнянь вигляду Де - сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона...
-
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА НАДЛИШОК - Загальні відомості про елементи
Ви знаєте, що речовини взаємодіють у певних співвідношеннях. Але часто одна з вихідних речовин береться у надлишку, щоб забезпечити повнішу взаємодію...
-
Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. Задачі математичного...
-
ЗАТ "Біола" випускає три види продукції: напій на основі сиропу з цукром, напій на основі сиропу з цукрозамінником, сік. У поточному місяці прогнозуються...
-
Для достижения поставленной цели предприятию требуются материалы, оборудование, энергия, рабочая сила и другие ресурсы. Каждое предприятие такими...
-
Перед пошуком розв'язку задачі зробимо деякі перетворення в моделі. Для перетворимо рівняння (2.2) і отримаємо: Отримаємо: Тепер підставимо отриманий...
-
Основные понятия теории экономико-математического моделирования Кибернетический подход к исследованию экономико-математических систем Обычно...
-
Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям - Экономико-математические методы
Алгоритмы и методы решения транспортной задачи могут быть использованы при решении некоторых экономических задач, не имеющих ничего общего с...
-
Транспортная задача - Экономико-математические методы
Методы линейного программирования, являются хорошим инструментом для решения ряда проблем распределения ресурсов. Применение пакетов прикладных программ...
-
Цель и задачи исследования операций Исследование операций - научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее...
-
Розглядаючи моделі для аналізу фінансового стану можна зробити висновок, що вони дуже подібні між собою, але їхнім недоліком є те, що вони розраховують...
Приклади розв'язування задач графічним методом - Розв'язання задач математичного програмування