Разработка универсального способа решения, Анализ построенного алгоритма на примере, Условие, Первый способ: функционал без ограничений на компенсацию полюсов - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Для ускорения процесса конструирования регулятора в пространстве состояний в Matlab была разработана функция, которая, при должной настройке, позволяет разрешать поставленную проблему как аналитически, так и численно. Также был реализован функционал, позволяющий решать уравнение Винера-Хопфа.

Анализ построенного алгоритма на примере
Условие

Пусть передаточная функция объекта управления задана:

Задающее воздействие случайное с нулевым математическим ожиданием. Формируется из белого шума единичной интенсивности. Имеет спектральную плотность

На задающее воздействие наложен белый шум единичной интенсивности. Шумы - некоррелированны. Необходимо построить оптимальный стабилизирующий регулятор, обеспечивающий в системе минимум ошибки воспроизведения задающего воздействия. Решение ищется в множестве управляющих устройств с недостаточным числом звеньев коррекции.

Приведем структурную схему конструируемой системы:

Первый способ: функционал без ограничений на компенсацию полюсов

Попробуем решить поставленную задачу, используя в качестве критерия качества функционал (2.9).

Пространство состояний.

Переведем условия на язык пространства изображений. Начнем с передаточной функцию объекта. Для этого воспользуемся алгоритмом, приведенным в пункте 1.3.2:

Воспользуемся записью в форме Коши:

(3.1)

Теперь расширим описание воздействием. Сигнал проходит через формирующий фильтр и приобретает спектральную плотность. Тогда:

И система запишется:

Осталось определить наблюдаемый выход. Для этого используем нерасширенное представление (3.1) и найдем матрицу передаточных функций:

Отсюда и согласно рис. 4 доступно измерение вида:

Также, согласно условию:

Перейдем теперь непосредственно к решению. Установим свойства системы:

Система наблюдаема.

Для управляемости системы, в случае, если информация ограничена выходом системы, т. е. наблюдаемым, необходимо и достаточно, чтобы тройка была невырожденна.

Система управляема.

Проверим последнее условие:

Пара матриц оказалась вырожденной. Тем не менее продолжим решение и покажем, что построенный регулятор не будет обладать стабилизирующим свойством.

Критерий качества из (2.7) запишется:

Отсюда.

Для построение регулятора воспользуемся функционалом Matlab - функцияими Lqe и Lqr.

С помощью процедуры Lqr был найден вектор:

Попытка найти коэффициенты обратной связи с помощью процедуры Lqe не увенчалась успехом. Поэтому было решено вручную найти с помощью соотношений (2.6). Проблема была разрешена численно с помощью функции build_regulator (см. Приложение А Листинг 1).

Теперь закон управления согласно (2.3) запишется в виде:

Воспользуемся теперь алгоритмом, изложенным в пункте 1.3.1 для того, чтобы найти передаточную функцию, эквивалентную регулятору.

Составим систему линейных уравнений:

Разрешив ее относительно

,

И с учетом того, что

Получим:

Проверим данный регулятор на устойчивость по входу. Условие строгой реализуемости выполняется. Осталось найти корни характеристического полинома:

Все корни лежат в левой полуплоскости - можно утверждать, что звено устойчиво по входу.

Найдем теперь корни числителя:

Как мы видим, первые два корня с точностью в по модулю совпадают с полюсами объекта управления. Данная неточность является следствием решения проблемы численным методов.

Появления полюсов объекта управления в числителе передаточной функции построенного регулятора было предсказано нами ранее. Сконструированная подобным образом (т. е. на основе критерия качества (2.7)) не обладает свойством устойчивости.

Пространство операторов

Разрешим теперь проблему в пространстве изображений, используя функционал (2.9):

Запишем уравнение Винера-Хопфа:

Отсюда

И

В итоге получим:

Найдем корни числителя:

Как мы видим, найденный регулятор компенсирует полюса объекта управления.

Таким образом было установлено, что функционал вида (2.9) не позволяет решить поставленную задачу.

Заметим отличия регулятора, полученного при решении задачи в пространстве оригиналов и пространстве изображений. Ввиду вынужденного (аналитически задачу разрешить не удалось) численного решения системы нелинейных уравнений для поиска коэффициентов построенное управление потеряло в точности и, как следствие, качестве. Хотя для эквивалентной по постановке задаче в пространстве операторов нашлось точно решение, обеспечивающие приемлемую аккуратность слежения. Приведем также построенную в Simulink схему и графики смоделированных процессов:

Представим полученный при моделировании график, выводимый элементом "Exposure, Input, Output":

На рис. 7-8 на оси абсцисс отложено время, на оси ординат - значения наблюдаемых величин. График бирюзового цвета, задающего воздействия - желтый, выход системы, воспроизводящий задающее воздействие, отмечен сиреневым.

Похожие статьи




Разработка универсального способа решения, Анализ построенного алгоритма на примере, Условие, Первый способ: функционал без ограничений на компенсацию полюсов - Проблемы конструирования устойчивой системы автоматического управления

Предыдущая | Следующая