Модификация, Разложение пространства - Один алгоритм сжатия изображения

Физическая интерпретация решений уравнения Пуассона может быть использована для модификации методов сжатия изображений. В частности, может быть построена обратимая операция сглаживания функций двух переменных.

Разложение пространства

Докажем лемму о полной системе в подпространстве гармонических в Q функций из

Далее предполагается, что ограниченная последовательность точек

Является базисной, т. е. удовлетворяет условию единственности гармонических функций и отделена от границы S.

Лемма 1.1 Система функций

Линейно независима и замкнута в подпространстве.

Доказательство. Пусть произвольная из, рассмотрим

Функцию :

.

Предположим, что ортогональна всем, тогда, m=1,2,...Отсюда следует, что гармоническая в функция тождественно равна нулю в. Если, то, т. е.

, (3.1.1)

Функция в области Q удовлетворяет бигармоническому уравнению

И граничным условиям (3.1.1). Следовательно, в т. е.

Замкнутость доказана.

Для доказательства линейной независимости предположим противное: пусть некоторая конечная линейная комбинация функций тождественно равна нулю на S, обозначим ее F(x).

Отсюда следует тождественное равенство нулю в, а также в любой области D, содержащей и не содержащей базисных точек. Пусть, возьмем D, для которой принадлежит границе. Тогда при слагаемых остается ограниченной, т. е. равенство не может выполнятся. Лемма доказана.

Лемма (Новикова). Если Q ограниченная область с границей Ляпунова, то пространство имеет следующее разложение в прямую сумму:

Где подпространство гармонических в функций, а функция принадлежит тогда и только тогда, когда

Доказательство. Рассмотрим функцию

(3.1.3)

И пусть функция удовлетворяет (3.1.2). Положим, получим, что, m=1,2,... Из леммы 1.1. следует, что, т. е. .

Обратно, пусть, т. е. для любого m=1,2,...,. Гармоническая в функция равна нулю в точках и, следовательно, равна нулю тождественно, условие (3.1.3) выполняется. Лемма доказана.

Похожие статьи




Модификация, Разложение пространства - Один алгоритм сжатия изображения

Предыдущая | Следующая